Реферат решение задач с помощью квадратных уравнений

Реферат на тему: Различные способы решения квадратных уравнений

Работа реферативного характера на тебу: «Различные способы решения квадратных уравнений», 8 класс.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 7 города Коряжмы»

Различные способы решения квадратных уравнений

Выполнила: ученица 8 «Б» класса,

Заглубоцкая Вера Александровна

Руководитель: Стенина Татьяна Леонидовна, учитель математики

165651, Архангельская область,

г. Коряжма, проспект Ленина д. 37

1. История возникновения и развития квадратных уравнений………………. 4

2. Способы решения квадратных уравнений……………………………………5

2.1. Метод выделения полного квадрата………………………. 5

2.2. Решение квадратных уравнений по формуле…. 6

2.3. Разложение левой части на множители……. 7

2.4. Решение квадратных уравнений способом «переброски»………………. 7

2.5. Теорема Виета………………………. 8

2.6. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения…. 8

2.7. Графический способ решения квадратных уравнений……………. 10

2.8. Геометрический способ решения квадратных уравнений…. 11

Список использованных источников и литературы………………. 14

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее

решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре задачи.

Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них

короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У.У. Сойер, английский математик 20 века.

Практически все, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площади земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые уравнения второй степени. Однако имеются и другие способы решения таких уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Какие это способы и сколько их?

1. История возникновения и развития квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Найденные древние вавилонские глиняные таблички (около 2 тысяч лет до н.э.) являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На них изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения этих уравнений совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax 2 = c и ax 2 + bx = c и привел методы их решения.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме: ах 2 + bx = c , где a > 0 . В этом уравнении коэффициенты (кроме а) могут быть и отрицательными. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В его книгах «Арифметика» нет систематического изложения алгебры, однако в них содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений различных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Хорезмский математик Ал-Хорезми в своем алгебраическом трактате дает классификацию линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: ах 2 + с = bх, ах 2 = с, ах = с, ах 2 + с = bх, ах 2 + bx = с, bx + с = ах 2 . Ал-Хорезми избегает употреблений отрицательных чисел, поэтому члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Он первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с , при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в 1544 г. немецким математиком М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1. Способы решения квадратных уравнений

Квадратное уравнение — алгебраическое уравнение общего вида где — свободная переменная, , , — коэффициенты , причём

2.1. Метод выделения полного квадрата

В данном методе будут активно использоваться следующие формулы сокращенного умножения:

(a+b) 2 = a 2 +2*a*b +b 2 ;

(a-b) 2 = a 2 -2*a*b +b 2 ;

Рассмотрим данный метод при решении уравнения: 4x 2 +7x+3=0

Реферат: Способы устного решения квадратных уравнений

Муниципальное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 6

на тему: Способы устного решения квадратных уравнений.

ученица 8 «В» класса

Шубина Ирина Николаевна.

2. Определение квадратного уравнения, его виды…………………..5

3. Способы решения неполных квадратных уравнений…………….6

4. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена………………………………………………………………..8

5. Решение квадратных уравнений по формуле……………………..9

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………13

9. Закономерность коэффициентов………………………………….14

10. Дидактический материал……………………………………. …16

Список использованных источников…………. ………………. …20

Изучить и показать на примерах способы устного решения квадратных уравнений.

1. Проанализировать учебник алгебры для выявления в нем способов решения квадратных уравнений.

2. Показать виды и способы решения неполных квадратных уравнений.

3. Изложить наиболее известные способы решения квадратных уравнений из курса 8 класса.

4. Изучить дополнительный материал.

5. Показать способы устного решения квадратных уравнений.

Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

При изучении в школе квадратных уравнений, я очень заинтересовалась этой темой. Мне стало интересно узнать, какие же еще бывают способы решения квадратных уравнений.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования современного человека. Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

В данной работе я изложила все известные виды и решения квадратных уравнений из школьного курса алгебры. Также в этой работе я показала дополнительный материал, который не изучается в школьном курсе. Устное решение квадратных уравнений намного проще и быстрее, так как при решении уравнений не надо находить дискриминант и вычислять корни по формуле.

1. Историческая справка.

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений () умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах= b или Способ решения полных квадратных уравнений не сохранились.

Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду , где >0, дал индийский учёный Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приёмы уравнений вида , (буквами а, b и с обозначены лишь положительные числа, так как отрицательных чисел тогда не признавали) и отыскивает только положительные корни.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду , было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487-1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А.Жирара (1595-1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591г. Для квадратного уравнения

теорема Виета в современных обозначениях выглядела так:

корнями уравнения (а+ b ) являются числа а и b .

2. Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение : Квадратным уравнением называется уравнение вида

где х – переменная, а, b и с – некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением .

Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0, один из коэффициентов

b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением .

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

3 .Способы решения неполных квадратных уравнений.

1.Для решения неполного квадратного уравнения вида ах 2 + с = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения

на а. Получается уравнение

х 2 = –,

равносильное уравнению ах 2 + с = 0.

Так как с ≠ 0, то – ≠ 0.

Если – > 0, то уравнение имеет два корня:

х= – и х=.

Если – 2 + 15=0.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на –3:

Отсюда х = или х = –

и – являются корнями уравнения –3х 2 + 15= 0.

Пример2. Рассмотрим уравнение 4х 2 + 3 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части

получившегося уравнения на 4:

х 2 = –.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение корней не имеет. Следовательно, равносильное ему уравнение 4х 2 + 3 = 0 не имеет корней.

2.Для решения неполного квадратного уравнения вида ах 2 + bx = 0 при b ≠ 0

раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение

Произведение х(ах + b )= 0 равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Решая уравнение ах + b = 0, в котором а ≠ 0, находим

х = –.

Следовательно, произведение ах 2 + bx = 0 обращается в нуль при х = 0 и при

х = –. Корнями уравнения ах 2 + bx = 0 являются числа 0 и –. Значит, неполное квадратное уравнение вида ах 2 + bx = 0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.

Пример. Рассмотрим уравнение 4х 2 + 9х = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

Отсюда х = 0 или 4х + 9 = 0.

Решим уравнение 4х + 9 = 0:

х = –2.

Ответ: х= 0, х= –2.

3.Неполное квадратное уравнение вида ах 2 = 0 равносильно уравнению х 2 = 0 и поэтому имеет один единственный корень 0.

4. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена.

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Пример. Рассмотрим уравнение 7х 2 – 6х – 1= 0.

Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

х 2 – х – = 0.

Выделим из трехчлена х 2 – х – квадрат двучлена. Для этого разность

х 2 – х представим в виде х 2 – 2·х , прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим

х 2 – 2·х + –– = 0.

Отсюда х 2 – 2·х + = + ,

= .

Следовательно, х – = – или х – = ,

х – = – или х – = ,

х = – или х = 1.

Уравнение имеет два корня: – и 1.

5. Решение квадратных уравнений по формуле.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение

Разделив его обе части на а , получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

х 2 +х += 0.

Выделим из трехчлена х 2 +х + квадрат двучлена. Для этого сумму

х 2 +х представим в виде х 2 +2х∙ , прибавим к ней выражение

и вычтем его. Получим

х 2 +2х∙+ –+= 0,

х 2 +2х∙+ = –,

= –,

=.

Уравнение = равносильно уравнению ax 2 + bx + c = 0. Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4а –положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком его числителя, т. е. выражения b – 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Его обозначают буквой D , т.е.

D = b – 4ас.

Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 – выражение

b – 4ас= D – по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Различные возможные случаи в зависимости от значения D .

1) Если D >0, то уравнение имеет два корня:

х= и х= .

Пример. Рассмотрим уравнение 2x 2 –3x + 1= 0.

D = b – 4ас =(–3)– 4ас = 9–8= 1; 2 корня.

х==== 0,5

х==== 1

2) Если D = 0, то уравнение имеет один корень:

х = –.

Пример. Рассмотрим уравнение 9х 2 +6х+ 1= 0.

D = b – 4ас= 6– 4ас =36–36= 0; 1 корень.

х = –== – 0,3

D = b – 4ас= 1– 4ас = 1 – 16= – 15; корней нет.

6. Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.

Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Приведенное квадратное уравнение х 2 – 7х + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. На примере видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Необходимо доказать, что любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни, обладает таким свойством.

Теорема : Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид:

Обозначим второй коэффициент буквой р , а свободный член буквой q :

Дискриминант этого уравнения D равен p 2 – 4q .

Пусть D > 0. тогда это уравнение имеет два корня:

х= и х=.

Найдем сумму и произведение корней:

х+ х=+== –p ;

х∙ х=∙==== q .

х+ х= –p , х∙ х= q .

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 – 3х + 2 = 0.

По теореме Виета х+ х= – p , значит 2 + 1= 3;

х∙ х= q , значит 2 ∙ 1= 2.

Следовательно х₁ = 2 и х₂ = 1 являются корнями уравнения х 2 – 3х + 2 = 0.

При D = 0 корни уравнения можно вычислить по формуле

х = и x = .

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х и х . равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид

х+ х= –, х∙ х= .

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Теорема : Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p , а произведение

равно q , то эти числа являются корнями уравнения х 2 + px + q = 0.

По условию т + п = – p , а т п = q . Значит, уравнение х 2 + px + q = 0 можно записать в виде х 2 – (т + п) х + т п= 0.

Подставив вместо х число т, получим:

Значит, число т является корнем уравнения.

Аналогично можно показать, что число п также является корнем уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 + 3х – 40=0.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

х= ; х=.

Отсюда х= –8; х= 5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении

х 2 + 3х – 40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен –40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х 2 + 3х – 40=0.

Способы устного решения квадратных уравнений.

7.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1) Если а+ b + c = 0, то х= 1, х=.

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 + 4х – 5= 0.

а+ b + c = 0, х= 1, х=. 1+ 4+(–5)= 0.

Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D = b – 4ас= 4– 4∙1∙(–5)= 36.

х=== – 5.

х=== 1.

Отсюда следует, что если а+ b + c = 0,то х= 1, х=.

2) Если b = а+ c , то х= –1, х=.

Пример. Рассмотрим уравнение 2х 2 + 8х +6 = 0.

Если b = а+ c , то х= –1, х=. 8 =2 +6.

Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D = b – 4ас= 8– 4∙2∙6= 16.

х=== –3.

х=== –1.

Отсюда следует, что если b = а+ c , то х= –1, х=.

8. Способ переброски.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ±b + c ≠0, то используется прием переброски:

х= 10; х= 1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.

1) Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а 2 + 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а , то его корни равны

х= –а ; х= –.

ax 2 + (а 2 + 1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 + 37х +6 = 0.

х= –6; х= –.

2) Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а 2 + 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х= а ; х= .

ax 2 – (а 2 + 1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х= 15; х= –.

3) Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х= –а ; х= .

ax 2 + (а 2 – 1)∙ х – а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х= –17; х= .

4) Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х= а ; х= –.

ax 2 + (а 2 – 1)∙ х – а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 –99 х – 10 = 0.

х= 10; х= –.

10. Дидактический материал.

1. Решение неполных квадратных уравнений:

а) 4х 2 – 100= 0, б) 2х 2 + 10х = 0,

х 2 =25, х = 0 или 2х +10 = 0,

х = –5.

2. Решение квадратных уравнений по формуле:

D = b 2 – 4ас = 7 2 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D > 0; 2 корня;

х== = ;

х== = –1.

б) 4х 2 – 4х + 1 = 0,

х=

3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета:

а) х 2 – 9х + 14 =0. б) х 2 +3х – 28 = 0.

х =2; х = 7.

4. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

а) 4х 2 – 12х +8х = 0. б) х 2 – 6х + 5= 0.

а+ b + c = 0, х= 1, х=. а+ b + c = 0, х= 1, х=.

х= 1, х= 2. х= 1, х= 5.

5. Решение квадратных уравнений способом переброски.

а) 6х 2 – 7х –3= 0.

х=== = –2;

х===

Делим числа 9 и (–2) на 6:

х= х₂ =

б) 2х 2 – 11х +15= 0,

х==

х==

Делим числа 5 и 6 на 2:

х= х₂ = 3.

6. Закономерность коэффициентов:

а) 5х 2 + 26х + 5= 0. б) 7х 2 + 48х –7 = 0.

х= –5; х= – х= –7; х=

Реферат «Решение квадратных уравнений различными способами.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 1

Тема:Решение квадратных уравнений различными способами.

Выполнила: Ученица 8 Б класса

Пешкова Оксана Ильинична

Оглавление

Аннотация

Предметисследования: способы решения квадратных уравнений.

Цель: Изучить теоретические основы квадратных уравнений и способов их решении; рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

1) Произвести анализ учебно–методической литературы по решению квадратных уравнений.

2) Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений

3)Изучить историю развития квадратных уравнений.

4) Изучить различные способы решения квадратных уравнений и апробировать материал на практике.

Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами

Обоснование: Уравнения — это наиболее объёмная тема всего курса математики. Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. В него вошли как известные нам из школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.

Теоретические методы: изучение литературы по теме исследования

Анализ информации, полученной при изучении литературы; анализ результатов, получены при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

I .Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Квадратное уравнение представляет собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью элементарных функций.

В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Выбор способа должен оставаться за учащимся. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения. Так как в некоторых случаях можно их решать устно, только для этого необходимо помнить алгоритм решения квадратных уравнений, который может пригодиться на экзамене ЕГЭ, при поступлении в ВУЗы и различных жизненных ситуациях.

Квадратное уравнение-это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.

С помощью формул корней квадратных уравнений можно решить любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

Таким образом возникает необходимость изучения этих дополнительных способов решения. Все сказанное выше определяет актуальность темы выполненной работы.

II . Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение:Квадратным уравнением называется уравнение вида

гдех-переменная, а, b и с-некоторые числа, причем,а≠0.

Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c =0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1)ах 2 +с=0, где с ≠ 0;

2) ах 2 + b х = 0, где b ≠ 0;

Квадратные уравнения  это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

III . Из истории квадратных уравнений.

1) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х 2 + х = , х 2 – х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

2) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта ( VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В уравнении коэффициенты, кромеа, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

3) Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII .

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х 2 + b х = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

IV . Различные способы решения квадратных уравнений.

В школьном курсе математике изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно разберем каждые из них.

1) Разложение левой части уравнения на множители .

1. Решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = — 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х – 24 = 0.

2) Метод выделения полного квадрата

Поясним этот метод на примере.

Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 3 2. Имеем:

х 2 + 6х – 7= х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7= (х + 3) 2 – 9– 7= (х + 3) 2 – 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 –16 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х=3=4,х₁=1, или х +3= — 4 , х₂ = – 7.

3) Решение квадратных уравнений по формуле

Умножим обе части уравнения

ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0,на 4а и следовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4а b с + 4ас = 0.

((2ах) 2 + 2ах · b + b 2 ) – b 2 + 4ас = 0,

(2ах + b ) 2 = b 2 – 4ас,

а) 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 – 4ас = 7 2 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >два разных корня;

х = , х = ; х = , х₁ = , х = , х₂ = –1

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,т. е. при b 2 – 4ас≥0 уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х 2 – 4х + 1 = 0,

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b 2 – 4ас= 0, тоуравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х 2 +3х + 4 = 0, а =2, b = 3, с = 4, D = b 2 – 4ас= 9 – 4∙2∙4 =9 – 32 = — 13,

Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b 2 – 4ас

4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета(прямой и обратной)

а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая приа = 1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен ( q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p .

Если p >0, то оба корня отрицательные, если p

х 2 – 3х + 2 = 0; х₁ = 2 и х₂ = 1, так как q = 2>0 и p = – 3

х 2 +8х + 7 = 0; х₁ = – 7 и х₂ = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q p p >0.

х 2 + 4х – 5 = 0; х₁ = – 5 и х₂ = 1, так как q = – 5 p = 4 > 0;

х 2 – 8х – 9 = 0; х₁ = 9 и х₂ = – 1, так как q = – 9 p = – 8 >0.

б) Теорема Виета для квадратного уравнения

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р, х₁х₂ = q , то х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

1. Решить уравнение: х 2 – 9х + 14 =0

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

2. Решить уравнение: х 2 +3х – 28 = 0

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

5)Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

Пусть ах= у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

равносильного данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁= и х₁ = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме Виета

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

1.Если а+ b +с=0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),то х₁ =1, х₂= .Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

Согласно теореме Виета

По условиюа + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,

Получаем х₁=1, х₂=, что и требовалось доказать.

Доказательство. По теореме Виета

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

т.е. х₁= – 1 и х₂ = , что и требовалось доказать.

1. Решим уравнение 345х 2 –137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х₁=1, х₂= = .

2. Решим уравнение 132х 2 + 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а- b +с = 0 (132 – 247 +115=0), то

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

можно записать в виде

Решим уравнение 3х 2 –14х + 16 = 0.

D = k 2 – ac = (– 7) 2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D >0, два различных корня;

В. Приведенное уравнение

совпадает с уравнением общего вида, в которома = 1, p и c = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.

1. Решим уравнение х 2 –14х – 15 = 0.

7)Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении x 2 + px + q = 0перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x 2 = – px – q .

Построим графики зависимостей у = х 2 и у = – px – q . (рис.1)

График первой зависимости – парабола,проходящая через начало координат.График второй зависимости – прямая.Возможны следующие случаи:прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссыточек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е.уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратноеуравнение не имеет корней.