Алгебра. 7 класс
Решение задач с помощью линейных уравнений
Математические термины
Модель
Задачи
Определение
Значение переменной
Необходимо запомнить
Решение задачи обычно сводится к тому, чтобы путем логических рассуждений и вычислений найти значение какой-нибудь величины. Например, найти скорость, время, расстояние, массу какого-нибудь предмета или количество чего-то.
Такую задачу можно решить с помощью уравнения. Для этого искомое значение обозначают через переменную, затем, путём логических рассуждений, составляют и решают уравнение. Решив уравнение, производят проверку на то, удовлетворяет ли решение уравнения условиям задачи.
Задача решается верно только в том случае, если уравнение к ней составлено правильно. В отличие от обычных уравнений, по которым мы учимся находить корни, уравнения для решения задач имеют своё конкретное применение. Каждый компонент такого уравнения может быть описан в словесной форме. Составляя уравнение, обязательно нужно понимать для чего мы включаем в его состав тот или иной компонент и зачем он нужен.
Также необходимо помнить, что уравнение – это равенство, после решения которого левая часть должна равняться правой части. Составленное уравнение не должно противоречить этой идее.
Текстовая задача
Решите задачу двумя способами.
В первый день со склада было отпущено $20\%$ имевшихся груш. Во второй день $180\%$ от того количества груш, которое было отпущено в первый день. В третий день – оставшиеся $88$ кг. Сколько кг груш было на складе первоначально?
Разберём 2 способа решения этой задачи.
Для первого способа составим вспомогательную таблицу:
Составим и решим уравнение.
Значит, первоначально было 200 кг яблок.
$180\%$ от $20\%$ — $1,8$ x $0,2=0,36 — 36\%$
$20\%+36\%=56\%$ – за два дня.
$44\%$ составляют $88$ кг, (найти целое по его части).
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Решение задач с помощью линейных уравнений
Перечень рассматриваемых вопросов:
• Решение линейных уравнений.
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.
Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.
Выражение – это совокупность чисел и букв, соединенных между собой различными знаками.
Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.
Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.
Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.
Выражение – это совокупность чисел и букв, соединенных между собой различными знаками.
Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Мы уже рассматривали примеры функциональных зависимостей между величинами как математические модели реальных процессов. Теперь рассмотрим текстовые задачи, математическими моделями которых являются линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным.
Решить задачу можно с помощью системы уравнений, а можно с помощью одного уравнения. Рассмотрим на примере задачи.
Из города А в город В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 15 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 54 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
При решения текстовых задач эффективно построение схем и составление таблиц.
Используя сравнение скоростей, указанное в задаче, и обозначая скорость первого автомобиля икс, запишем скорость второго автомобиля на протяжении всего пути:
Скорость первого автомобиля: x, скорость второго автомобиля: x – 15x – 15/
Теперь заполним вспомогательную таблицу.
Условие, что автомобили прибыли в пункт назначения одновременно, используем для составления уравнения. Выражаем время первого автомобиля, которое он затратил на весь путь, через x.
Время первого автомобиля:
Время второго автомобиля:
Сократим на S ≠ 0 и умножим на 2.
Умножим обе части на 90x(x – 15), получим:
Решением уравнения будут корни:
Условию уравнения удовлетворяет только x = 60
Ответ: 60 км/ч – скорость первого автомобиля.
Составим алгоритм решения текстовых задач при помощи уравнений.
Решать задачу с помощью уравнения следует в такой последовательности:
1) обозначить переменной одну из неизвестных величин;
2) другие неизвестные величины (если они есть) выразить через введенную переменную;
3) по условию задачи установить соотношение между неизвестными и известными значениями величин и составить уравнение;
4) решить полученное уравнение;
5) проанализировать решение уравнения и найти неизвестную величину, а при необходимости и значения остальных неизвестных величин;
6) записать ответ к задаче.
Решите задачу двумя способами.
В первый день со склада было отпущено 20% имевшихся груш. Во второй день 180% от того количества груш, которое было отпущено в первый день. В третий день ‑ оставшиеся 88 кг. Сколько кг груш было на складе первоначально?
Разберем 2 способа решения этой задачи.
Для первого способа составим вспомогательную таблицу:
Значит, первоначально было 200 кг груш.
Составим вспомогательную аблицу:
Ответ: 200 кг груш.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Задание 1. Запишите выражение для нахождения цены 1 кг сахара (в руб.), если n тонн сахара стоят m рублей.
Для решения задачи, вспомним, сколько килограммов содержится в одной тонне:
Так как стоимость n тонн сахара = m рублей, то, чтобы найти, сколько стоит 1 кг сахара, нужно стоимость разделить на количество:
Цена персиков на 30 р. выше, чем цена абрикосов. Для консервирования компота купили 5 кг персиков и 7 кг абрикосов. По какой цене покупали фрукты, если вся покупка обошлась 850 рублей?
Пусть цена абрикосов – x рублей. Тогда x + 20x + 20 – цена персиков.
Всего купили персиков: 5(x + 30) и абрикосов 7x.
Так как на всю покупку затратили 850 руб., имеем выражение:
5(x + 30) + 7x = 850
Раскроем скобки: 5x + 150 + 7x = 850
Перенесем слагаемые, не содержащие переменной, в правую часть, меняя знак на противоположный:
Алгебра. 7 класс
Решение линейных уравнений с одним неизвестным
Математические термины
Стандартный вид
Корень уравнения
Корни уравнения
Корень уравнения
Необходимо запомнить
При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.
В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.
Но нельзя делить на неизвестное!
Схема решения линейного уравнения:
Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Линейными уравнениями называются не только уравнения вида $ax+b=0$, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду.
Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное, это важно! А деление на число, или дробь числовую – это пожалуйста!
Пары для подстановки
Уравнение вида: $ax=b$, где коэффициент $a$ и свободный член $b$ неизвестены, нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых корень равен $13$.
Подберите не менее трех пар таких постановок с обоснованием своего выбора.
Для того, чтобы подобрать такие пары постановок, необходимо выполнение равенства частей уравнения, а это возможно в том случае, если в разложение на множители числа $b$ будет входить число $13$. Отсюда следует, что второй множитель в разложении числа будет искомое число $a$.
Число $39=13\cdot3$, значит $a=3$, $b=39$. Уравнение примет вид: $3x=39$.
Число $169=13\cdot13$, значит $a=13$, $b=169$. Уравнение примет вид: $13x=169$.
Число $1313=13\cdot101$, значит $a=101$, $b=1313$. Уравнение примет вид: $101x=1313$.
http://resh.edu.ru/subject/lesson/7274/conspect/
http://resh.edu.ru/subject/lesson/7278/main/248165/