Решать квадратные уравнения через коэффициент

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k 2 − ac , а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x 2 + 6x − 16 = 0 . В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k .

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k , то есть 2k .

Например, число 10 можно представить как 2 × 5 .

В этом произведении k = 5 .

Число 12 можно представить как 2 × 6 .

В этом произведении k = 6 .

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7 .

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k .

В уравнении x 2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6 . Это число можно представить как 2 × 3 . В этом произведении k = 3 . Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x 2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8 .

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта ( D=b 2 − 4ac ), в формуле D₁ = k 2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac .

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3) . То есть k = −3 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5) . То есть k = −5 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2 k . Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k , нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k . Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k 2 − ac .

В выражении 4(k 2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k 2 − ac . Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k . Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k . Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k 2 − ac)

Но ранее было сказано, что выражение k 2 − ac обозначается через D₁ . Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Решать квадратные уравнения через коэффициент

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

Дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то

Дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Если a — b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то

341x 2 + 290x — 51 = 0

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию

341 — 51 = 290. Получим а + с = b. Следовательно, мы

можем воспользоваться свойством 2.

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 . Коэффициент b представлен в виде 2k, т.е. является четным числом, то формулу корней уравнения можно переписать в более простом виде

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
\( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \)
имеет вид
\( ax^2+bx+c=0, \)
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\( x^2 = -\frac \Rightarrow x_ <1,2>= \pm \sqrt< -\frac> \)

Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac \neq 0 \)

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac=0 \)

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac = 0 \Rightarrow \)

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt> <2a>\), где \( D= b^2-4ac \)

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end \right. \)