Реологическая модель описываемая уравнением называется

Реологическая модель описываемая уравнением называется

ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛЕКЦИИ № 6

Реологические модели и уравнения течения пищевых масс

Рассмотрим основные модели и виды течения пищевых масс. При этом необходимо указать, что точные математические законо­мерности получены только для ньютоновского течения. Для всех неньютоновских течений выведены лишь приближенные формулы.

Известны три промежуточные модели идеализированных мате­риалов (см. таблица 6.4): идеальноупругое тело (по Гуку), идеальнопластическое тело (по Сен-Венану), идеальновязкая жидкость (по Ньютону).

Идеальноупругое тело является системой, в которой энергия, затраченная на деформацию, накапливается в теле и мо­жет быть возвращена при разгрузке.

Идеальнопластическое тело может быть представле­но в виде элемента, лежащего на плоскости с постоянным по вели­чине трением, не зависящим от нормальной силы. Тело по Сен-Ве­нану не начнет двигаться до тех пор, пока напряжение сдвига не превысит некоторого критического значения — предельного напря­жения, после чего элемент может двигаться с любой скоростью.

Таблица 6.4. Реологические модели простых идеализированных тел

Идеальновязкая жидкость характеризуется тем, что в ней напряжения пропорциональны скорости деформации.

(6.2)

где h — коэффициент вязкости; — скорость сдвига, с –1 .

Вязкое течение, происходит под действием любых сил, как бы малы они ни были, однако скорость деформации при уменьшении сил снижается, а при их исчезновении обращается в нуль.

Модели могут быть скомбинированы параллельно или последовательно из двух или трех элементов: пружины (тело по Гуку), поршня (тело по Ньютону) и двух прижатых плоскостных элементов (тело по Сен-Венану). Они.

Наиболее сложные модели отражают следующие тела: упруго-пластическое, упруго-вязкое (по Максвеллу), вязко-упругое (по Кельвину), вязко-пластическое (по Шведову-Бингаму) (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Реологические модели:

t — напряжение сдвига, Па; t₀ — предельное напряжение сдвига, Па; G — модуль сдвига, Па; g — угловая деформация; — скорость сдвига, с; h — вязкость, Па·с; h_пл — пластическая вязкость, Па·с.

Модель упруго-пластического тела получается при последова­тельном соединении упругого и пластического элементов.

Модель упруго-вязкого релаксирующего тела по Максвел­лу — это последовательно соединенные гуковский и ньютоновский элементы. Те­ло по Максвеллу ведет себя как упругое или как вязкое в зависимости от отношения времени релаксации к длительности эксперимента. Итак, если под дей­ствием мгновенного усилия пружина растягивается, а затем нагрузка сразу сни­мается, то поршень не успевает двигаться и система ведет себя как упругое тело. Однако, с другой стороны, если поддерживать растяжение пружины постоян­ным, она постепенно релаксирует, перемещая поршень вверх, и система ведет себя почти как ньютоновская жидкость.

Модель вязко-упругого тела по Кельвину — параллельное со­единение упругого и вязкого элементов. Под действием растягивающего усилия пружина удлиняется, а поршень будет двигаться в жидкости. Движение поршня связано с вязким сопротивлением жидкости, ввиду чего полное растяжение пру­жины наступает не сразу. Когда нагрузка устранена, пружина сжимается до пер­воначальной длины, но это требует времени вследствие вязкого сопротивления жидкости.

Модель тела по Кельвину отражает явление упругого последействия, которое представляет собой изменение упругой деформации во времени, когда она или постоянно нарастает до некоторого предела после приложения нагрузки, или постепенно уменьшается после ее снятия.

Модель вязко-пластического тела по Шведову—Бингаму характеризует материалы, которые в первом приближении можно рассматривать как тела по Сен-Венану. Они начинают течь, когда напряжение сдвига дости­гает предельного напряжения. Если нет вязкого сопротивления, то скорость те­чения материала станет сколь угодно большой. Во втором приближений такие материалы должны обладать еще вязкостью. Все это приводит к постулированию идеального тела, реологическое уравнение которого предложено Бингамом.

Модель тела по Шведову отличается от модели по Бингаму тем, что парал­лельно телу по Сен-Венану присоединено тело по Максвеллу, а параллельно те­лу по Бингаму — тело по Ньютону.

В технологии пищевых производств встречается много мате­риалов, которые не подчиняются закону Ньютона; вязкость их при заданных температуре и давлении не остается неизменной, а зави­сит от скорости деформации и других факторов, поэтому зависи­мость напряжения от скорости сдвига имеет нелинейный характер. Эти материалы получили название неныотоновских веществ (ано­мальных). Одно и то же вещество в зависимости от концентрации может проявлять различные виды течения.

Рассмотрим наиболее типичные виды кривых течения псевдо­пластического материала (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Кривые течения псевдопластических материалов.

Уравнение Оствальда (степенной закон) описывает кривую, представленную на рис. 6.2, а,

при п

Уравнение (6.2) является эмпирическим, имеющим два пара­метра: константу k, зависящую от природы материала и геометри­ческих размеров измерительной аппаратуры, и константу n, явля­ющуюся индексом течения.

При , следовательно при α₀ = 0 (α — угол наклона каса­тельной к кривой), вязкость становится бесконечно большой. Од­нако практически находят конечное значение этой вязкости. При n = 1 степенной закон сводится к выражению Ньютона.

Степенной закон получил широкое распространение для описа­ния вязкости различных неньютоновских пищевых материалов: томатных паст, сахарных сиропов, абрикосового пюре, хлебопекар­ного теста, конфетных масс, крахмальных суспензий, майонеза, мыла и некоторых других.

На рис. 6.2, б приведена кривая (реограмма), которая может быть описана уравнением Штейгера,

при с > 0, (6.4)

где а, с — эмпирические коэффициенты.

Уравнение (6.3) действительно также и при , при этом предельная начальная вязкость h₀=1/с.

На рис. 6.2, в и г приведены кривые течения псевдопластиков, отличающихся аномалией при малых (в) или высоких (г) скоро­стях сдвига.

Дисперсные системы при напряжениях, меньших предельного, ведут себя как твердые тела и упруго деформируются, при напря­жении, превышающем предельное, становятся пластичными. Раз­личают несколько видов пластического течения (рис. 6.3).

Идеальнопластическое — течение, начинающееся после достижения предельного напряжения, когда наблюдается пропор­циональность между скоростью и напряжением сдвига. Для ха­рактеристик этого вида течения Бингам предложил уравнение (рис. 6.3, а)

, (6.5)

где t₀ — предельное напряжение сдвига, Па; h_пл — пластическая вязкость, Па·с.

Примером систем, довольно близко следующих уравнению Бингама, могут служить маргарин, шоколадные смеси, зубная паста, жидкие мыла и моющие средства, сырково-творожные и конфет­ные массы.

Рис. 6.3. Кривые течения пластических материалов:

а — тело по Бингаму; б — тело по Балкли-Гершелю; в — дилатантные материалы; г — тиксотропные материалы; д — антитиксотропные материалы; е — реопексные материалы.

Кривые течения некоторых пищевых материалов описываются уравнением Балкли-Гершеля (рис. 6.3, б) (например, масса для конфет «Русский узор»),

n

Пластическое течение, при котором не наблюдается пропорцио­нальной зависимости между скоростью сдвига и напряжением, называется неидеально-пластическим.

При достижении пре­дела текучести структура разрушается не сразу, а постепенно, по мере увеличения градиента скорости.

Кассон предложил для подобного рода течения следующее уравнение:

, (6.7)

где t_К — предельное напряжение по Кассону, Па; h_К — пластическая вязкость по Кассону, Па·с.

Уравнение (6.6) было применено при описании течения рас­плавленного шоколада, сливочного масла, вафельного теста и сгу­щенного молока.

Дилатантное течение характерно для веществ, у кото­рых с увеличением скорости сдвига возрастает вязкость (рис. 6.3, в). Это течение описывается уравнением (6.5) при n >1. При очень высоких напряжениях вязкость может стать бесконечно большой, что приведет к разрушению вещества. Примером дилатантных ма­териалов могут служить сгущенное молоко, полимерный клей для сигарет, некоторые растворы сахара, крахмала и т. п.

На рис. 6.3, г, д и е приведены кривые течения соответственно тиксотропных, антитиксотропных и реопексных материалов.

Материал считается тиксотропным, когда вязкость его яв­ляется функцией времени, причем предполагается, что структура после определенного времени покоя возвращается к первоначаль­ному состоянию. Время тиксотропного разрушения, так же как и восстановления, для различных структур изменяется в очень ши­роких пределах. Тиксотропия может быть определена по реограмме при получении кривой гистерезиса.

Материалы, состояние течения которых во времени является противоположным тому, какое дают тиксотропные системы, назы­вают антитиксотропными.

Вещества, структура которых во времени упрочняется, облада­ют свойствами реопексии.

Высокомолекулярные системы разделяют на две группы: жидкообразные и твердообразные с постепенным переходом между ни­ми (рис. 6.4).

Если истинновязкие жидкости характеризуются по­стоянным значением вязкости, то структурированные жидкости определяются зависимостью эффективной вязкости от действую­щего напряжения и двумя областями напряжений с постоянным значением вязкости: наибольшей предельной вязкостью h₀ практи­чески неразрушенной структуры и наименьшей вязкостью h_т пре­дельно разрушенной структуры, где h_т остается постоянной. Твердообразность тела выражается тем резче, чем значительнее раз­ность между h₀ и h_т. Переходными между h₀ и h_т являются значения эффективной переменной вязкости, убывающей с ростом напряжения (или градиента скорости).

Рис. 6.4. Зависимость скорости сдвига и вязкости от напряжения для жидкообразных (а) и твердообразных (б) систем.

Для практических расчетов при больших градиентах скорости могут быть введены величины: условный динамический предел те­кучести и наименьшая пластическая вязкость по Бингаму, если на кривой течения имеется достаточно широкий участок, практически линейный и соответствующий наиболее крутому на­клону к оси абсцисс. Если вязкость, вычисленная для этого уча­стка,

, (6.8)

окажется значительно меньше h₀, то кривая течения аппроксими­руется прямой Бингама.

Для области несколько выше условного статического предела текучести при наличии линейного участка кривой течения мо­жет быть введена величина наибольшей пластической вязкости (по Шведову)

(6.9)

Истиннопластические тела характеризуются наличием истин­ного предела текучести, совпадающего с пределом упругости, т.е. таким предельным напряжением сдвига, ниже которого экспери­ментально никакого течения не обнаруживается.

Для научного обоснования задач технологической обработки пищевых материалов большое значение имеет изучение процессов структурообразования систем. П. А. Ребиндер предложил разде­лить структуры на коагуляционные (тиксотропно-обратимые) и конденсационно-кристаллизационные (необратимо разрушаю­щиеся) .

Коагуляционные структуры возникают под действием связей и других нековалентных молекулярных сил сцепления кол­лоидных частиц, участвующих в интенсивном броуновском движе­нии, и более крупных частиц, находящихся в суспензии. Кинетика тиксотропного восстановления структуры вызывается интенсивным броуновским движением, в результате которого частицы сцепляются друг с другом и более крупными конгломератами по коагуляционным участкам или по местам наибольшего сближения поверхностей.

Конденсационно-кристал­лизационные структуры обра­зуются в результате срастания мелких кристаллов, образующихся в раство­рах, в пространственные системы или развития химических ковалентных свя­зей. Такие структуры весьма прочны и механически разрушаются необратимо.

Рис. 6.5. Кривые кинетики де­формации.

Для определения упруго-пластич­но-вязких свойств дисперсных систем и растворов высокополимеров предло­жено экспериментальное определение семейства кривых деформации чистого сдвига e — время t, полученных при σ=const (рис. 6.5). При испыта­ниях проводятся в области упругих об­ратимых деформаций (рис. 6.5, а), при , появляется остаточная деформация, которая после заверше­ния упругого последействия приводит к установившемуся течению (рис. 6.5, б).

Наиболее важным реологическим показателем свойств мате­риала является зависимость скорости деформации от напряжения. Для большинства пищевых масс эта зависимость имеет сложный характер. В этих случаях реологические свойства характеризуются кривой зависимости скорости деформации от напряжения, назы­ваемой кривой течения, или реограммой.

Объемная деформация пищевых масс

В тестоделителях для хлебопекарного теста, делительно-закаточных машинах для бараночных заготовок, макаронных прессах, прессах для отжима масла и соков, машинах для формования кон­фетных масс, грануляторах, машинах для таблетирования и т. п. обрабатываемые пищевые массы находятся в условиях всесторон­него сжатия. При этом происходит их уплотнение сначала в резуль­тате удаления воздуха или жидкости, а затем переориентации и более плотной упаковки частиц массы в основном благодаря пла­стической деформации.

При машинной обработке и формовании пищевых масс всегда одновременно происходят деформации сдвига и сжатия. Изучение «поведения» масс при объемной деформации дает возможность увязать конструкцию и прочность рабочих органов и кинематику машин с физико-механическими свойствами перерабатываемых масс.

При изучении объемной деформации материала под давлением в условиях всестороннего сжатия обычно решаются следующие задачи: распределение давления в объеме массы, сжимаемость материала под давлением, зависимость плотности массы от дав­ления, процессы релаксации напряжений и ползучести.

Исследование «поведения» макаронного теста в условиях все­стороннего сжатия показало, что давление в тесте распространяет­ся неодинаково: давление в осевом направлении превышает ра­диальное на 10-15%. В интервале изменения влажности от 28 до 33% стабилизация процесса всестороннего сжатия наступает при давлении 3 МПа. При испытании хлебопекарного теста было уста­новлено, что давление в тестовой массе при сжатии распределяет­ся также неравномерно и зависит от длительности приложения силы на нагнетателе. Превышение давления прессования над за­данным рабочим определяется размерами тестовой камеры техно­логической машины и физико-механическими свойствами теста.

При многократном нагружении хлебопекарного теста наиболь­шее увеличение плотности происходит после первого нагружения, при дальнейших нагружениях изменение плотности незначительно. Основные изменения плотности наблюдались при давлениях до 0,15-0,2 МПа. После пятикратного нагружения давлением 0,25 МПа плотность теста из муки I сорта влажностью 46,4% уве­личилась на 27,5%, теста влажностью 42,2% — на 21%, теста для украинского хлеба — на 18%. После разгрузки системы (при со­хранении получен-ной деформации) давление во времени медленно уменьшается.

Характерные кривые прессования для различных пищевых ма­териалов (макаронного и бараночного теста, пралиновых конфет­ных масс, чая, кофе и т.п.) приведены на рис. 6.6. По кривым вид­но, что до образования сплошной однородной структуры с мак­симальным уплотнением массы вначале происходит резкое изме­нение плотности от давления, а затем наблюдается незначительное повышение плотности при резком увеличении давления.

Практически различают трудно- и легкоуплотняемые материа­лы. Трудно-уплотняемыми являются такие, которые после длитель­ной зоны предвари-тельного уплотнения (без большой затраты энергии) незадолго до максимального уплотнения могут восприни­мать большие нагрузки без заметного уплотнения (рис. 6.6, а). Другие трудноуплотняемые материалы обладают большим упру­гим последействием (рис. 6.6, б). Диаграмма прессования легко­уплотняемых материалов (рис. 6.6, в) имеет короткую зону предуплотнения, нагрузка медленно возрастает на протяжении всего времени прессования.

От физико-механических свойств перерабатываемого материа­ла, его дисперсности и температуры, объема конечного спрессо­ванного продукта зависят: величина зоны предварительного уплот­нения, упругость массы, работа, затрачиваемая на изменение фор­мы, и скорость нагружения материала.

Рис. 6.6. Кривые прессова­ния.

При определении зависимости плотности бараночного теста от давления было выяснено, что вначале происходит сжатие теста, имеющего большое количество газовых включений. При этом зави­симость имеет криволинейный характер. После уплотнения теста при давлении выше 0,8 МПа эта зависимость принимает линейный характер. Так как в рабочих цилиндрах делительно-закаточных ба­раночных машин при формовании тестовых заготовок давление превышает 0,8 МПа, то для практических расчетов представляет интерес линейная зависимость.

Количество получаемой жидкой фазы при прессовании маслич­ных материалов, плодов, ягод зависит от величины рабочего дав­ления, характера связи жидкости с материалом, содержания жид­кой фазы в исходном материале и остатке, температуры процесса, толщины прессуемого слоя и продолжительности процесса. Жид­кая фаза в прессуемых продуктах находится в свободном и связан­ном состоянии. Свободная жидкость легко отделяется от сухого вещества материала. Для отделения осмотической и адсорбционно связанной влаги требуется затрата значительной энергии, что происходит, например, при сушке.

Перед отжатием пищевые материалы подвергаются механиче­ской, термической, электрофизической обработке. Механическая обработка заключается в измельчении материала с целью разру­шения клеточных оболочек, препятствующих выходу жидкости из клеток. При тепловой и электрофизической обработке происходят более сложные процессы, но цель та же: подготовить сырье к наи­более полной отдаче жидкой фазы при прессовании.

Физическая сущность отжатая жидкой фазы при прессовании заключается в следующем. В начальный период прессования мате­риала его частицы сближаются и жидкость, находящаяся на по­верхности частиц, движется по каналам между частицами, а затем жидкость перемещается в слое пористого материала по капилля­рам переменного сечения и направления, т. е. осуществляется фильтрация жидкой фазы в слое.

Как было указано выше, отжатие массы материала при прессо­вании связано с фильтрацией, при которой отжимаемая жидкость должна проходить по сложной системе капилляров с переменным сечением. Следовательно, при прессовании происходит фильтрация, которую в общем виде можно описать законом Пуазейля

(6.10)

где V — объем жидкости, проходящей через канал за время t, м 3 ; р — потеря напора в капилляре, Па; r — радиус капилляра, м; — динамическая вязкость жидкости, Па·с; l — длина капилляра, м.

Прессование — более сложный процесс, чем процесс фильтра­ции жидкости по капиллярам. Однако анализ уравнения Пуазейля позволяет сделать некоторые практические выводы. Из этого урав­нения следует, что при прессовании нерационально увеличивать толщину слоя и целесообразно повысить температуру массы. Бо­лее полному отжатию жидкости способствуют увеличение давле­ния и уменьшение вязкости жидкости. Но, с другой стороны, уве­личение давления уменьшает сечение капилляров, а следователь­но, и производительность прессов. Поэтому оптимальное рабочее давление при прессовании устанавливается опытным путем с уче­том свойств материала, количества и качества получаемой жидкой фазы.

Изменение объема теста зависит от сжимаемости газовых пу­зырьков и деформации структурной сетки, более компактной «упа­ковки» твердой дисперсной фазы в дисперсионной среде.

Существенное влияние на условия объемной деформации и те­чения пищевых масс при их прессовании, формовании и транс­портировании по трубам оказывают релаксация давления и ползу­честь материала. В пищевой промышленности эти явления изуче­ны для хлебного, макаронного и бараночного теста, различных конфетных масс, байхового чая и некоторых других продуктов.

Особый интерес релаксация представляет для циклических про­цессов формования (отсадка конфет, печенья, кремов), так как период релаксации несколько больше разности между временем кинематического цикла и временем выдавливания массы в реаль­ных отсадочных машинах. Это приводит к тому, что внутренние напряжения не успевают рассасываться в период между отсадками и масса, сохраняя упругое последействие, после остановки нагне­тательных органов продолжает выпрессовываться через отверстия матрицы, что препят-ствует образованию корпусов изделий задан­ной формы. При перекрывании отверстия в момент остановки нагнетателя остаточные напряжения в массе способствуют ее уп­лотнению и синерезису. Следовательно, при отсадке (особенно сбивных масс) необходимо принудительное снятие напряжений в массе в период между двумя отсадками.

Испытания различных вязко-пластических и псевдопластичес­ких пищевых масс (конфетных, макаронного (хлебного и бара­ночного теста и т. п.) показали, что с повышением давления все реологические характеристики возрастают. Например, при уве­личении давления от 0 до 49 кПа на пралиновые конфетные мас­сы вязкость увеличивается в 1,5-2,5 раза, а предельное напря­жение сдвига — в 2-3 раза. При повышении давления происходит уплотнение массы, причем график прессования пищевых материа­лов имеет нелинейный вид, что обусловливает и непостоянство влияния на структурно-механические свойства.

Опыты с бараночным тестом позволили установить, что с по­вышением избыточного давления от 0 до 2,45 МПа вязкость уве­личивается в 1,2-1,4 раза, а предельное напряжение сдвига — примерно в 3 раза. Для макаронного теста при изменении давле­ния от 3,5 до 9 МПа наблюдается увеличение вязкости примерно в 1,5-1,8 раза и предельного напряжения сдвига в 1,4-1,5 раза. Подводя итог влиянию давления на реологические свойства пищевых материалов, следует отметить, что давление влияет на качество го­товой продукции. Поэтому при расчете того или иного процесса нужно стремиться к тому, чтобы обработка пищевых материалов производилась при оптимальном давлении.

РЕОЛОГИЯ

РЕОЛОГИЯ – наука о деформациях и текучести сплошных сред, обнаруживающих упругие, пластические и вязкие свойства в различных сочетаниях. Упругие деформации возникают в теле при приложении нагрузки и исчезают, если нагрузки снять; пластические деформации появляются только в том случае, когда вызванные нагрузкой напряжения превышают известную величину – предел текучести; они сохраняются после снятия нагрузки; вязкое течение отличается тем, что оно возникает при любых сколь угодно малых напряжениях, с ростом напряжений увеличивается скорость течения, и при сохранении напряжений вязкое течение продолжается неограниченно. Еще одно свойство, которым могут обладать среды, изучаемые реологией, – это высокоэластичность, характерная, например, для резины, когда резиновая лента допускает десятикратное растяжение, а после снятия нагрузки практически мгновенно восстанавливает первоначальное состояние.

Типичный реологический процесс – это сравнительно медленное течение вещества, в котором обнаруживаются упругие, пластические или высокоэластические свойства. Само слово реология происходит от греческого rew – течение; афоризм «все течет» по-гречески звучит panta rei – (па’нта ре’и). Реологические явления проявляются во многих природных процессах и в большом числе технологических. Очень многочисленны вещества, участвующие в таких процессах: это породы, составляющие земную кору, магма, вулканическая лава, это нефть и глинистые растворы, играющие важнейшую роль в добыче нефти; влажная глина, цементная паста, бетон и асфальтобетон (смесь асфальта и песка, которой покрывают тротуар), это масляные краски – смесь масла и частиц пигмента; это растворы и расплавы полимеров в процессе изготовления нитей, пленок, труб путем экструзии; наконец, это – хлебное тесто и тестообразные массы, из которых изготовляют конфеты, сосиски, кремы, мази, зубные пасты, это твердое топливо для ракет; это, наконец, белковые тела, например, мышечные ткани. В этот не полный перечень «реологических» сред входят как тела, которые естественно считать твердыми (бетон), так и жидкие – нефть. Еще один опыт можно провести с высокомолекулярным раствором полиэтиленоксида в воде. Если, наклонив стакан А, начать переливать из него раствор в нижний стакан Б (рис. 1), а потом аккуратно вернуть стакан А на место, то окажется, что тонкая струйка раствора продолжает перетекать из верхнего стакана в нижний: интересно, что эта струйка сначала поднимается вверх по вертикальной стенке стакана А, а затем, переливается через край и стекает вниз, в стакан Б – это своеобразный сифон, но без сифонной трубки.

Совсем простой опыт невольно ставит тот, кто испачкал пальцы смолой, резиновым клеем или густым сахарным сиропом: попытка разлепить пальцы приводит к образованию упругих нитей, которые вытягиваются из текучей среды. Именно так образуется паутина и шелковая нить.

Реология позволяет понять, что при быстрых воздействиях все тела ведут себя как твердые, при медленных – текут. Но понятия «быстрый» и «медленный» для разных сред различны. Удар о воду на скорости 200 км/час мало чем отличается от удара об асфальт – вода ведет себя как твердое тело (ее текучесть не успевает проявиться). Железобетонный столб, косо прислоненный к стене, через месяц оказывается кривым – бетон течет; струны на гитаре, оставленные в натянутом состоянии, снижают тон – в результате медленного течения материала их длина чуть-чуть увеличилась, соответственно, уменьшилось натяжение – их приходится подтягивать. Горные породы за геологические периоды сминаются в складки – образуются горные системы. Без вычислений ясно, что диапазон времен в реологических явлениях простирается от долей секунды до миллионов лет.

Итак, механические свойства разных реологических сред, во-первых, весьма разнообразны, и, во-вторых, оказываются существенно различными в зависимости от условий нагружения.

Очень многие реологические среды являются дисперсными системами двух или трех фаз: это мелкие твердые частицы, распределенные в вязкой жидкости (суспензия или гель, если твердая фаза преобладает), или это мелкие капельки одной жидкости в другой – эмульсия, или пузырьки воздуха в жидкости (пена), и т.д. Но, тем не менее, реология рассматривает такую среду как однородную, но обнаруживающую такие же механические свойства, как и те, что установлены в опытах с реальным конкретным материалом. Этот подход, характерный для механики сплошных сред, позволяет избежать трудностей, связанных с изучением механизмов взаимодействия фаз, и сравнительно просто описать основные черты поведения реологических сред при воздействии на них заданных нагрузок. Такие теории называются феноменологическими.

Математическая модель механических свойств данной среды задается уравнением, связывающим напряжения, имеющиеся в окрестности некоторой точки среды, и деформации, возникающие вследствие этого, причем в это уравнение могут входить и скорости напряжений и деформаций, т.е. их производные по времени, и интегралы по времени от напряжений или деформаций.

Это уравнение называется реологическим уравнением состояния среды или ее определяющим соотношением, и играет роль, аналогичную роли уравнения состояния идеального газа, нужно только иметь в виду, что уравнение состояния газа гораздо точнее отражает свойства конкретного газа, чем реологическое уравнение – свойства некоторой вязко-упруго-текучей среды, что объясняется очевидной причиной – очень высокой сложностью тех сред, которые изучает реология.

Определяющее соотношение должно быть сформулировано как связь тензоров напряжений и деформаций на основе всех известных опытных данных, но сами опыты эту связь не устанавливают, а лишь показывают ее проявления в некоторых частных случаях.

Простой и наглядный способ построения реологического уравнения состояния состоит в том, что каждое основное свойство среды можно смоделировать подходящим элементом, то есть упругость – пружинкой, вязкость – поршнем в цилиндре с вязкой жидкостью, пластичность – элементом с сухим трением (рис. 2).

Соединив тем или иным образом эти элементы, получают модель образца для механических испытаний, свойства которого в общих чертах можно определить теоретически. Это позволяет, изучив опыты с конкретным материалом, подобрать такое соединение элементов, чтобы обеспечить качественное соответствие реальным опытам, подбирая жесткость пружинки, вязкость масла в поршне, величину коэффициента сухого трения, можно добиться достаточно точного совпадения экспериментальных кривых и их модельного представления (если, конечно, структура модели правильно организована и достаточно богата для описания данного материала). Если модель из элементов построена, то написание математического соотношения производится по определенным правилам, причем сравнительно простым.

Модель, составленную из пружинок и поршеньков, можно только растягивать, но растяжению в модели могут соответствовать и сжатие, и сдвиг, и объемная деформация в натурной среде.

Можно построить модель вязко-упругого тела, последовательно соединив упругий и вязкий элементы (рис. 3).

Если эту систему быстро нагрузить (дернуть), то вязкий элемент не успеет сдвинуться с места и будет вести себя, как замороженный, а деформацию возьмет на себя пружина – и модель ведет себя как упругое тело. Наоборот, при медленном нагружении, например, при постоянной силе, к некоторой небольшой постоянной деформации пружины прибавляется в принципе неограниченно возрастающая деформация вязкого элемента, т.е. модель ведет себя как упругая жидкость, которую называют жидкостью Максвелла (а также телом или моделью Максвелла). Эта жидкость не подчиняется закону вязкости Ньютона и поэтому называется неньютоновской жидкостью.

Закон Гука применительно к пружине имеет вид

где D_g – упругое удлинение пружины, P – сила, C – жесткость пружины.

Для вязкой жидкости справедлив закон Ньютона, который применительно к перемещению поршня в цилиндре дает

здесь D_a – вязкое смещение поршня в цилиндре, M – коэффициент вязкого сопротивления.

Уравнение, описывающее зависимость удлинения модели (рис. 3) D от величины силы получают, сложив упругое удлинение пружины D_g и вязкое удлинение системы «цилиндр-поршень» D_a ; но поскольку скорость вязкого удлинения матрицы d D_a / dt известна, то удобнее найти скорость удлинения модели d D / dt по формуле

Таким образом, уравнение модели имеет вид:

Чтобы теперь перейти от модели к сплошной среде, удлинение D l заменяют деформацией e , силу P – напряжением s , жесткость C – модулем упругости G, а коэффициент вязкого сопротивления M – вязкостью жидкости m , в результате получается определяющее реологическое уравнение среды Максвелла в виде:

(точка означает производную по времени). Если задано напряжение как функция времени, s = ¦( t ) , то скорость деформации легко находится по формуле

Если же деформация задана как функция времени, то реологическое уравнение Максвелла представляет собой дифференциальное уравнение относительно t , решение которого имеет вид

(здесь t₀ – начальное напряжение при t = 0, а величина называется временем релаксации). Пусть в начальный момент к образцу прикладывается усилие, вызывающее напряжение s₀ ; при этом в образце возникает деформация e₀ . Если эту деформацию поддерживать постоянной, ( e = 0) , то напряжение t , согласно (2), убывает со временем экспоненциально, т.е.

и за время T уменьшается в e раз, (e » 2,71828 – основание натуральных логарифмов). Таким образом, время релаксации T характеризует скорость убывания напряжений в описанном процессе при e = const, который называется процессом релаксации.

Реологическое уравнение Максвелла пригодно для качественного описания процессов в стекловидных и полимерных материалах. Для хорошего количественного описания используются более сложные модели.

Выражение для s = f(t) содержит интеграл по времени от начала процесса до текущего момента; поэтому значение напряжения s в момент t зависит от значений e во все предшествующие моменты от 0 до t, поэтому такие модели называют «материалами с памятью».

Для описания реологических свойств суглинка, имеющего структуру геля, в котором частицы песка соединяются цепочками коллоидных частиц глины, а промежутки заполнены водой, Кельвин предложил схему, в которой упругий и вязкий элементы соединены параллельно, т.е. так, что их деформации одинаковы (рис. 4).

Соответствующее реологическое уравнение получается аналогично тому, как это сделано для среды Максвелла, но с учетом того, что в модели Кельвина одинаковы деформации элементов, а общее напряжение получается суммированием напряжений в вязком и упругом элементах:

Анализ показывает, что среда Кельвина является твердым телом, похожим на губку, пропитанную вязкой жидкостью.

Примером более сложной модели является среда Бингама, модель которой представлена на рис. 4. Если увеличивать силу P, то сначала деформируется только пружина; затем, при определенном значении силы P, преодолевается сила трения бруска о поверхность и начинается его движение, сопротивление которому оказывает не только трение, но и вязкое сопротивление поршня в цилиндре (рис. 5).

Считается, что реология началась именно с этой модели, не укладывающейся в рамки взаимодействия классических сред – упругого тела и вязкой жидкости. Среда Бингама была введена для описания поведения свежей масляной краски, когда было установлено, что она является пластическим твердым телом, а не вязкой жидкостью.

Реологические модели, получаемые путем комбинирования основных элементов (упругость, вязкость, трение) качественно описывают поведение под нагрузкой реальных сред, но наблюдаются при этом значительные количественные отклонения. Но известны эффекты, для описания которых в настоящее время еще не создана удовлетворительная теория. В первую очередь, это так называемый эффект Вайсенберга. Он проявляется, в частности, в следующем опыте (рис. 6): Пусть есть два одинаковых стакана – один с ньютоновской вязкой жидкостью, например, с растительным маслом, другой – с концентрированным раствором высокополимерного вещества (например, сладкого сгущенного молока); оба стакана приводятся во вращение вокруг своих осей. Сверху в стаканы опущены неподвижные круглые стержни. В стакане с маслом видна ожидаемая картина – жидкость принимает форму тела вращения с параболической поверхностью, вертикальная координата которой возрастает с удалением от центра. Но в другом стакане жидкость начнет медленно подниматься по центральному неподвижному стержню, в результате чего уровень поверхности у оси оказывается выше, чем у краев.

Не менее интересен и «эффект Томса». В 1940-х многие исследователи замечали, что течение жидкости по трубопроводу сильно облегчается (снижается гидравлическое сопротивление), если в низкомолекулярную жидкость добавить очень малое (доли процента) количество растворимого полимера. Оказалось, что можно достигнуть четырехкратного снижения гидравлического сопротивления воды в трубе, добавляя несколько миллионных долей (по весу) подходящего высокомолекулярного вещества. Этот эффект используется в некоторых нефтепроводах, пожарных шлангах; есть исследования по снижению кровяного давления у животных.

Изучение реальных сред со сложными свойствами не обязательно относят к реологии: теория неньютоновской жидкостей, теория вязкоупругости и вязкопластичности, теория ползучести металлов при высоких температурах, механика природных процессов – это самостоятельные научные направления, с которыми связаны многие важнейшие достижения как в области теории, так и в области практики – от медицины до космоса, от снежных лавин до дрейфа континентов.

Рейнер М. Деформация и течение. М., 1963
Рейнер М. Реология. М., Наука, 1965
Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М., 1965
Работнов Ю.Н. Теория ползучести. М., Наука, 1966
Лодж А.С. Эластичные жидкости. М., 1969
Шульман З.П. Беседы о реофизике. Минск, Наука и техника, 1976

Реологические свойства

Реология — это учение о текучести материалов. Текучесть жидкости измеряется вязкостью, текучесть твердых веществ — ползучестью (крипом) и вязкоэластичностью.

Вязкость

Когда вещество течет под воздействием прилагаемой к нему нагрузки (например, сил гравитации), молекулы или атомы начинают контактировать с соседними атомами или молекулами. Таким образом, имеющиеся связи могут распадаться и образовываться снова, оказывая сопротивление течению. Это сопротивление течению и называется вязкостью.

Для таких жидкостей, как вода, силы связи между молекулами очень малы и легко преодолеваются, поэтому вода легко течет под воздействием сил, прилагаемых извне, и вязкость ее невысока. У некоторых других жидкостей силы межмолекулярного взаимодействия будут намного выше. Обычно такие силы ассоциируются с крупными молекулами, например, молекулами такого известного вещества, как патока. Молекулы в подобных веществах могут переплетаться друг с другом, что делает жидкость очень вязкой.

Рис. 1.8.1. Сдвиг слоя жидкости толщиной d, расположенного между двумя твердыми пластинами. Для движения верхней подвижной пластины относительно неподвижной нижней со скоростью V необходимо приложить силу F для преодоления сопротивления данного слоя жидкости

Эти явления наблюдаются у полимеров с высокой молекулярной массой.

Когда мы перемешиваем жидкость, мы прикладываем усилия, которые создают в жидкости напряжения сдвига, чем энергичнее перемешивается жидкость, тем выше скорость сдвига. Эта ситуация графически показана на Рис. 1.8.1. Напряжение и скорость сдвига определяются соотношениями:

Напряжение сдвига = r\s = F/A

Скорость сдвига = е = V/d

Существует ряд методов измерения напряжения сдвига путем оценки ряда скоростей сдвига для данной жидкости. По значениям скоростей сдвига, полученным экспериментальным путем, строят график в координатах напряжение сдвига — скорость сдвига. Зависимость между напряжением и скоростью сдвига для многих жидкостей является линейной. На Рис. 1.8.2 представлена типичная кривая для такой жидкости. Угол наклона кривой равен вязкости, т), определяемой по формуле: Т| = напряжение сдвига/скорость сдвига. Единицами измерения вязкости являются Паскаль секунды (Пах).

Вещества, для которых соотношение между напряжением и скоростью при сдвиге носит линейный характер, имеют один показатель вязкости для всего диапазона скоростей сдвига, и проявляют «ньютоновские » свойства текучести. Однако линейное соотношение наблюдается далеко не у всех материалов, некоторые имеют другие отличные характеристики, представленные на Рис. 1.8.3.

Рис. 1.8.2. Зависимость напряжения сдвига от скорости для ньютоновской жидкости

Рис. 1.8.3. Графическое представление реологических свойств ряда жидкостей

Жидкости с пластической характеристикой не будут течь, пока приложенное начальное напряжение сдвига не достигнет определенной величины. После этого течение жидкости будет соответствовать ньютоновскому поведению.

У дилатантных (расширяющихся) жидкостей при повышении скорости сдвига будет увеличиваться вязкость. Это означает, что чем быстрее мы будем перемешивать жидкость, тем труднее будет проводить этот процесс. Текучесть таких жидкостей невозможно характеризовать одним единственным показателем вязкости.

Для некоторых жидкостей увеличение скорости сдвига не приводит к соответствующему повышению напряжения сдвига. Это означает, что увеличение скорости сдвига облегчает перемешивание таких веществ, что отличает их от «ньютоновских» или дилантатных жидкостей. Подобное поведение жидкости называют псевдопластическим, оно приводит к распространенному явлению, называемому «разжижением вещества». Примером псевдопластического вещества стоматологического назначения является силиконовый оттискной материал, который за счет разжижения при увеличении скорости сдвига будет значительно легче вытекать из шприца, чем вещество, не обладающее псевдопластичностью.

Тиксотропия

До настоящего момента полагали, что если известны значения напряжения и скорости сдвига в данный момент времени, то можно определить вязкость. Для некоторых веществ при определенной скорости сдвига вязкость будет меняться, и если построить график в системе координат «напряжение сдвига — скорость сдвига», то можно увидеть картину, представленную на Рис. 1.8.4.

Рис. 1.8.4. Характеристика тиксотропного поведения жидкостей

В этом случае, вязкость, наблюдаемая при повы шении скорости сдвига, отличается от таковой, при снижении этой скорости. Подобное явление называется гистерезисом. В таких случаях вязкость жидкости зависит от предшествующих деформаций, которым эта жидкость ранее подвергалась.

Этот тип поведения жидкости наблюдается в тех случаях, когда в результате перемешивания в ней произошло перераспределение молекул, и при этом молекулам не хватило времени снова вернуться к своему нормальному положению, имевшему место до перемешивания. Таким образом, чем дольше перемешивать жидкость с заданной скоростью сдвига, тем ниже будет напряжение сдвига, тем меньше будет вязкость этой жидкости. Однако если жидкость после перемешивания оставить на какое-то время, молекулы вернутся к своему нормальному распределению, и тогда весь процесс можно будет проводить снова. Такой тип поведения жидкости называется тиксотропным. Примером тиксотропной жидкости являются красители, не стекающие с кисти художника.

Клиническое значение

Реологические свойства материалов имеют большое значение потому, что они существенным образом определяют технологические характеристики материала.

Вязкоэластичность

Многие материалы по физическим свойствам находятся где-то посередине между вязкой жидкостью и упругим твердым телом. Считается, что у упругого твердого материала соотношение между напряжением и деформацией не зависит от каких бы то ни было динамических факторов, таких, как скорость приложения нагрузки или скорость деформации. Однако если материал нагружен в течение достаточного времени, в некоторых твердых веществах под воздействием нагрузок происходит перераспределение молекул, что приводит к изменению величины деформации материала. После снятия нагрузки, материал не способен сразу же вернуться в исходное состояние. Это означает, что поведение материала зависит от таких факторов, как «длительность нагрузки» и «величина прилагаемой нагрузки».

Простым и эффективным способом наглядного представления этих свойств является использование модели, основанной на комбинации пружины и масляного амортизатора, представляющей собой устройство для поглощения энергии удара. Пружина играет роль упругого элемента, а масляный амортизатор — вязкого. Изменение деформации этой модели со временем представлено на Рис.1.8.5. Для пружины приложение нагрузки приведет к моментальной деформации, которая будет сохраняться в течение всего времени действия нагрузки. Сразу же после снятия нагрузки пружина вернется в исходное состояние за счет сил упругости. Для масляного амортизатора, напротив, приложение нагрузки приведет к постепенному нарастанию деформации в течение всего времени

действия нагрузки. После снятия нагрузки деформация не исчезнет, и масляный амортизатор останется в новом положении.

Рис. 1.8.5. Графическая характеристика упругого поведения пружины и вязкого масляного амортизатора

При параллельном соединении этих двух элементов можно получить простую модель вязкоэластичности. Реакция такой модели на нагрузку представлена на Рис. 1.8.6. В этой модели масляный амортизатор препятствует резкой деформации упругой пружины. При этом деформация масляного амортизатора постепенно позволяет пружине приближаться к желаемому состоянию деформирования. При снятии нагрузки, масляный амортизатор препятствует возвращению пружины в исходное состояние, которое, в конце концов, может быть достигнуто через определенное время.

Рис. 1.8.6. Вязкоэластичное поведение пружины и амортизатора, соединенных параллельно

Вязкоэластичными свойствами обладает группа эластомерных оттискных материалов. Кривая в координатах «деформация-время» для эластомеров и отвечающая ей модель, основанная на упругом, вязком и вязкоэластичном элементах, представлена на Рис. 1.8.7. Для того, чтобы избежать избыточной постоянной деформации этих материалов, их не следует нагружать дольше положенного времени. По этой причине эластомерный оттискной материал удаляют из полости рта коротким резким рывком. Чем быстрее будет приложена и снята нагрузка, тем более упругой будет реакция материала.

Рис. 1.8.7. Вязкоэластичная модель реологического поведения полностью отвержденного эластомерного оттискного материала.

Нагрузка, приложенная в момент to приводит к мгновенному растяжению пружины А, а деформация пружины D запаздывает из-за противодействия амортизатора С. Через некоторое время амортизаторы С и В срабатывают и приводят к дальнейшей деформации. В момент t1 нагрузка снимается, пружина А мгновенно возвращается в исходное состояние. Амортизатор С препятствует возвращению пружины D в исходное состояние. Постепенно к моменту t2 пружина возвращается к своей первоначальной длине. Некоторая величина остаточной деформации сохраняется, так как поршень масляного амортизатора В не вернулся в свое исходное положение

Клиническое значение

Некоторые материалы по своим свойствам занимают промежуточное положение между жидкостью и твердым телом, что обуславливает их склонность к деформации.

Основы стоматологического материаловедения
Ричард ван Нурт