Реферат решение системы уравнений методом гаусса

Реферат: Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

Содержание

1. Теоретическая часть 1

1.1. Метод Гаусса 1

1.2. Метод Зейделя 4

1.3. Сравнение прямых и итерационных методов 6

2. Практическая часть 7

2.1 Программа решения системы линейных уравнений по методу Гаусса 7

2.2 Программа решения системы линейных уравнений по методу Зейделя 10

Введение

Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.

Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя обьем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ.

К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего чила элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными . Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи.

Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт).

1. Теоретическая часть

1.1. Метод Гаусса

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных ) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода.

1.1.1. Схема единственного деления. Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления .

Прямой ход состоит из n — 1 шагов исключения.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x ₁ из уравнений с номерами i = 2, 3, …, n . Предположим, что коэффициент a ₁₁ ¹ 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага .

называемые множителями 1-го шага . Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n- го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q_{2 1} , q ₃₁ , …, q_{n 1} . Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x ₁ во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

в которой a_ij (1) и b_ij (1) вычисляются по формулам

2-й шаг. Целью этого шага является ислючение неизвестного x ₂ из уравнений с номерами i = 3, 4, …, n . Пусть a ₂₂ (1) ≠ 0, где a ₂₂ (1) ­– коэффициент, называемый главным (или ведущим ) элементом 2-го шага . Вычислим множители 2-го шага

и вычтем последовательно из третьего, четвертого, …, n- го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q ₃₂ , q ₄₂ , …, q_{m 2} . В результате получим систему

Здесь коэффициенты a_ij (2) и b_ij (2) вычисляются по формулам

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k- й шаг.

k- й шаг. В предположении, что главный (ведущий ) элемент k- го шага a_kk (k –1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага

и вычтем последовательно из (k + 1)-го, …, n -го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k -e уравнение, умноженное соответственно на q_{k +1,k} , q_{k +2,k} , …, q_nk .

После (n — 1)-го шага исключения получим систему уравнений

матрица A (n -1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим xn. Подставляя найденное значение x_n в предпоследнее уравнение, получим x_{n –1} . Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим x_{n –1} , x_{n –2} , …, x ₁ . Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам

Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы a_kk (k –1) . Поэтому если один из главных элементов оказывыется равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.

1.1.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора). Описание метода. На k -м шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами i = k + 1, …, n преобразуются по формулам

Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей q_ik .

В методе Гаусса с выбором главного элементоа по столбцу гарантируется, что |q_ik | ≤ 1 для всех k = 1, 2, …, n – 1 и i = k + 1, …, n . Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k -м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент a_ikk при неизвестной x_k в уравнениях с номерами i = k + 1, …, n . Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером i_k меняют местами с k -м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента a_kk (k -1) . После этой перестановки исключение неизвестного x_k производят, как в схеме единственного деления.

1.1.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора). В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных.

На 1-м шаге мтода среди элементов a_ij определяют максимальный по модулю элемент a_{i 1j 1} . Первое уравнение системы и уравнение с номером i ₁ меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного x_{i 1} из всех уравнений, кроме первого.

На k -м шаге метода среди коэффициентов a_ij (k –1) при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k , …, n выбирают максимальный по модулю коэффициент a_ikjk (k -1) . Затем k -е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное x_jk из уравнений с номерами i = k + 1, …, n .

На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: x_jn , x_{jn– 1} , …, x_{j 1} .

1.2. Метод Зейделя

1.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений

с квадратной невырожденной матрицей A , необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду

Здесь B – квадратная матрица с элементами b_ij (i, j = 1, 2, …, n ), c – вектор-столбец с элементами c_ij (i = 1, 2, …, n ).

В развернутой форме записи система имеет следующий вид:

Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций , не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы.

Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x ₁ :

из второго уравнения – неизвестное x ₂ :

и т. д. В результате получим систему

в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы. Остальные элементы выражаются по формулам

Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми.

1.2.1. Описание метода. Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы

Заметим, что B = B ₁ + B ₂ и поэтому решение x исходной системы удовлетворяет равенству

Выберем начальное приближение x (0) = [x ₁ (0) , x ₂ (0) , …, x_n (0) ] T . Подставляя его в правую часть равенства при верхней треугольной матрице B ₂ и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение

Подставляя приближение x (1) , получим

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x (0) , x (1) , …, x (n ) , … приближений к вычисляемых по формуле

или в развернутой форме записи

Объединив приведение системы к виду, удобному для итераций и метод Зейделя в одну формулу, получим

Тогда достаточным условием сходимоти метода Зейделя будет

то система не имеет однозначного решения >

If l = 0 then begin

If l <> k then begin

For j := 1 to n do begin

For i := k + 1 to n do begin

For j := 1 to n do

a[i, j] := a[i, j] — q * a[k, j];

For i := n — 1 downto 1 do begin

For j := 1 to n-i do

t := t + a[i, i + j] * x[i + j];

x[i] := (1 / a[i, i]) * (b[i] — t);

Writeln(‘Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса’);

Writeln(‘Введите порядок матрицы системы (макс. 10)’);

Until (n > 0) and (n 4

Введите расширенную матрицу системы

1 3.2 5.4 4.2 2.2 2.6

2 2.1 3.2 3.1 1.1 4.8

3 1.2 0.4 -0.8 -0.8 3.6

4 4.7 10.4 9.7 9.7 -8.4

Результат вычислений по методу Гаусса

2.2 Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя

2.2.1. Постановка задачи. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида

для n ≤ 10 по методу Зейделя.

2.2.2. Тестовый пример.

2.2.3. Описание алгоритма. В переменную n вводится порядок матрицы системы, в переменную e – максимальная абсолютная погрешность. С помощью вспомогательной процедуры ReadSystem в двумерный массив a и одномерный массив b вводится c клавиатуры расширенная матрица системы. Начальное прибижение предполагается равным нулю. Оба массива и переменные n и e передаются функции Seidel . В функции Seidel исследуется сходимость системы, и в том случае если система не сходится, выполнение функции прекращается с результатом false . В ходе каждой итерации вычисляется новое приближение и и абсолютная погрешность. Когда полученная погрешность становится меньше заданной, выполнение функции прекращается. Полученное решение выводится на экран при помощи вспомогательной процедуры WriteX.

2.2.4. Листинг программы и результаты работы.

Matrix = Array[1..maxn, 1..maxn] of Data;

Vector = Array[1..maxn] of Data;

Procedure ReadSystem(n: Integer; var a: Matrix; var b: Vector);

For i := 1 to n do begin

GotoXY(i * 6 + 2, r);

GotoXY(1, r + i + 1);

GotoXY((n + 1) * 6 + 2, r);

For i := 1 to n do begin

For j := 1 to n do begin

GotoXY(j * 6 + 2, r + i + 1);

GotoXY((n + 1) * 6 + 2, r + i + 1);

Procedure WriteX(n :Integer; x: Vector);

For i := 1 to n do

Writeln(‘x’, i, ‘ = ‘, x[i]);

Function Seidel(n: Integer; a: Matrix; b: Vector; var x: Vector; e: Data) :Boolean;

s1, s2, s, v, m: Data;

For i := 1 to n do begin

For j := 1 to n do

If s >= Abs(a[i, i]) then begin

For i := 1 to n do begin

For j := 1 to i — 1 do

s1 := s1 + a[i, j] * x[j];

For j := i to n do

s2 := s2 + a[i, j] * x[j];

x[i] := x[i] — (1 / a[i, i]) * (s1 + s2 — b[i]);

Решение систем линейных уравнений методом гаусса

В данной работе рассмотрен один из способов решения систем линейных уравнений — метод Гаусса, а также возможность применения метода Гаусса к решению прикладных задач.

Скачать:

Предварительный просмотр:

1. Введение 2
2. Понятие матрицы 5
3. Немного из биографии Гаусса 6
4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 7
5. Проведение обучающего эксперимента 12
6. Заключение 14
7. Список используемой литературы 15

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой.

Часто на уроках математики мы решаем различные уравнения. Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных алгебраических уравнений. Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. В седьмом классе на уроках алгебры мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический.

Нужно заметить, что не всегда системы линейных уравнений удобно решать данными способами. Мы решили выяснить существуют ли другие методы решения систем линейных уравнений. Изучив данную тему, мы выяснили, что существуют такие методы, как: метод Крамара, метод Гаусса, метод обратной матрицы.

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) современники называли «королём математики». Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности.

На примерах был изучен и исследован алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система приводится к треугольному виду, а на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.

Метод Гаусса — один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры. Поэтому поиск решения системы линейных уравнений методом Гаусса имеет не только важное значение, но и является частью алгоритма решения многих задач, что позволяет говорить об актуальности изучения метода Гаусса. В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.

Системы линейных алгебраических уравнений имеют широкое применение в решении многих задач практического приложения математики. Данная тема в школьном курсе алгебры не изучается, чтобы изучить данную тему, необходимо познакомиться с понятиями матрицы, матрица системы и расширенная матрица системы. Получение новых знаний и нового опыта способствует развитию личности, формирует некоторые особенности мышления и оказывает влияние на отношение к миру.

Научиться решать системы уравнений с помощью метода Гаусса

и применять этот метод на практике, ознакомить и научить одноклассников решать системы уравнений методом Гаусса.

1. Познакомиться с понятием «матрица» и «матрица системы».

2. Изучить метод Гаусса.

3. Научиться применять метод Гаусса на практике .

Объект(изучения): Метод Гаусса

Предмет: Системы линейных уравнений с двумя и более переменными.

Методы исследования: анализ, обобщение, эксперимент, опрос.

Гипотезы: С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений . Метод Гаусса можно изучать на уроках алгебры в 7 — 8 классах как дополнительный метод решения систем уравнений с двумя и более переменными.

Метод Гаусса решения СЛАУ

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Марта 2013 в 14:01, курсовая работа

Описание работы

Матрицы возникающих систем могут иметь различные структуры и свойства. Уже сейчас имеется потребность в решении систем линейных алгебраических уравнений с матрицами полного заполнения порядка нескольких тысяч. При решении ряда прикладных задач методом конечных элементов в ряде случаев появляются системы, обладающие симметричными положительно определёнными ленточными матрицами порядка несколько десятков тысяч с половиной ширины ленты до тысячи. И, наконец, при использовании в ряде задач метода конечных разностей необходимо решить системы разностных уравнений с разрежёнными матрицами порядка миллион. Одним из самых распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса.

Содержание работы

ВВЕДЕНИЕ
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
2.1 ОПИСАНИЕ МЕТОДА
2.2 АЛГОРИТМ
3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ И БЛОК-СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
5. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ