Рекурсивные цифровые фильтры разностное уравнение

Рекурсивные цифровые фильтры разностное уравнение

21.6. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ, ИХ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Цифровой фильтр описывается тремя характеристиками — разностным уравнением , которому может быть поставлена в соответствие передаточная функция K ( z ) или полученная в результате обратного z -преобразования K ( z ) его дискретная импульсная характеристика h [ k ] . Из приведенных примеров следует, что существуют два принципиально различных класса цифровых фильтров. Фильтры первого класса — нерекурсивные — описываются разностным уравнением, в котором выходная величина y [ k ] выражается только через конечное число значений входного сигнала x [ n ] . Таким, например, является уравнение усреднения, рассмотренное выше.

Фильтры второго класса — рекурсивные — описываются уравнением, в котором выходная переменная y [ k ] выражается не только через значения входного сигнала x [ n ], но и через предшествующие значения выходного сигнала y [ k – m ] . Сюда, например, относится разностное уравнение u₂[ k + 1] = u₂[ k ] e -T/ t + u₁[ k ][h(T) – h(T – T_и)], описывающее преобразование прямоугольных сигналов RС -цепью (см. п. 20.4), а также дискретные модели любых других аналоговых динамических систем (в частности, электрических цепей).

Нерекурсивный цифровой фильтр сохраняет информацию о входном сигнале за конечное число шагов — его импульсная характеристика конечна, а передаточная функция имеет вид ряда по степеням z (который включает и отрицательные показатели).

Информация, поступившая на вход рекурсивного фильтра, сохраняется в нем бесконечно долго; он имеет бесконечную по длительности импульсную характеристику и описывается передаточной функцией в виде рациональной дроби. Максимальная разность индексов переменных в разностном уравнении, который отвечает разность степеней z в числителе и знаменателе передаточной функции, определяет порядок цифрового фильтра.

Так, нерекурсивный цифровой фильтр второго порядка описывается разностным уравнением f 2 [ n ] = a 0 f 1 [ n ] + a 1 f 1 [ n – 1] + a 2 f 1 [ n – 2], его передаточная функция K ( z ) = a 0 + a 1 z –1 + a 2 z –2 , а импульсная характеристика определяется коэффициентами, h [ n ] = a 0 , a 1 , a 2 , 0, 0, 0, 0, .

Рекурсивный цифровой фильтр второго порядка описывается разностным уравнением f 2 [ n ] = a 0 f 1 [ n ] + a 1 f 1 [ n – 1] + a 2 f 1 [ n – 2] + b 1 f 2 [ n – 1] + b 2 f 2 [ n – 2],

а его передаточная функция — .

По известным значениям коэффициентов разностного уравнения a k и b k цифровой фильтр 2-го порядка может быть реализован с помощью умножителей, сумматоров и блоков задержки.

Блок-схемы цифровых фильтров обоих классов 2-го порядка, включающие перечисленные блоки, показаны на рис. 21.10 ( а – нерекурсивный; б – рекурсивный).

Разностные уравнения рекурсивных и нерекурсивных фильтров

Важную роль в системах обработки сигналов играют рекурсивные фильтры 1-го и 2-го порядков.

• Базовый рекурсивный фильтр 1-го порядка. Базовым РФ 1-го порядка называют фильтр, описываемый разностным уравнением вида:

(6)

Применив z-преобразование к левой и правой частям уравнения, получим

. (7)

Следовательно, передаточная функция фильтра имеет вид

. (8)

• Рекурсивный фильтр 1-го порядка. Разностное уравнение имеет вид:

(9)

Применив z-преобразование к левой и правой частям уравнения, получим

. (10)

. (11)

• Базовый рекурсивный фильтр 2-го порядка.Разностное уравнение и передаточная функция имеют вид:

(12)

. (13)

• Рекурсивный фильтр 2-го порядка. Разностное уравнение и передаточная Функция имеют вид:

(14)

. (15)

• Нерекурсивный фильтр 2-го порядка. Разностное уравнение и передаточная функция имеют вид:

(16)

. (17)

На основе приведенных примеров можно сформулировать мнемоническое правило определения передаточной функции по разностному уравнению (и наоборот):

• коэффициенты разностного уравнения являются коэффициентами передаточной функции;

• коэффициенты разностного уравнения при равны коэффициентам числителя передаточной функции при z — k , k = 0,1. N -1.

• коэффициенты разностного уравнения b_k при x_n—k равны коэффициентам знаменателя передаточной функции (с обратным знаком) при z — k , k = О, 1. N

Пример. Известна передаточная функция рекурсивного фильтра

. (18)

Разностное уравнение имеет вид:

(19)

• В общем случае передаточная функция дискретного фильтра может быть получена путем применения z-преобразования к разностным уравнениям (1) и (2). Рекурсивный фильтр:

(20)

(21)

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)

Преобразование Лапласа дискретного сигнала. Z-преобразование. Разностное уравнение дискретного фильтра

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

В предыдущих разделах мы подробно рассмотрели расчет аналоговых фильтров с заданными характеристиками. Пришло время переходить к анализу цифровых фильтров. Необходимо разделить понятия дискретного и цифрового фильтра.

Дискретным мы будем называть фильтр, импульсная характеристика которого является дискретной, а коэффициенты передаточной функции рассчитаны точно без ошибок округления.

Под цифровым фильтром мы будем понимать дискретный фильтр, коэффициенты передаточной характеристики которого рассчитаны не точно, а с ошибками округления вызванными конечной разрядностью представления числа.

На практике все рассчитанные фильтры являются цифровыми, так как разрядность представления числа ограничена. Однако использование компьютера позволяет производить операции с 64-битными числами с плавающей точкой, что минимизирует ошибки округления, поэтому можно предполагать, что рассчитанные с такой разрядностью фильтры «почти дискретные».

Важно отметить, что округление коэффициентов устойчивого дискретного фильтра, даже самое незначительное, может привести к неустойчивому цифровому фильтру. Поэтому при расчете фильтров, особенно фильтров высокого порядка, всегда необходимо проверять их устойчивость.

В цифровых системах сигналы представляют собой последовательности отсчетов, взятые, как правило, через равные промежутки времени . Ранее мы уже рассматривали модель дискретного сигнала :

Графически процесс дискретизации сигнала показан на рисунке 1.

Рассмотрим преобразование Лапласа дискретного сигнала :

Важное замечание. Если , то получаем дискретно-временное преобразование Фурье дискретного сигнала, при этом является периодической функцией частоты с периодом , кроме того, если , то

Кружочками условно показаны нули образа , а крестиками — полюсы.

Важно отметить, что периодичность дискретного преобразования Лапласа соответствует периодичности преобразования Фурье дискретного сигнала . Однако, как мы знаем из теории дискретного преобразования Фурье, на каждом периоде повторения спектр дискретного сигнала может быть искажен эффектом алиасинга, т.е. наложением «хвостов» исходной спектральной плотности из высших зон Найквиста (заполненная точками область на карте нулей и полюсов образа соответствует высшим зонам Найквиста).

В случае дискретного преобразования Лапласа эффект алиасинга сохраняется, и периодический образ на каждом периоде отличается от исходного образа . Так например, мы можем наблюдать алиасинг полюсов из высших зон Найквиста при неверном выборе частоты дискретизации. Если все полюсы исходного образа попадают в первую зону Найквиста, то при дискретизации они периодически разможатся, как это показано на рисунке 2.

Положение нулей дискретного преобразования Лапласа , как правило отличается от положения нулей исходного образа в результате эффекта алиасинга.

Рассмотрим процесс фильтрации дискретного сигнала . Согласно свойству преобразования Лапласа, процесс фильтрации во временно́й области сводится к умножению образа исходного сигнала на передаточную характеристику фильтра , которая в свою очередь, представляет преобразование Лапласа импульсной характеристики фильтра . Тогда преобразование Лапласа сигнала на выходе фильтра можно записать:

Первый случай. — образ дискретного сигнала, удовлетворяет (3), а — передаточная характеристика непрерывного фильтра, и свойство (3) не выполняется, значит также не удовлетворяето (3). Тогда можно сделать вывод о том, что при прохождении дискретного сигнала через аналоговый фильтр, выходной сигнал получается аналоговым. Аналоговый фильтр производит восстановление непрерывного сигнала по имеющемуся дискретному.

Второй случай. удовлетворяет (3), также удовлетворяет (3) (импульсная характеристика фильтра является дискретной), причем интервалы дискретизации сигнала и фильтра одинаковые и равны . Тогда в результате произведения также удовлетворяет (3). Таким образом, при прохождении дискретного сигнала через дискретный фильтр, выходной сигнал получается дискретным, с той же частотой дискретизации.

Третий случай. и удовлетворяют (3), но интервал дискретизации сигнала равен , а интервал дискретизации импульсной характеристики фильтра (исходный сигнал и и импульсная характеристика фильтра дискретизированы с разной частотой). В этом случае , в частных случаях, может удовлетворять (3), но период дискретизации выходного сигнала , будет равен «наименьшему общему кратному» периодов и . Заметим, что термин «наименьшее общее кратное» взят в кавычки, потому что и могут быть вещественными числами, в том числе и иррациональными. Тогда понимается как вещественное число, которое делится нацело как на , так и на . Например, если , а , то . Данный на практике не встречается, так как требует реализации цифровых схем, работающих на разных тактовых частотах. Разработка таких схем сопряжена с трудностями синхронизации при переходе данных из модулей, работающих на различных тактовых частотах.

Основное правило — для дискретных и цифровых фильтров интервалы дискретизации сигнала и фильтра должны быть равны.

Таким образом, для того чтобы на выходе фильтра получить дискретный сигнал, необходимо чтобы импульсная характеристика фильтра также была дискретной, а значит передаточная характеристика дискретного фильтра может быть представлена как результат дискретного преобразования Лапласа:

Если у дискретного фильтра количество коэффициентов ограничено, то такой фильтр называют фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром) [1] , а если количество коэффициентов бесконечно, то такой фильтр называют фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр) [2] .

При переходе от аналогового фильтра к цифровому, происходит периодическое размножение передаточной характеристики вдоль оси . При этом, переменная в образах дискретного преобразования Лапласа всегда присутствует только в показателе экспоненты, для обеспечения периодичности передаточных характеристик дискретных систем [1, стр 155].

В результате периодизации также происходит периодическое размножение нулей и полюсов, что доставляет некоторые неудобства. Для облегчения анализа вводят переменную вида:

Отображение не является конформным [2, стр. 145], потому что множество точек плоскости отображается в одну точку плоскости .

Графически отображение -плоскости в комплексную -плоскость показано на рисунке 3.

Рассмотрим некоторые особенности отображения (7).

Если , где , то для всех этих точек .

Если чисто вещественно, то и также вещественное, причем 0″/>. Заметим, что при , (внутри единичной окружности), а при величина (вне единичной окружности).

При , точка на мнимой оси плоскости отображается в точку , расположенную на единичной окружности и повернутой на угол рад. Таким образом, вся мнимая ось плоскости отображается в единичную окружность плоскости . Причем, один оборот единичной окружности соответствует от до рад/c.

Левая полуплоскость комплексной плоскости отображается внутрь единичной окружности плоскости . Действительно если , то представляет вектор длины повернутый на угол рад. При , длина вектора .

Правая полуплоскость комплексной плоскости отображается вне единичной окружности плоскости .

При переходе из комплексной -плоскости в комплексную -плоскость все бесконечно-повторяющиеся нули и полюса дискретного фильтра в -плоскости отображаются в конечное количество нулей и полюсов в -плоскости. Тогда выражение для передаточной характеристики дискретного фильтра может быть представлено при помощи подстановки (7) через конечное количество нулей и полюсов в -плоскости как:

Таким образом, главный вывод, который мы должны сделать заключается в следующем: при переходе от аналогового фильтра к дискретному, образ по Лапласу становится периодическим по мнимой оси, а количество нулей и полюсов фильтра бесконечным. Но при переходе в комплексную –плоскость мы получаем снова конечное количество нулей и полюсов, и соответственно конечное количество коэффициентов дискретного фильтра.

Рассмотрим некоторые свойства -преобразования. При этом мы будем рассматривать свойства относительно индексов отсчетов в предположении . В результате мы можем опустить период дискретизации в выражениях -преобразования.

Линейность. -образ суммы двух сигналов равен сумме -образов этих сигналов. Действительно, пусть есть два дискретных сигнала и , . Найдем -преобразование их суммы :

Можно показать, что данное свойство также справедливо и для циклической задержки ограниченной выборки сигнала:

Теорема о свертке. Пусть дано два сигнала ограниченной длительности и , . Найдем -преобразование их циклической свертки :

При выводе было использовано свойство циклической задержки -преобразования. Таким образом циклическая свертка сигналов соответствует произведению их -образов.

Аналогично, используя свойство задержки, можно показать, что -образ линейной свёртки сигналов равен произведению их -образов:

Ранее мы говорили о том, что пассивные аналоговые цепи описываются интегро-дифференциальными уравнениями непрерывного времени . При этом математический аппарат преобразования Лапласа позволяет перейти к алгебраическим уравнениям комплексной переменной при описании характеристик комплексных сопротивлений двухполюсников и передаточных функций четырехполюсников.

Ограничение количества пассивных элементов аналогового фильтра приводит к ограничению порядков интегро-дифференциальных уравнений и, соответственно, полиномов переменной при описании передаточных характеристик.

Прохождение сигнала через аналоговый фильтр описывается интегралом свертки входного сигнала и непрерывной импульсной характеристики , которая в свою очередь не может иметь произвольную форму при ограничении порядка аналогового фильтра, потому что является результатом решения интегро-дифференциальных уравнений ограниченного порядка.

Дискретные системы, в свою очередь, описываются разностными уравнениями дискретного времени . По аналогии с аналоговыми фильтрами, мы не можем требововать бесконечных порядков разностных уравнений, потому что это потребует бесконечных вычислительных ресурсов. Таким образом, мы должны ограничить порядки разностных уравнений, которые связывают выходной сигнал дискретного фильтра с входным сигналом , а также со значениями выходного сигнала на предыдущих тактах .

Заметим, что здесь мы также ведем рассмотрение относительно индексов отсчетов сигналов, в предположении c.

Общее разностное уравнение линейного цифрового фильтра имеет вид:

Временной индекс изменяется от до бесконечности, т.к. предполагается, что фильтр после включения может работать неограниченно долго.

Рассмотрим -преобразование разностного уравнения (16). -образ выходного сигнала равен: