Реферат решение уравнений с параметрами

Уравнения с параметрами

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Мая 2013 в 16:34, научная работа

Краткое описание

Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами линейной, квадратичной, дробно-линейной, иррациональной, показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1.дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2.выделить общие методы решения данных уравнений;
3.показать решение основных типов уравнений с параметрами

Содержание

введение
1.Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр
2.Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр, сводящиеся к линейным
3.Иррациональные уравнения, содержащие параметр
4.Показательные уравнения, содержащие параметр
5.Логарифмические уравнения, содержащие параметр
6. тригонометрические уравнения, содержащие параметр
7.Графический метод.
заключение
литература

Прикрепленные файлы: 1 файл

работа — копия.docx

1.Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр

2.Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр, сводящиеся к линейным

3.Иррациональные уравнения, содержащие параметр

4.Показательные уравнения, содержащие параметр

5.Логарифмические уравнения, содержащие параметр

6. тригонометрические уравнения, содержащие параметр

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные затруднения. Это связано с тем, что данная тема отсутствует в обычных программах для общеобразовательных классов, а в профильных классах ограниченно время на ее изучение, хотя из года в год эти задачи предлагаются на Едином Государственном Экзамене и на ГИА. Существующие пособия адресованы абитуриентам, однако начинать знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.

Актуальность выбранной мною темы определяется необходимостью уметь решать такие задачи с параметрами при сдаче Единого Государственного экзамена.

Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами линейной, квадратичной, дробно-линейной, иррациональной, показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2. выделить общие методы решения данных уравнений;
3. показать решение основных типов уравнений с параметрами

Объектом исследовательской работы было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций.

Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список.

Определим понятие уравнений с параметрами. Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет « общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, — степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, — это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр

Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр, можно объединить в одну группу – группу уравнений с параметром не выше второй степени.

Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом . Контрольные значения параметра определяются уравнением .

Тогда решением всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

1. На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.
2. На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи равносильных преобразований приводится к виду .
3. Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых .
4. Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень .
5. Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта.

Множеству значений параметра, для которых и , соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра из множества, где и , частные уравнения имеют два различных действительных корня.

Для каждого параметра решить уравнение:

Решение. Для решения данного уравнения, достаточно рассмотреть два случая:

1)Пусть , тогда уравнение принимает вид . То есть, уравнению удовлетворяет любое действительное число.

2) Пусть , тогда уравнение (– 2 ) = – 1 является линейным и

имеет одно решение,

Пример 2. Решить уравнение

(а — 1)∙ х 2 +2∙ (2а+1)∙ х + (4а+3) =0.

Решение. В данном случае контрольным значением параметра a является единица. Дело в том, что при a=1 уравнение является линейным, а при а≠1 оно квадратное. Значит, целесообразно рассмотреть уравнения, получающиеся из него при следующих значениях параметра: 1) a=1; 2) а≠1. Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения находим х = – .

2) Из множества значений параметра а≠1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения обращается в 0.

Составим дискриминант уравнения:

=(2а + 1) 2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения =0 находим — второе контрольное значение параметра а. При этом если , то D исключить, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решать соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 3. Решить уравнение каждого параметра :

Решение. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0, то после преобразований уравнение примет вид:

х 2 +2 (1 — а) х +а 2 — 2а — 3=0.

Найдем дискриминант уравнения: = (1 — a) 2 — (a 2 — 2а — 3) = 4. Находим корни: х₁ =а + 1, х₂ = а — 3. При переходе от одного уравнения к другому расширилась область определения, что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых х₁+1=0, х₁+2=0, х₂+1=0, х₂+2=0.

Если х₁+1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а = — 2.

Таким образом, при а = — 2 х₁-посторонний корень уравнения.

Если х₁+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а = — 3.

Таким образом, при а = — 3 x₁— посторонний корень уравнения.

Если х₂+1 =0, т. е. (а-3)+1=0, то а=2.

Таким образом, при а=2 х₂ — посторонний корень уравнения.

Если х₂+2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а=1.

Таким образом, при а = 1 х₂— посторонний корень уравнения

При а = — 3 получаем х = — 6; при a = — 2 х = — 5;

При a=1 х = 1+1=2; при a=2 х=2+1=3. Итак, можно записать

Ответ: 1) если a = — 3, то х = — 6;

2) если a = -2, то х = — 5;

3) если a=0, то корней нет;

4) если a = 1, то х=2;

5) если а=2, то х=3;

6) если , то х₁ = а + 1, х₂ = а – 3.

Иррациональные уравнения, содержащие параметр

Главными особенностями при решении уравнений такого типа являются:

1. ограничение области определения неизвестной х, так как она меняется в зависимости от значения параметра.
2. в решении уравнений вида при возведении в квадрат необходимо учитывать знак и проводить проверку корней.

При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного уравнения с параметром.

Рассмотрим пример и попробуем заметить эти особенности при решении.

Пример 4. Решить уравнение:

Решение. Для решения данного уравнения необходимо возвести обе части в квадрат, но при этом нужно накладывать ряд ограничений. Во-первых, под арифметическим корнем может стоять только число неотрицательное, тот есть . Во-вторых, , . После возведение в квадрат и соответствующих преобразований, получаем:

, тогда , подставляя это значение в первоначальное уравнение, получим:

Из неравенств следует, что при , определяется на промежутке

Ответ: при , , а при уравнение не имеет корней.

Реферат: Уравнения с параметрами

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

§2. Основные виды уравнений с параметрами.

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.

Большую роль в развитии математического мышления учащихся на факультативных занятиях играет изучение темы «Уравнения с параметрами». Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.

Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению.

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

с неизвестными х, у, . z и с параметрами α,β, . γ ;при всякой допустимой системе значений параметров α₀ ,β₀ , . γ₀ уравнение (F) обращается в уравнение

с неизвестными х, у. z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

с неизвестным х, у. z и с параметрами α,β, . γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, . γ );

Говорят, что система функций (Х ), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F ), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у. z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α₀ ,β=β₀ , . γ= γ₀ соответствующие значения функций (Х ) образуют решение уравнения

§2. Основные виды уравнений с параметрами .

Линейные и квадратные уравнения.

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b , где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

П р и м е р . Решим уравнение

Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

Рассмотрим эти случаи.

1) При а= 0уравнение (2) принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а= 2уравнение (2) принимает вид 0 х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х=

откуда х= .

0 т в е т: 1) если а= 0, то корней нет; 2) если а= 2, то х — любое действительное число; 3) если а ≠0, а ≠2 , то х =

П р и ме р . Решим уравнение

Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a =1. Дело в том, что при a =1 уравнение (3) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а =l; 2) а ≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a =1 уравнение (3) примет вид бх +7=0. Из этого

уравнения находим х= — .

2) Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=а_о , то при переходе значения D через точку а_о дискриминант может изменить знак (например, при а а_о D>0). Вместе с этим при переходе через точку а_о меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а а_о D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (3):

=(2а+ l) 2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения =0 находим а= — второе контрольное значение параметра а. При

этом если а 2 +2 (1 — а ) х +а 2 — 2а — 3= 0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

= (1 — a ) 2 — (a 2 — 2а — 3) = 4.

Находим корни уравнения (5):

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась

область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х ₁ +1=0, х ₁ +2=0, х ₂ +1=0, х ₂ +2=0.

Если х ₁ +1=0, т. е. (а +1)+1=0, то а= — 2. Таким образом, при а= — 2 х ₁ — посторонний корень уравнения (4).

Если х ₁ +2=0, т. е. (а +1)+2=0, то а= — 3. Таким образом, при а= — 3 x ₁ — посторонний корень уравнения (4).

Если х ₂ +1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а= 2. Таким образом, при а= 2 х ₂ — посторонний корень уравнения (4)’.

Если х ₂ +2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а =1. Таким образом, при а= 1 х ₂ — посторонний корень уравнения (4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

только х ₂ только х ₂ корней нет только х ₁ только х ₁

В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х = — 3 — 3= — 6;

при a = — 2 х = — 2 — 3= — 5; при a =1 х = 1+1=2; при a=2 х =2+1=3.

Итак, можно записать

От в ет: 1) если a = — 3, то х = — 6; 2) если a = — 2, то х = — 5; 3) если a =0, то корней нет; 4) если a = l, то х =2; 5) если а=2, то х =3;

Иррациональные уравнения с параметрами.

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

П р и м ер . Решить уравнение х — = 1. (6)

Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

= х – 1 (7)

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:

Особое значение : а = 0,5. Отсюда :

1) при а > 0,5 х _1,2 = 0,5 ( 1 ± );

Так как левая часть равенства отрицательна, то х₁ не удовлетворяет исходному уравнению.

3) Подставим х ₂ в уравнение (7):

=

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

Имеем истинное равенство при условии, что

Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х₂ может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х₂ – корень уравнения при а ≥1.

Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sinx и y = cosx. Рассмотрим примеры.

Пример . Решить уравнение: cos =2а .

Решение: Так как Е (соst )=[-1; 1], то имеем два случая.

1. При |a | > 0,5 уравнение не имеет решений.

а ) =arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а +2π n ≥0, то n может принимать значения n =0, 1, 2, 3. Решением уравнения является х = 1+(2π n +аrссоs2а ) 2

б) =-аrссоs2а +πn . Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а +2πn >0, то n =1, 2, 3. и решение уравнения. х =1+(2πn -arccos2a ) 2 .

Ответ: если |a | > 0,5, решений нет;

если |a | ≤0,5 , х = 1+(2π n +аrссоs2а ) 2 при n = 0, 1, 2. и х =1+(2πn -arccos2a ) 2 при n N.

Пример . Решить уравнение: tgax 2 =

ах 2 = +π n , n Z

Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:

1. Если а =0, то уравнение не имеет решений.

2. Если а 0, то х 2 = , n Z

Уравнение имеет решение, если ≥0. Выясним, при каких значениях n

и а выполняется это условие:

≥0

откуда n ≥ и а > 0 или n ≤ и а 0 и n = 1,2,3,… или

2) а 0 и n = 1,2,3,… или а 1, то решений нет.

2.2. Если ≤ 1, то особое значение b = 0:

2.2.1. Если b = 0, то решений нет.

2.2.2. Если b 0, то х =

Ответ: при а = 0 или > 1 и а 0 или а 0 b = 0 решений нет;

при а 0 и ≤ 1 и b 0 х =

Показательные уравнения с параметрами.

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f ( x) = b φ(х ) (*), где а > 0, b > 0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f( x) и φ (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:

1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D .

2) При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D .

3) При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D .

4) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D .

5) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению

Пример. Решите уравнение: а х + 1 = b 3 – х

Решение. ОДЗ уравнения: х R , а > 0, b >0.

1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.

2) При а = b = 1, х R.

3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3.

4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1.

5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х х = 1.

6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение

по основанию а, получим:

, х + 1 = ( 3 – х ) log_a b ,

Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

при а = b = 1, х R;

при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)

Логарифмические уравнения с параметром.

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2 – log(1 + х ) = 3 log_а — log( х 2 – 1 ) 2

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log_а а 2 + log( х 2 — 1) = log_а () 3 + log_a ,

log_а ( а 2 (х 2 — 1)) = log_а (() 3 ),

а 2 (х 2 — 1) = (х — 1) ,

а 2 (х — 1) (х + 1) = (х — 1)

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х — 1)

а 2 =

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а 4 (х + 1) = х – 1 а 4 х + а 4 = х – 1 х ( 1 — а 4 ) = а 4 + 1

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:

,

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а 4 > 0, то есть при

а 1, значит при 0 1 решений нет;

при 0 2 – 2х + 1 = р имеет один корень ?

2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения

х 2 + ( р 2 + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ?

В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие «параметр». Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.

Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.

На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:

1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.

2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.

3) на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.

Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:

Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений

Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений

Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных

уравнений с параметрами.

Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений

Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений

Занятие№7. Решение показательных и логарифмических

уравнений с параметрами.

Решите уравнение k(x — 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.

а) при k=-2 корней нет; при k=-2 ;

б) при k-2 корней нет; при k=-2 ;

в) при k=-2 корней нет; при k=-2 и k=0,25 .

Решите уравнение 2а( а — 2)х = а 2 – 5а+6 относительно х

а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 .

При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение.

При каких значениях а парабола у = ах 2 – 2х +25 касается оси х?

а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.

При каких значениях k уравнение (k — 2)x 2 = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?

а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .

Решите относительно х уравнение

а)при b+1, b; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;

б)при b; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;

в)при b=; при b=±1 нет смысла.

При каких значениях параметра а уравнение имеет решение

а) а≥ 3 ; б) а=4 ; в) а≥ 0

При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

а) –0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25 2 — 81)х = а 2 + 7а — 18 относительно х

а) при а=-9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 и а9 ;

б) при а=9 х R ; при а=-9 корней нет; при а-9 и а9 ;

в) при а= -9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 ;

При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет отрицательное решение?

При каких значениях k уравнение kx 2 – (k — 7)x + 9 =0 имеет два равных положительных корня?

а) k=49, k= 1 ; б) k=1 ; в) k=49 .

При каких значениях а уравнение ax 2 — 6x+а = 0 имеет два различных корня?

а) а( — 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а( — 3 ; 3) ; в) с( — ∞ ; — 3)U ( 3 ; +∞)

Решите относительно х уравнение

а)при а1,а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

б) при а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

в) при а1, а-0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.

При каких значениях параметра а уравнение имеет решение ?

а) а≥ 2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6

При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

а) а≥ 0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1

При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?

а) с( — ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с( — ∞ ; -1,5√3)

Решите уравнение 3 cosx = 4b + 1 для всех значений параметра.

а) при b ( -1; 0,5 ) х = ± arcos; при b (-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;

б) приb [ -1; 0,5 ] х = ± arcos; при b (-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;

в)b (-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет;

Найдите все действительные значения параметра а , при которых уравнение sin 2 x – 3sinx + a =0.

а) a [ -4; 2 ] ; б) а ( -4 ; 2) ; в) а [ — 4; 2 ).

При каких значениях а уравнение cos 4 x + sin 4 x = a имеет корни?

а) a [ 0,5; 1 ] ; б) а [ -1 ; 0,5 ] ; в) а [ — 0,5; 1 ).

Решите уравнение

а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, а 1 х = 2; при а = 1 не имеет смысла.

б) при а > 0 х R ; при а = 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.

в) при а = 1 х R ; при а > 0, а 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.

При каких значениях параметра уравнение 4 х – а 2 х +1 – 3а 2 + 4а = 0 имеет единственное решение?

а) при а ≤ 1 х = 0,5( 2+ ) ; при а =100 х = 1.

б) при а > 100 реш. нет; при 1 100 реш.нет ; при 1 0, а = 2 ; б) а > 0, а = — 2 ; в) а 0, а 1

а) а ; ; б) а 2 ; — ; в ) а 2 ;

Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра.

а) при |b | ≤ 1 х = ; при |b | > 1 реш.нет;

б) при |b | ≤ 1 и b =0 х = ; при |b | > 1 реш.нет;

в)при |b | > 1 х = ; при |b | 6 x + sin 6 x = a имеет корни?

а) a [ 0,25; 0,5 ] ; б) а [ 0,25 ; 1 ] ; в) а [ — 0,25; 1 ].

Решите уравнение

а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла.

б) при а = 1 х R ; при а > 0, а 1 х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.

в) при а > 0х R ; при а = 1 , х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.

При каких значениях параметра уравнение а( 2 х + 2 —х ) = 5 имеет единственное решение?

а) -2,5; 2,5 ; б) 2; 2,5 ; в) –2,5.

Решите уравнение 3 lg (x – а ) — 10 lg ( x — а )+1 = 0.

7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень

а) 4 ; б) — 4 ; в) — 2 .

Решите уравнение а > 0, а 1

а) -1 ; а ; б) 1 ; — а ; в ) 1 ; а

При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют мышцы интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность.

Реферат по теме Исследование уравнений и неравенств с параметром

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Оглавление

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые общеобразовательные учреждения используют экзаменационные билеты и в них есть уравнения, неравенства с параметрами, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Цель: более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.

Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Квадратные уравнения, содержащие параметр.

Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

I . Уравнения с параметрами

Основные определения

 (a, b, c, …, , x)=(a, b, c, …, , x), (1)

где a, b, c, …, , x -переменные величины.

Любая система значений переменных

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, , x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …,  и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

I. Решить уравнение

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Если а  , то решений нет.

II. Неравенства с параметрами.

Основные определения

 (a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x), (1)

где a, b, c, …,  – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а ₀ , b = b ₀ , c = c ₀ , …, k = k ₀ , при некоторой функции

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х ₀ называется частным решением неравенства (1), если неравенство

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

 (a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) и (1)

 (a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

Заключение

Во время создания данного проекта мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Исследование уравнений и неравенств с параметрами» и в какой-то мере получили новые.

По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру. Учащимся (студентам) знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.

Литература

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа — Пресс”. Москва 2016 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 2015 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа — Пресс”. Москва 2016 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 2016 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 2015 г.