Релятивистское уравнение движения пространственная часть

ОТНОСИ́ТЕЛЬНОСТИ ТЕО́РИЯ

ОТНОСИ́ТЕЛЬНОСТИ ТЕО́РИЯ, опи­сы­ва­ет дви­же­ние тел и про­стран­ст­вен­но-вре­менны́е от­но­ше­ния при про­из­воль­ных ско­ро­стях дви­же­ния, в т. ч. близ­ких к ско­ро­сти све­та. Тер­мин «О. т.» вве­дён М. План­ком в 1906. Ис­поль­зу­ет­ся так­же тер­мин «ре­ля­ти­ви­ст­ская тео­рия».

Релятивистское уравнение движения.

Рассмотрим тело массы , движущееся вдоль оси под действием силы . Уравнение движения тела в классической механике — это второй закон Ньютона: . Если за бесконечно малое время приращение скорости тела равно , то , и уравнение движения запишется в виде:

. ( 10)

Теперь заметим, что — изменение нерелятивистского импульса тела. В результате получим «импульсную» форму записи второго закона Ньютона — производная импульса тела по времени равна силе, приложенной к телу:

. ( 11)

Все эти вещи вам знакомы, но повторить никогда не помешает 😉

Классическое уравнение движения — второй закон Ньютона — является инвариантным относительно преобразований Галилея, которые в классической механике описывают переход из одной инерциальной системы отсчёта в другую (это означает, напомним, что при указанном переходе второй закон Ньютона сохраняет свой вид). Однако в СТО переход между инерциальными системами отсчёта описывается преобразованиями Лоренца, а относительно них второй закон Ньютона уже не является инвариантным. Следовательно, классическое уравнение движения должно быть заменено релятивистским, которое сохраняет свой вид под действием преобразований Лоренца.

То, что второй закон Ньютона ( 10) не может быть верным в СТО, хорошо видно на следующем простом примере. Допустим, что к телу приложена постоянная сила. Тогда согласно классической механике тело будет двигаться с постоянным ускорением; скорость тела будет линейно возрастать и с течением времени превысит скорость света. Но мы знаем, что на самом деле это невозможно.

Правильное уравнение движения в теории относительности оказывается совсем не сложным. Релятивистское уравнение движения имеет вид ( 11), где p — релятивистский импульс:

Производная релятивистского импульса по времени равна силе, приложенной к телу.

В теории относительности уравнение ( 12) приходит на смену второму закону Ньютона.

Давайте выясним, как же в действительности будет двигаться тело массы m под действием постоянной силы . При условии из формулы ( 12) получаем:

Остаётся выразить отсюда скорость:

Посмотрим, что даёт эта формула при малых и при больших временах движения. Пользуемся приближёнными соотношениями при :

. ( 15)

Формулы ( 14) и ( 15) отличаются от формул ( 3) и ( 4) только лишь знаком в левых частях. Очень рекомендую вам запомнить все эти четыре приближённых равенства — они часто используются в физике.

Итак, начинаем с малых времён движения. Преобразуем выражение ( 13) следующим образом:

При малых имеем:

Последовательно пользуясь нашими приближёнными формулами, получим:

Выражение в скобках почти не отличается от единицы, поэтому при малых имеем:

.

Здесь — ускорение тела. Мы получили результат, хорошо известный нам из классической механики: скорость тела линейно растёт со временем. Это и не удивительно — при малых временах движения скорость тела также невелика, поэтому мы можем пренебречь релятивистскими эффектами и пользоваться обычной механикой Ньютона.

Теперь переходим к большим временам. Преобразуем формулу ( 13) по-другому:

При больших значениях имеем:

Хорошо видно, что при скорость тела неуклонно приближается к скорости света , но всегда остаётся меньше — как того и требует теория относительности.

Зависимость скорости тела от времени, даваемая формулой ( 13), графически представлена на рис. 2.

Начальный участок графика — почти линейный; здесь пока работает классическая механика. Впоследствии сказываются релятивистские поправки, график искривляется, и при больших временах наша кривая асимптотически приближается к прямой .

Лекция 1 Кинематика материальной точки (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

Это следует хотя бы из того факта, что количественная характеристика взаимодействия – сила, зависит от относительного положения тел и относительной скорости. Это означает, что изменение положения или скорости одного тела другое тело чувствует мгновенно, через изменение действующей на него силы. В действительности, благодаря конечной скорости распространения взаимодействий, тело может почувствовать происшедшее изменение с некоторой задержкой.

Этот факт может привести к нарушению третьего закона Ньютона. Пусть две частицы взаимодействуют друг с другом в достаточно удаленных точках 1 и 2 с силами, удовлетворяющими условиям и требованиям третьего закона Ньютона (рис. 2.5). Если быстро переместить частицу из точки 1 в точку 1´, то некоторое время частицы в точках 1´ и 2 будут взаимодействовать с силами, не направленными вдоль линии, соединяющей эти частицы в данный момент. Вообще, если во всех контактных взаимодействиях третий закон Ньютона не имеет никаких противоречий, то при полевых взаимодействиях необходимо учитывать следующее. Хотя при гравитационном и кулоновском взаимодействии неподвижных частиц третий закон Ньютона верен, применение его в случае взаимодействия частица-поле становится бессмысленным. Поле действует на частицу, но не имеет смысла говорить о противодействии частицы полю.

Третий закон Ньютона нарушается также при взаимодействии двух движущихся частиц, когда они взаимодействуют с электрическими и магнитными силами

,

где — это напряженность электрического поля и индукция магнитного поля, создаваемого k-тым зарядом (k=1,2), а — заряд и скорость этой частицы. Если для электрической составляющей взаимодействующих зарядов третий закон Ньютона и верен, то для магнитного взаимодействия (силы Лоренца) он непосредственно не применим, так как Лоренцев силы не направлены по линии, соединяющей заряды.

Третий закон Ньютона нарушается также для систем взаимодействующих через поля излучения. Лебедев экспериментально доказал, что поля излучения (свет) наделены энергией, импульсом и оказывают давление при падении на тела. Если на миг забыть о полях, то получается, что источник поля излучения действует на тела, не испытывая при этом никакого противодействия со стороны этих тел (предполагается, что свет полностью поглощается телами).

Релятивистское уравнение движения. Релятивистская масса и импульс.

Опыты, обсуждаемые до сих пор, относились к медленным движениям макроскопических тел. В опытах с быстро двигающимися телами наблюдаются существенные отклонения от закономерностей, изложенных в предыдущих параграфах. Например, отношение , которое в ньютоновской механике является постоянной величиной, в опытах с быстро двигающимися телами ведет себя довольно странно. Оно экспериментально исследовалось в ускорителях заряженных частиц, в которых с помощью переменных электрических и магнитных полей зарядам сообщаются очень большие скорости. Экспериментальные исследования тангенциальных и нормальных ускорений заряда и зависимости электрических и магнитных сил по соответствующим направлениям, проведенные в циклотронах, дали следующие результаты:

(2.16)

Здесь v – скорость частицы, а m – ньютоновская масса. В случае малых скоростей эти соотношения дают обычный результат .

Кривые на рис. 2.6, представляют зависимости (2.16). Они показывают, что при больших скоростях инертные свойства частицы в направлении движения отличаются от инертных свойств в направлении, перпендикулярном по отношению к движению. Соответствующие инертные свойства характеризуются продольной и поперечной массами частицы.

Проведя в данной точке траектории единичные векторы и (см. рис. 1.9), учитывая формулы тангенциального и нормального ускорений (1.25) и (1.26), мы можем написать для полной силы, действующей на частицу, используя (2.16)

, (2.17)

где R — радиус кривизны траектории. Используя также соотношения

,

из лекции 1, представим (2.17) следующим образом

(2.18)

Полученная формула является уравнением релятивистского движения, которое является обобщением второго закона Ньютона для движений с большими скоростями. Как и второй закон Ньютона (2.18) нужно рассматривать как результат обобщения экспериментальных данных. В случае малых скоростей (2.18) переходит в известный закон Ньютона.

, (2.19)

и назовем их релятивистской массой и релятивистским импульсом соответственно. Тогда уравнение релятивистского движения (2.18) представим в обычном виде (2.6):

(2.20)

Конечно, в этом случае — релятивистский импульс. К уравнению релятивистского движения мы вернемся в дальнейшем.

В отличие от ньютоновской механики, ускорение в релятивистской механике в общем случае не совпадает с направлением силы, действующей на частицу.

Несовпадение направлений ускорения и силы следует из следующего представления уравнения (2.20) (рис. 2.7):

В двух частных случаях направление ускорения совпадает с направлением силы: когда сила перпендикулярна скорости частицы (F = Fn – поперечная сила) и когда сила параллельна скорости частицы (F = Ft – продольная сила). В указанных случаях связи между скоростями и силами представлены в формулах (2.16). Заметим, что при одинаковых значениях величин F и v поперечная сила сообщает частице большее ускорение, чем продольная.

В релятивистской механике нарушаются классические свойства массы (2.4). Из графика зависимости релятивистской массы от скорости (рис. 2.6) следует, что в довольно большой области значений скоростей m(v) практически не отличается от ньютоновской массы m = m(0). Последнее в релятивистской механике носит название массой покоя.

Прямая и обратная задачи механики.

Уравнение (3.5), выражающее второй закон Ньютона и уравнение релятивистского движения (4.3) вместе с кинематическими соотношениями дают:

(2.21а)

(2.21б)

Приведенные соотношения решают в ньютоновской и релятивистской механике задачи движения частиц, которые можно подразделять на два основных типа:

— по заданному закону движения определить силы, действующие на частицу (прямая задача),

— по известным силам определить закон движения частицы (обратная задача).

Решение прямой задачи не вызывает каких-либо математических трудностей, так как она, согласно (2.21) приводит к определению второй производной непрерывной функции . Например, определим силу, которая вызывает гармонические колебания частицы:

В ньютоновской механике из (2.21а) находим:

,

т. е. под действием квазиупругих сил. Попробуйте найти эту силу в релятивистской механике.

На практике большее значение имеет обратная задача, для решения которой необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка.

В обратных задачах законы (2.21) – это основные дифференциальные уравнения динамики движения материальной точки.

Известно, что решение векторного дифференциального уравнения второго порядка содержит две векторные постоянные. Следовательно, для обеспечения однозначности решения обратной задачи необходимы дополнительные сведения относительно движения. В качестве таковых обычно выступают положение и скорость частицы в начальный момент времени

, (2.22)

которые называются начальными условиями движения.

Решая различные задачи, исходя из требований целесообразности, можно пользоваться векторным, координатным или естественным методом описания движения. В этом случае основные уравнения динамики материальной точки необходимо представлять соответственно выбранным методам.

В прямоугольной системе координат уравнения (2.21а) и (2.21б) имеют вид:

(2.23а)

(2.23б)