Курсовая работа: Асимптотика решений дифференциальных уравнений
Название: Асимптотика решений дифференциальных уравнений Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа Добавлен 00:43:29 16 июня 2009 Похожие работы Просмотров: 314 Комментариев: 20 Оценило: 5 человек Средний балл: 4.8 Оценка: неизвестно Скачать | |||||||||
или, в векторной форме
где — малый положительный параметр, — неизвестные функции времени t, характеризующие данную систему.
В работах ( х ) — ( 5 ) находится асимптотика решений системы (1.1) в случае, когда при каждом z любое решение системы «быстрых движений» **
при приближается либо к устойчивому положению равновесия, либо к устойчивому предельному циклу.
Но возможны случаи, когда система «быстрых движений» (1.2) может не иметь асимптотически устойчивых положений равновесия и изолированных предельных циклов. Такова, например, гамильтонова система. Целью настоящей работы и является изучение этих случаев. Так, в § 2 с точностью до величин порядка О (г) находится решение системы (1.1), для которой соответствующая система «быстрых движений» гамильтонова и к = 2, т. е. находится решение системы
Асимптотические формулы для решения этой системы находятся для области, где траектории соответствующей гамильтоновой системы «быстрых движений» при каждом векторе z замкнуты (в случае невырожденного центра в рассматриваемую область включается и сам центр). Метод исследования системы (1.3) таков: сначала рассматривается система «быстрых движений» (1.4), а затем система (1.3) после соответствующей замены переменных усредняется вдоль решений (1.4). Оказывается, что уравнение с малым параметром и. при старшей производной и с пропущенной в основном члене Q (п — 1)-й производной, исследованное В.М. Волосовым (при п — 2 — в работе ( 12Г ), при F
О — в ‘работах ( 8 ) — ( п )) методом конечных разностей, является частным случаем системы (1.3). Поэтому результаты работ ( 8 ) — ( 12 ) (эти результаты сформулированы в § 3 настоящей работы) следуют из результатов § 2.
Метод построения решения уравнения (1.5) при п = 2 с любой наперед заданной точностью в случае, когда известно общее решение (в форме разложения в тригонометрический ряд Фурье) соответствующего невозмущенного уравнения был дан в работе Ю.А. Митрополъским.
Задача исследования системы (1.3) с точки зрения работ ( 3 ) — ( 4 ) и вывода из нее известных результатов В.М. Волосова [работы ( 8 ) — ( 12 )] относительно уравнения (1.5) была поставлена Л.С. Понтрягиным в его докладе на семинаре В.И. Смирнова в Ленинграде в середине апреля 1957 г.
Выражаю глубокую благодарность Л.С. Понтрягину за ценные указания, советы и постоянное внимание к настоящей работе.
1.1 Асимптотическое поведение решений системы
Система (1.3) в векторной форме имеет вид:
глк, в быстром времени
При е = 0 система (2.1′) переходит в гамильтонову систему
являющуюся системой «быстрых движений» для системы (2.1). 1. Изучение системы (2.2). Пусть функции
определены и непрерывны вместе со всеми своими первыми частными производными в некоторой области G эвклидова пространства E 2 + i переменных х, у, zi . zi . Как известно, система (2.2) имеет первый интеграл
и (2.3) представляет собой семейство всех фазовых траекторий системы(2.2) на кажтгой плоскости z = constобласти G .
Возьмем некоторую точку (х, у, z ) из G, не являющуюся положением равновесия системы (2.2). По известной теореме существования и единственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, через эту точку пройдет только одна фазовая траектория системы
(2.2). Уравнение этой траектории запишется в виде:
Докажем следующее утверждение.
Пусть траектория (2.4) замкнута и целиком лежит внутри области G . Тогда в пространстве E 2 + i существует некоторая окрестность G этой траектории (2.4) такая, что
1)фазовые траектории системы (2.2), проходящие через точки G , замкнуты и целиком лежат в G;
2)уравнение (2.3) при каждой паре (/г, z ) определяет одну и только одну фазовую траекторию системы (2.2), расположенную в G;
3)на каждой фазовой траектории (2.3) системы (2.2), лежащей в G, можно выбрать по одной точке , гладко зависящей от
В самом деле, в силу известных свойств гамильтоновой системы, в пространстве E 2 + i существует некоторая окрестность G траектории (2.4) ( Gd G), в которой выполняется условие 1). Выделим из G ту окрестность траектории (2.4), в которой выполняются и условия 2), 3). Для этого возьмем поверхность, пересекающую каждую плоскость z = const области G
о о по нормали в точке (х, у, z ) к фазовой траектории системы (2.2), проходящей через эту точку. Уравнение этой поверхности имеет вид:
Следовательно, точка (х, у, z , h ) эвклидова пространства £»2 +z переменных х, у, z , h удовлетворяет системе
Левые части системы (2.5) определены и непрерывны вместе со всеми своими частными производными в области Г: (#, у, z ) £ G, —ос 0 такое, что при любых eg (0, е0 ], t 6 [*<>> L ] решение <ф ( t , е), h ( t , е), z ( t , г)> системы (2.15) с начальными условиями
и решение <ф ( t , e), h ( t ), z ( t )> усредненной системы (2.17) с теми же начальными условиями
связаны следующим образом: точка <h ( t , e), z ( t , г)> остается в некоторой и выполняются соотношения:
окрестность решения)). А так как, по (2.13),
и так как точка <h (£, е), z ( t , е)> остается в Ghp CZGh , то на отрезке [ tQ , L ] при любом 8 g (0, е0 ] решение <х (t , е),?/ (£, е), z (£, г)> системы (2.1) остается в G, причем, по свойству 3,
и потому соотношения (2.39), (2.40) доказывают первую часть теоремы 1. Докажем вторую часть теоремы 1. По формуле конечных приращений, из (2.41) получаем:
Возникает вопрос, как ведут себя решения системы (2.1) во всей указанной окрестности Go (включая и положения равновесия (z), g (z), z> системы (2.3)). На этот вопрос отвечают теорема 1 и нижеследующие теоремы 2 и 3.
ТЕОРЕМА 2. Пусть в окрестности Go выполнены условия теоремы 1, касающиеся гладкости правых частей системы (2.1). Тогда найдется число 8° у> О, такое, что при любом г £ (0, е°] (е° и Н
сохраняет вид системы (2.1), но дает условия (2.54). Следовательно, в силу.
Это решение на конечном промежутке времени [ t 0 , L ] составляет некоторое замкнутое ограниченное множество FQ CZG 0 и поэтому найдется ро > 0 такое, что G00 С G 0 ( GQ 0 — р0 -окрестность F 0 ).
Следовательно, по формуле Тейлора, примененной к функциям
(формула Тейлора применима в G00 относительно х, у, так как прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки (я, у, z ) и (0, 0, z ) из Goo, содержится в Goo, поскольку каждое сечение области G00 плоскостью z = const представляет собой круг с центром в точке (0, 0, z ), по определению Goo).
Функция О 2 (х, у, е), в силу указанной в условиях теоремы гладкости правых частей системы (2.1), является однородной квадратичной относительно х, у, е с ограниченными в Gooкоэффициентами, и поэтому
С другой стороны, по формуле Тейлора, в силу (2.54) имеем в G00
то соотношение (2.61), в силу (2.57), дает на [£0 , t (е) ]:
Но, по (2.56) — (2.58) и (2.63),
откуда следует, что на отрезке
Но так как, в силу
т. е. окончательно, по (2.64), (2.67),
2. Регулярные возмущения.
2.1 Асимптотические методы
Пусть задано банахово пространство и отображение .
Определение . Будем ряд называть асимптотическим рядом для функции , если для любого найдутся числа и такие, что
при (2.1)
Пример 1 . Если функция имеет производные всех порядков в точке , то справедливо формула Тейлора
(2.2)
Ряд Тейлора может расходиться на любом отрезке , но он будет асимптотическим рядом для функции . Действительно,
(2.3)
Пример 2 . Рассмотрим функцию
Интегрируя по частям, получаем
Ряд расходится при любом , но является асимптотическим для функции , так как
Замечание . Асимптотический ряд может быть полезен при вычислении значений функции при малых или больших значениях параметра .
Рассмотрим функцию примера 2. Вычисляя интеграл численно, получаем при
Вычисляя частичные суммы асимптотического ряда и оценивая разности , получаем первые 20 чисел
0.0015633, -0.0004366, 0.0001633, -0.0000766, 0.0000433, -0.0000287, 0.0000217,
-0.000186, 0.0000177, -0.0000186, 0.00002133, -0.0000266, 0.0000357, -0.0000515,
0.0000793, -0.0001299, 0.0002257, -0.0004145, 0.0008020
Наилучшее приближение дает девятая частичная сумма.
На рис. 1 изображен графически характер приближения частичных сумм к значению. На горизонтали оси откладывается номер , по вертикали частичная сумма .
Пусть банаховы пространства и при задано семейство операторов . Рассмотрим при уравнение . Допустим, что это уравнение при каждом имеет единственное решение . Уравнение будем называть вырожденным . Допустим, что вырожденное уравнение имеет единственное решение . Будем говорить, что вырождение регулярное, если
при (2.4)
Если (18.4) не выполняется, то говорят, что вырождение сингулярное.
Распространена еще и такая терминология: Уравнение называют уравнением возмущений для уравнения . Если условие (2.4) выполнено, то говорят о регулярных возмущениях. В противном случае речь идет о сингулярных возмущениях. Сам термин «теория возмущений» возник в рамках небесной механики. В следующем параграфе будет исследована задача о регулярных возмущениях для обыкновенных дифференциальных уравнений.
2.2 Регулярные возмущения решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим задачу Коши
(2.2.1)
Функция непрерывна по переменной и бесконечно дифференцируемая по переменным и при , , .
Предполагается, что вырожденная задача
(2.2.2)
имеет единственное решение при , причем .
(2.2.3)
и воспользовавшись тем, что функция удовлетворяет уравнению (2.2.2) запишем систему уравнений для функции в виде
(2.2.4)
(2.2.5)
(2.2.6)
Будем искать решение задачи Коши (2.1.4) в виде формального ряда по степеням малого параметра
(2.2.7)
Для определения неизвестных функций получаем рекуррентную систему задач Коши для линейных уравнений (уравнений в вариациях)
(2.2.8)
Уравнение (2.2.8) называют уравнением в вариациях.
Вычислим две первых функции
(2.2.9)
Подставляя разложения (2.2.7) и (2.2.8) в уравнения (2.2.4),получаем рекуррентную систему уравнений
(2.2.10)
Все уравнения (2.2.4) имеют одинаковую структуру
, (2.1.11)
Столбцы фундаментальной матрицы образуют фундаментальную систему решений. При помощи формулы Коши получим решение в виде
(2.2.12)
Линейный оператор
(2.2.13)
Покажем, что ряд (2.2.3) асимптотический для решения . Положим
(2.2.14)
Применяя формулу Тейлора, получаем
(2.2.15)
где функции те же, что и в формуле (19.8), а
(2.2.16)
Подставляя представление (2.2.14) в уравнение (2.2.4), воспользовавшись представлением (2.2.15) и формулами (2.2.8), получаем уравнение для функции .
(2.2.17)
(2.2.18)
Из формулы (2.2.6) получаем
и формула (2.2.18) может быть записана в виде
(2.2.19)
Так как вторые производные функции ограничены, то функция удовлетворяет условию Липшица и
(2.2.20)
Вспоминая определение оператора , получаем функциональное уравнение
(2.2.21)
Используя принцип сжатых отображений, покажем, что уравнение (2.1.21) при имеет единственное решение, и справедливо неравенство . Тем самым будет доказано, что ряд является асимптотическим рядом для функции , являющейся решением задачи Коши (2.2.1).
Пусть . Так как частные производные равномерно непрерывны, то из (2.2.17)- (2.2.20) получаем оценки
при . Таким образом, шар радиуса отображается в себя при.
Используя (2.2.20), получаем
Используя равномерную непрерывность частных производных, получаем
Уменьшая, если нужно, получаем, что при оператор является оператором сжатия. Следовательно,
и ряд асимптотический для решения задачи Коши (2.1.1).
2.3 Существование решении возмущенной задачи
Результаты, полученные обладают той особенностью, что справедливость асимптотического представления гарантируется на некотором сегменте [0,T], определяемом свойствами правой части (2.3.1), одновременно с существованием и единственностью как невозмущенного, так и возмущенного уравнений.
Можно ставить вопрос иначе. Допустим, что решение невозмущенной задачи (2.3.2) существует, единственно и принадлежит некоторой области G пространства переменных y(t,μ) при, 0≤t≤T.Величину T в данном случае можно, например, установить непосредственно из явного вида y(t). Будет ли при достаточно малых μ решение задачи (2.3.1) также существовать на всем [0,T] и подчиниться формуле (1.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема 1 .2. Пусть в области
непрерывны и равномерно ограничены:
Пусть решение y ( t ) задачи (2.3.2) существует, единственно на [0, T ] и принадлежит . Тогда при каждом достаточно малом μ решение y ( t , μ) задачи (2.3.1) также существует, единственно на [0, T ] принадлежит G , и имеет место равномерный относительно предельный переход
(2.3.8)
Доказательство. Перейдем в (2.3.1) к новой неизвестной функции . Имеем
Перейдем к эквивалентному интегральному уравнению
(2.3.9)
где причем . Здесь и в
дальнейшем бесконечно малые при μ →0 величины будем обозначать
ω(μ), ω1 (μ) и т. д. Применим к уравнению (2.3.9) метод последовательных приближений и докажем, что ▲(t,μ) существует на сегменте [0,Т] и .Это очевидно, равносильно утверждению теоремы 1.2.
Построим последовательные приближения обычным образом
Предварительно заметим, что так как y=y(t) принадлежит G для кривая , где при достаточно малом μ. также принадлежит G для
Положим Тогда
(2.3.10)
В равномерной сходимости последовательности ( k ) ▲ к решению ▲(t,μ) уравнения (2.3.9) можно убедиться совершенно, может в пределе при k→∞ появиться равенство. Поэтому , что равносильно (2.3.8).
Замечание. Теорема доказана для скалярного случая, но аналогичное утверждение справедливо и для случая, когда y — вектор.
2.3.2 Теорема 2.3.2 остается справедливой, если имеет место возмущение не только в уравнении, во и в начальных условиях, т. е. имеет вид
1. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Известия Ак. паук СССР, серия метем, 21(1957), 605—626.
2. Мищенко Е.Ф., Понтрягии Л.С. Периодические решения систем дифференциальных уравнении, близкие к разрывным, Доклады Ак. наук СССР, 102, № 5 (1955), 889-891.
3. Мищенко Е.Ф., Асимптотическое вычисление периодических решении систем дифференциальных уравнении, содержащих малые параметры при производные. Известия Ак. наук СССР, серия матем., 21 (1957), 627—654.
4. Мищенко Е., Понтрягии Л.С. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром пр» производных, Известия Ак. наук СССР, серия матем., 23(1959), 643—660.
5. Тихонов А. И-, Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных, Матем. еборн., 31(73): 3 (1952), 574—586.
6. Боголюбов Н.И., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Москва, 1955.
7. Митропольскнй Ю.А., Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах, Изд. АН УССР, 1955.