Решать целые уравнения 8 класс

Решение целых и дробно рациональных уравнений

Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.

Рациональное уравнение: определение и примеры

Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P = Q и P − Q = 0 будут равносильными выражениями.

А теперь обратимся к примерам.

x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , x x 2 + 3 · x — 1 = 2 + 2 7 · x — a · ( x + 2 ) , 1 2 + 3 4 — 12 x — 1 = 3 .

Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь.

Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.

3 · x + 2 = 0 и ( x + y ) · ( 3 · x 2 − 1 ) + x = − y + 0 , 5 – целые рациональные уравнения. Здесь обе части уравнения представлены целыми выражениями.

1 x — 1 = x 3 и x : ( 5 · x 3 + y 2 ) = 3 : ( x − 1 ) : 5 – это дробно рациональные уравнения.

К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.

Решение целых уравнений

Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

• сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
• затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n .

Необходимо найти корни целого уравнения 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) = x · ( 2 · x − 1 ) − 3 .

Решение

Проведем преобразование исходного выражения с целью получить равносильное ему алгебраическое уравнение. Для этого произведем перенос выражения, содержащегося в правой части уравнения, в левую часть и заменим знак на противоположный. В итоге получим: 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = 0 .

Теперь проведем преобразование выражения, которое находится в левой части в многочлен стандартного вида и произведем необходимые действия с этим многочленом:

3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = ( 3 · x + 3 ) · ( x − 3 ) − 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6

У нас получилось свести решение исходного уравнения к решению квадратного уравнения вида x 2 − 5 · x − 6 = 0 . Дискриминант этого уравнения положительный: D = ( − 5 ) 2 − 4 · 1 · ( − 6 ) = 25 + 24 = 49 . Это значит, действительных корней будет два. Найдем их, воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения:

x = — — 5 ± 49 2 · 1 ,

x 1 = 5 + 7 2 или x 2 = 5 — 7 2 ,

x 1 = 6 или x 2 = — 1

Проверим верность корней уравнения, которые мы нашли в ходе решения. Для этого числа, которые мы получили, подставим в исходное уравнение: 3 · ( 6 + 1 ) · ( 6 − 3 ) = 6 · ( 2 · 6 − 1 ) − 3 и 3 · ( − 1 + 1 ) · ( − 1 − 3 ) = ( − 1 ) · ( 2 · ( − 1 ) − 1 ) − 3 . В первом случае 63 = 63 , во втором 0 = 0 . Корни x = 6 и x = − 1 действительно являются корнями уравнения, данного в условии примера.

Ответ: 6 , − 1 .

Давайте разберем, что значит «степень целого уравнения». С этим термином мы будем часто встречаться в тех случаях, когда нам надо будет представить целое уравнение в виде алгебраического. Дадим определение понятию.

Степень целого уравнения – это степень алгебраического уравнения, равносильного исходному целому уравнению.

Если посмотреть на уравнения из примера, приведенного выше, можно установить: степень данного целого уравнения вторая.

Если бы наш курс ограничивался решением уравнений второй степени, то рассмотрение темы на этом можно было бы закончить. Но все не так просто. Решение уравнений третьей степени сопряжено с трудностями. А для уравнений выше четвертой степени и вовсе не существует общих формул корней. В связи с этим решение целых уравнений третьей, четвертой и других степеней требует от нас применения целого ряда других приемов и методов.

Чаще прочих используется подход к решению целых рациональных уравнений, который основан на методе разложения на множители. Алгоритм действий в этом случае следующий:

• переносим выражение из правой части в левую с тем, чтобы в правой части записи остался нуль;
• представляем выражение в левой части как произведение множителей, а затем переходим к совокупности нескольких более простых уравнений.

Пример 4

Найдите решение уравнения ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) .

Решение

Переносим выражение из правой части записи в левую с противоположным знаком: ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) − 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 0 . Преобразование левой части в многочлен стандартного вида нецелесообразно в связи с тем, что это даст нам алгебраическое уравнение четвертой степени: x 4 − 12 · x 3 + 32 · x 2 − 16 · x − 13 = 0 . Легкость преобразования не оправдывает всех сложностей с решением такого уравнения.

Намного проще пойти другим путем: вынесем за скобки общий множитель x 2 − 10 · x + 13 . Так мы придем к уравнению вида ( x 2 − 10 · x + 13 ) · ( x 2 − 2 · x − 1 ) = 0 . Теперь заменим полученное уравнение совокупностью двух квадратных уравнений x 2 − 10 · x + 13 = 0 и x 2 − 2 · x − 1 = 0 и найдем их корни через дискриминант: 5 + 2 · 3 , 5 — 2 · 3 , 1 + 2 , 1 — 2 .

Ответ: 5 + 2 · 3 , 5 — 2 · 3 , 1 + 2 , 1 — 2 .

Точно также мы можем использовать метод введения новой переменной. Этот метод позволяет нам переходить к равносильным уравнениям со степенями ниже, чем были степени в исходном целом уравнении.

Есть ли корни у уравнения ( x 2 + 3 · x + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( x 2 + 3 · x − 4 ) ?

Решение

Если мы сейчас попробуем свести целое рациональное уравнение к алгебраическому, то получим уравнение 4 степени, которое не имеет рациональных корней. Потому нам будет проще пойти другим путем: ввести новую переменную у, которая заменит в уравнении выражение x 2 + 3 · x .

Теперь мы будем работать с целым уравнением ( y + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( y − 4 ) . Перенесем правую часть уравнения в левую с противоположным знаком и проведем необходимые преобразования. Получим: y 2 + 4 · y + 3 = 0 . Найдем корни квадратного уравнения: y = − 1 и y = − 3 .

Теперь проведем обратную замену. Получим два уравнения x 2 + 3 · x = − 1 и x 2 + 3 · x = − 3 . Перепишем их как x 2 + 3 · x + 1 = 0 и x 2 + 3 · x + 3 = 0 . Используем формулу корней квадратного уравнения для того, чтобы найти корни первого уравнения из полученных: — 3 ± 5 2 . Дискриминант второго уравнения отрицательный. Это значит, что действительных корней у второго уравнения нет.

Ответ: — 3 ± 5 2

Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований.

Решение дробно рациональных уравнений

Начнем рассмотрение этой подтемы мы с алгоритма решения дробно рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 , где p ( x ) и q ( x ) – целые рациональные выражения. Решение остальных дробно рациональных уравнений всегда можно свести к решению уравнений указанного вида.

В основу наиболее употребимого метода решения уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 положено следующее утверждение: числовая дробь u v , где v – это число, которое отлично от нуля, равна нулю только в тех случаях, когда числитель дроби равен нулю. Следуя логике приведенного утверждения мы можем утверждать, что решение уравнения p ( x ) q ( x ) = 0 может быть сведено в выполнению двух условий: p ( x ) = 0 и q ( x ) ≠ 0 . На этом построен алгоритм решения дробных рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 :

• находим решение целого рационального уравнения p ( x ) = 0 ;
• проверяем, выполняется ли для корней, найденных в ходе решения, условие q ( x ) ≠ 0 .

Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи.

Найдем корни уравнения 3 · x — 2 5 · x 2 — 2 = 0 .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением вида p ( x ) q ( x ) = 0 , в котором p ( x ) = 3 · x − 2 , q ( x ) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Приступим к решению линейного уравнения 3 · x − 2 = 0 . Корнем этого уравнения будет x = 2 3 .

Проведем проверку найденного корня, удовлетворяет ли он условию 5 · x 2 − 2 ≠ 0 . Для этого подставим числовое значение в выражение. Получим: 5 · 2 3 2 — 2 = 5 · 4 9 — 2 = 20 9 — 2 = 2 9 ≠ 0 .

Условие выполняется. Это значит, что x = 2 3 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 2 3 .

Есть еще один вариант решения дробных рациональных уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 . Вспомним, что это уравнение равносильно целому уравнению p ( x ) = 0 на области допустимых значений переменной x исходного уравнения. Это позволяет нам использовать следующий алгоритм в решении уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 :

• решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
• находим область допустимых значений переменной x ;
• берем корни, которые лежат в области допустимых значений переменной x , в качестве искомых корней исходного дробного рационального уравнения.

Пример 7

Решите уравнение x 2 — 2 · x — 11 x 2 + 3 · x = 0 .

Решение

Для начала решим квадратное уравнение x 2 − 2 · x − 11 = 0 . Для вычисления его корней мы используем формулу корней для четного второго коэффициента. Получаем D 1 = ( − 1 ) 2 − 1 · ( − 11 ) = 12 , и x = 1 ± 2 3 .

Теперь мы можем найти ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Это все числа, для которых x 2 + 3 · x ≠ 0 . Это то же самое, что x · ( x + 3 ) ≠ 0 , откуда x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Теперь проверим, входят ли полученные на первом этапе решения корни x = 1 ± 2 3 в область допустимых значений переменной x . Мы видим, что входят. Это значит, что исходное дробное рациональное уравнение имеет два корня x = 1 ± 2 3 .

Ответ​​: x = 1 ± 2 3

Второй описанный метод решения проще первого в случаях, когда легко находится область допустимых значений переменной x , а корни уравнения p ( x ) = 0 иррациональные. Например, 7 ± 4 · 26 9 . Корни могут быть и рациональными, но с большим числителем или знаменателем. Например, 127 1101 и − 31 59 . Это позволяет сэкономить время на проведении проверки условия q ( x ) ≠ 0 : намного проще исключить корни, которые не подходят, по ОДЗ.

В тех случаях, когда корни уравнения p ( x ) = 0 целые, целесообразнее использовать первый из описанных алгоритмов решения уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 . Быстрее сразу находить корни целого уравнения p ( x ) = 0 , после чего проверять, выполняется ли для них условие q ( x ) ≠ 0 , а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p ( x ) = 0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

Найдите корни уравнения ( 2 · x — 1 ) · ( x — 6 ) · ( x 2 — 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) x 5 — 15 · x 4 + 57 · x 3 — 13 · x 2 + 26 · x + 112 = 0 .

Решение

Начнем с рассмотрения целого уравнения ( 2 · x − 1 ) · ( x − 6 ) · ( x 2 − 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) = 0 и нахождения его корней. Для этого применим метод решения уравнений через разложение на множители. Получается, что исходное уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2 · x − 1 = 0 , x − 6 = 0 , x 2 − 5 · x + 14 = 0 , x + 1 = 0 , из которых три линейных и одно квадратное. Находим корни: из первого уравнения x = 1 2 , из второго – x = 6 , из третьего – x = 7 , x = − 2 , из четвертого – x = − 1 .

Проведем проверку полученных корней. Определить ОДЗ в данном случае нам сложно, так как для этого придется провести решение алгебраического уравнения пятой степени. Проще будет проверить условие, по которому знаменатель дроби, которая находится в левой части уравнения, не должен обращаться в нуль.

По очереди подставим корни на место переменной х в выражение x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112 и вычислим его значение:

1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

( − 2 ) 5 − 15 · ( − 2 ) 4 + 57 · ( − 2 ) 3 − 13 · ( − 2 ) 2 + 26 · ( − 2 ) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

( − 1 ) 5 − 15 · ( − 1 ) 4 + 57 · ( − 1 ) 3 − 13 · ( − 1 ) 2 + 26 · ( − 1 ) + 112 = 0 .

Проведенная проверка позволяет нам установить, что корнями исходного дробного рацинального уравнения являются 1 2 , 6 и − 2 .

Ответ: 1 2 , 6 , — 2

Найдите корни дробного рационального уравнения 5 · x 2 — 7 · x — 1 · x — 2 x 2 + 5 · x — 14 = 0 .

Решение

Начнем работу с уравнением ( 5 · x 2 − 7 · x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 . Найдем его корни. Нам проще представить это уравнение как совокупность квадратного и линейного уравнений 5 · x 2 − 7 · x − 1 = 0 и x − 2 = 0 .

Используем формулу корней квадратного уравнения для поиска корней. Получаем из первого уравнения два корня x = 7 ± 69 10 , а из второго x = 2 .

Подставлять значение корней в исходное уравнение для проверки условий нам будет достаточно сложно. Проще будет определить ОДЗ переменной x . В данном случае ОДЗ переменной x – это все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 + 5 · x − 14 = 0 . Получаем: x ∈ — ∞ , — 7 ∪ — 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Теперь проверим, принадлежат ли найденные нами корни к области допустимых значений переменной x .

Корни x = 7 ± 69 10 — принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x = 2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

Ответ: x = 7 ± 69 10 .

Разберем отдельно случаи, когда в числителе дробного рационального уравнения вида p ( x ) q ( x ) = 0 находится число. В таких случаях, если в числителе находится число, отличное от нуля, то уравнение не будет иметь корней. Если это число будет равно нулю, то корнем уравнения будет любое число из ОДЗ.

Решите дробное рациональное уравнение — 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Решение

Данное уравнение не будет иметь корней, так как в числителе дроби из левой части уравнения находится отличное от нуля число. Это значит, что ни при каких значениях x значение приведенной в условии задачи дроби не будет равняться нулю.

Ответ: нет корней.

Решите уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 .

Решение

Так как в числителе дроби находится нуль, решением уравнения будет любое значение x из ОДЗ переменной x .

Теперь определим ОДЗ. Оно будет включать все значения x , при которых x 4 + 5 · x 3 ≠ 0 . Решениями уравнения x 4 + 5 · x 3 = 0 являются 0 и − 5 , так как, это уравнение равносильно уравнению x 3 · ( x + 5 ) = 0 , а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x 3 = 0 и x + 5 = 0 , откуда и видны эти корни. Мы приходим к тому, что искомой областью допустимых значений являются любые x , кроме x = 0 и x = − 5 .

Получается, что дробное рациональное уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 имеет бесконечное множество решений, которыми являются любые числа кроме нуля и — 5 .

Ответ: — ∞ , — 5 ∪ ( — 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Теперь поговорим о дробных рациональных уравнениях произвольного вида и методах их решения. Их можно записать как r ( x ) = s ( x ) , где r ( x ) и s ( x ) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Решение таких уравнений сводится к решению уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 .

Мы уже знаем, что мы можем получить равносильное уравнение при переносе выражения из правой части уравнения в левое с противоположным знаком. Это значит, что уравнение r ( x ) = s ( x ) равносильно уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 . Также мы уже разобрали способы преобразования рационального выражения в рациональную дробь. Благодаря этому мы без труда можем преобразовать уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 в тождественную ему рациональную дробь вида p ( x ) q ( x ) .

Так мы переходим от исходного дробного рационального уравнения r ( x ) = s ( x ) к уравнению вида p ( x ) q ( x ) = 0 , решать которые мы уже научились.

Следует учитывать, что при проведении переходов от r ( x ) − s ( x ) = 0 к p ( x ) q ( x ) = 0 , а затем к p ( x ) = 0 мы можем не учесть расширения области допустимых значений переменной x .

Вполне реальна ситуация, когда исходное уравнение r ( x ) = s ( x ) и уравнение p ( x ) = 0 в результате преобразований перестанут быть равносильными. Тогда решение уравнения p ( x ) = 0 может дать нам корни, которые будут посторонними для r ( x ) = s ( x ) . В связи с этим в каждом случае необходимо проводить проверку любым из описанных выше способов.

Чтобы облегчить вам работу по изучению темы, мы обобщили всю информацию в алгритм решения дробного рационального уравнения вида r ( x ) = s ( x ) :

• переносим выражение из правой части с противоположным знаком и получаем справа нуль;
• преобразуем исходное выражение в рациональную дробь p ( x ) q ( x ) , последовательно выполняя действия с дробями и многочленами;
• решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
• выявляем посторонние корни путем проверки их принадлежности ОДЗ или методом подстановки в исходное уравнение.

Визуально цепочка действий будет выглядеть следующим образом:

r ( x ) = s ( x ) → r ( x ) — s ( x ) = 0 → p ( x ) q ( x ) = 0 → p ( x ) = 0 → о т с е и в а н и е п о с т о р о н н и х к о р н е й

Решите дробное рациональное уравнение x x + 1 = 1 x + 1 .

Решение

Перейдем к уравнению x x + 1 — 1 x + 1 = 0 . Преобразуем дробное рациональное выражение в левой части уравнения к виду p ( x ) q ( x ) .

Для этого нам придется привести рациональные дроби к общему знаменателю и упростить выражение:

x x + 1 — 1 x — 1 = x · x — 1 · ( x + 1 ) — 1 · x · ( x + 1 ) x · ( x + 1 ) = = x 2 — x — 1 — x 2 — x x · ( x + 1 ) = — 2 · x — 1 x · ( x + 1 )

Для того, чтобы найти корни уравнения — 2 · x — 1 x · ( x + 1 ) = 0 , нам необходимо решить уравнение − 2 · x − 1 = 0 . Получаем один корень x = — 1 2 .

Нам осталось выполнить проверку любым из методов. Рассмотрим их оба.

Подставим полученное значение в исходное уравнение. Получим — 1 2 — 1 2 + 1 = 1 — 1 2 + 1 . Мы пришли к верному числовому равенству − 1 = − 1 . Это значит, что x = − 1 2 является корнем исходного уравнения.

Теперь проведем проверку через ОДЗ. Определим область допустимых значений переменной x . Это будет все множество чисел, за исключением − 1 и 0 (при x = − 1 и x = 0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Полученный нами корень x = − 1 2 принадлежит ОДЗ. Это значит, что он является корнем исходного уравнения.

Ответ: − 1 2 .

Найдите корни уравнения x 1 x + 3 — 1 x = — 2 3 · x .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением. Следовательно, будем действовать по алгоритму.

Перенесем выражение из правой части в левую с противоположным знаком: x 1 x + 3 — 1 x + 2 3 · x = 0

Проведем необходимые преобразования: x 1 x + 3 — 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x .

Приходим к уравнению x = 0 . Корень этого уравнения – нуль.

Проверим, не является ли этот корень посторонним для исходного уравнения. Подставим значение в исходное уравнение: 0 1 0 + 3 — 1 0 = — 2 3 · 0 . Как видите, полученное уравнение не имеет смысла. Это значит, что 0 – это посторонний корень, а исходное дробное рациональное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Если мы не включили в алгоритм другие равносильные преобразования, то это вовсе не значит, что ими нельзя пользоваться. Алгоритм универсален, но он создан для того, чтобы помогать, а не ограничивать.

Решите уравнение 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 7 7 24

Решение

Проще всего будет решить приведенное дробное рациональное уравнение согласно алгоритму. Но есть и другой путь. Рассмотрим его.

Отнимем от правой и левой частей 7 , получаем: 1 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 7 24 .

Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно числу, обратному числу из правой части, то есть, 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 24 7 .

Вычтем из обеих частей 3 : 1 2 + 1 5 — x 2 = 3 7 . По аналогии 2 + 1 5 — x 2 = 7 3 , откуда 1 5 — x 2 = 1 3 , и дальше 5 — x 2 = 3 , x 2 = 2 , x = ± 2

Проведем проверку для того, чтобы установить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

Презентация урока на тему: «Целые уравнения» для 8 класса

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тема урока: «ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ» Зачётная работа слушателя курсов повышения квалификации учителей математики Павловской Светланы Фёдоровны, учителя математики филиала МБОУ «Трудовская школа» при ГБУЗ РК «КПБ №5» —————————————————————- Руководитель: Матюшина Людмила Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математического образования КРИППО КРЫМСКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПОСЛЕДИПЛОМНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедра естественно-математического образования

СОДЕРЖАНИЕ: ВВЕДЕНИЕ УРОКИ.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники. ВВЕДЕНИЕ.

На изучение темы «Целое уравнение и его корни» отводится 5 часов. ОСНОВНАЯ ЦЕЛЬ- сформировать умение решать некоторые виды целых уравнений, используя разложение многочлена на множители и введение новой переменной.

УРОК 1. Тема. Целое уравнение и его корни. Цель: ввести понятие целого уравнения ,степени уравнения, познакомить учащихся с уравнениями высших степеней, повторить решение уравнений первой и второй степени. УРОК 2. Тема «Решение целых уравнений« Цели: сформировать умение решать некоторые виды целых уравнений, используя разложение многочлена на множители, введение новой переменной и графически. УРОК 3,4(2 часа). Тема:»Решение целых уравнений» Цели: обобщить и углубить сведения об уравнениях; закрепить умения и навыки решения целых уравнений систематизировать материал по данной теме. УРОК 5. Тема: «Решение целых уравнений» Цели: закрепить знания, умения и навыки при решении уравнений высших степеней

Тема урока: «Целое уравнение и его корни» Тип урока: урок объяснения нового материала.

ПЛАН УРОКА Проверка домашнего задания. (Фронтальный опрос) 2. Устная работа (математическое домино) 3. Изучение нового материала (Беседа с элементами лекции) 4. Закрепление нового материала (Вопросы. Решение № на доске и в тетрадях. Самостоятельная работа с последующей проверкой) 5. Домашнее задание. 6. Подведение итогов урока.

Цели урока: Образовательные: ввести понятие целого уравнения, степени уравнения, познакомить учащихся с уравнениями высших степеней. Развивающие: развитие мыслительной деятельности, внимания, развитие интереса к предмету, формирование потребностей к приобретению знаний. Воспитательные: воспитывать у учащихся взаимоуважения, трудолюбия, навыков самоконтроля.

ХОД УРОКА Проверка домашнего задания.(Фронтальный опрос учащихся) ПРОДОЛЖИТЬ ОТВЕТ Уравнением называется ….. Корнем уравнения с одной переменной называется… Решить уравнение –значит … Уравнения с одной переменной , имеющие одни и те же корни, называются … ПЕРЕЧИСЛИТЬ СВОЙСТВА РАВНОСИЛЬНОСТИ.

Не всегда уравненья Разрешают сомненья, Но итогом сомненья Может быть озаренье. /А.Н.Колмогоров/ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОМИНО

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Левая и правая части являются дробными выражениями. Такие уравнения относятся к дробным.

В ЭТИХ УРАВНЕНИЯХ ЛЕВАЯ И ПРАВЫЕ ЧАСТИ ЯВЛЯЮТСЯ ЦЕЛЫМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ . ТАКИЕ УРАВНЕНИЯ НАЗЫВАЮТСЯ ЦЕЛЫМИ.

Для целых уравнений введём определение степени уравнения. Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х)-многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Степень произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х)=0, где Р(х)-многочлен стандартного вида.

Определим степени уравнений

Приведём каждое уравнение к виду Р(х)=0, где Р(х) многочлен стандартного вида:

Исходное уравнениеР(х)=0Степень уравнения первая третья пятая вторая

Уравнение n-ой степени можно привести к общему виду: Степень уравненияОбщий вид Уравнение первой степени Уравнение второй степени Уравнение третьей степени Уравнение четвёртой степени И.т.д

Повторите алгоритм решения уравнений первой степени

КАК НАЗЫВАЮТСЯ УРАВНЕНИЯ ТАКОГО ВИДА? КАК РЕШИТЬ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ? СКОЛЬКО КОРНЕЙ МОЖЕТ ИМЕТЬ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ? СДЕЛАЙТЕ ВЫВОД О КОЛИЧЕСТВЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. Уравнение второй степени

1. Вычислить дискриминант по формуле: 2. Если то квадратное уравнение не имеет корней. 3. Если то квадратное уравнение имеет один корень: 4. Если то квадратное уравнение имеет два корня: Алгоритм решения квадратного уравнения В случае если b – четное число, то: Уравнение вида является приведенным квадратным уравнением. Если числа таковы, что то эти числа – корни уравнения. С помощью этого утверждения, а точнее утверждения, обратного теореме Виета можно решать приведенные квадратные уравнения

Для уравнений 3 и 4 степени известны формулы корней, но они очень сложны и неудобны для практического применения. Что касается уравнений пятой и более высоких степеней, то общих формул корней не существует.

Перед нами стоит задача: рассмотреть методы решения уравнений 3 , 4-й и более высоких степени.

ПЕРЕХОДИМ К ЗАКРЕПЛЕНИЮ НОВОГО МАТЕРИАЛА №265 1.Задание: Выполните устно Как определить степень уравнения Р(х)=0? Как определить степень произвольного уравнения?

Задание 2. Решите уравнение. №266

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА. Вариант 1. Вариант 2.

ОТВЕТЫ Вариант 1. Е Л -6 и -7 А 0 Ь Б 9 Вариант 2. Л У -4 и 12 А 48 Г -14 А

Вариант 1. Вариант 2. Нильс Хенрик (1802—1829), норвежский математик, один из крупнейших математиков 19 в.. . Абель доказал , что алгебраические уравнения степени выше 4-й в общем случае неразрешимы в радикалах. Эварист Галуа (1811-1832) Французский математик. Заложил основы современной алгебры. Нашёл необходимое и достаточное условие , которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ. П. 12, стр 72-73. №267 Повторить способы разложения многочлена на множители. Стр 242 п.7 Повторить графики функций. Стр 250 п.34-39

ИТОГ УРОКА. Что нового вы узнали сегодня на уроке? Какие уравнения называются целыми? Как определить степень целого уравнения? Сколько корней может иметь уравнение первой степени? Уравнение второй степени?

СПАСИБО ЗА УРОК!

Тема урока: «Решение целых уравнений» Тип урока: урок объяснения нового материала.

Цели урока: Образовательные: сформировать умение решать некоторые виды целых уравнений, используя разложение многочлена на множители, введение новой переменной и графически. Развивающие: развитие мыслительной деятельности, внимания, развитие интереса к предмету, формирование потребностей к приобретению знаний. Воспитательные: воспитывать у учащихся взаимоуважения, трудолюбия, навыков самоконтроля.

План урока: Постановка цели урока. Проверка домашнего задания (тест) Индивидуальная работа по карточкам (у доски) Фронтальный опрос учащихся (блиц-опрос) Объяснение нового материала Решение уравнений на доске и в тетрадях. Подведение итогов урока.

Проверка домашнего задания.(7 мин) Тест 1. Вариант 1. А1.Назовите степень уравнения Четвёртая Вторая Первая Седьмая А2..Найдите корень уравнения (5-х)(х+5)+х(х-10)=25 1)5 2)10 3)-2 4)0 В1. Решите уравнение. В ответе укажите корень ,если корней несколько, то их сумму Ответ :_______________ А1.Назовите степень уравнения 1) десятая 2) пятая 3)Первая 4)вторая А2..Найдите корень уравнения (7-х)(х+7)+х(х-14)=49 1)0 2)7 3)-14 4)-7 В1. Решите уравнение. В ответе укажите корень ,если корней несколько, то их произведение Ответ :_______________ Вариант 2.

Индивидуальная работа по карточкам.

БЛИЦ-ОПРОС. (РАБОТА С КЛАССОМ.) КАКОЕ УРАВНЕНИЕ НАЗЫВАЕТСЯ ЦЕЛЫМ? ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР ЦЕЛОГО УРАВНЕНИЯ? ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ ЦЕЛОГО УРАВНЕНИЯ? СКОЛЬКО КОРНЕЙ МОЖЕТ ИМЕТЬ ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ? К КАКОМУ ВИДУ МОЖНО ПРИВЕСТИ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ? К КАКОМУ ВИДУ МОЖНО ПРИВЕСТИ УРАВНЕНИЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ?

Проверка работы учащихся у доски.. План ответа К карточкам №1 и №2. Назвать степень уравнения. К какому виду уравнение приведено. Сколько корней может иметь уравнение данного вида. Алгоритм решения К карточке №3. Назвать способы разложения на множители.

2.Прямая 1.Кубическая парабола 4.Парабола 3.Гипербола Установить соответствие

На прошлом уроке мы познакомились с понятием степени целого уравнения , научились определять степень целого уравнения и повторили решение уравнений первой и второй степеней Из предложенных на слайде уравнений , найдите уравнения первой и второй степени и решите их устно. Изучение нового материала. Сегодня на уроке мы будем учиться решать уравнения более высоких степеней.

Р Е Ш И Т Е У Р А В Н Е Н И Я

Какое из уравнений на слайде вы можете решить?

Р Е Ш И Т Е У Р А В Н Е Н И Я

Какое свойство вы использовали при решение этого уравнения? Определим, уравнение какой степени мы решили.

Мы решили уравнение третьей степени, благодаря тому, что его левая часть была представлена в виде произведения множителей, а правая — равна 0.

Что значит представить многочлен в виде произведения? Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете? Нет ли на слайде уравнения, левую часть которого можно легко разложить на множители?

Р Е Ш И Т Е У Р А В Н Е Н И Я

Разложим многочлен в левой части уравнения на множители способом группировки. Ответ: -1;1;8. Решим уравнения х-8=0 или х-1=0 или х+1=0 Получаем х=8, х=1 ,х= -1.

При решении данного уравнения мы применили один из методов решения целых уравнений — метод разложения многочлена на множители. Суть его заключается в следующим: В уравнении Р(х)=0 многочлен Р(х)разложить на множители и затем прировнять каждый множитель к 0.Решив получившиеся уравнения , находим корни уравнения Р(х)=0.

Р Е Ш И Т Е У Р А В Н Е Н И Я Какие из уравнений можно решить методом разложения на множители?

Решите уравнения используя разложение многочлена на множители.

Р Е Ш И Т Е У Р А В Н Е Н И Я

Уравнение является биквадратным. Биквадратное уравнение является квадратным относительно Решить его можно используя метод введения новой переменной. , t ≥ 0 Тогда исходное уравнение запишется в виде : Находим корни и .Решаем уравнения И . Немного теории.

Решим уравнение Применим метод введения новой переменной для решения биквадратного уравнения.

НАЙДИТЕ НА СЛАЙДЕ БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И РЕШИТЕ ЕГО.

Р Е Ш И Т Е У Р А В Н Е Н И Я

Ответ: -3 и 3 Проверить решение

Метод введения новой переменной применяется при решении не только биквадратных уравнений. Этим методом можно решить и такие уравнения, как

РЕШИМ УРАВНЕНИЕ Решение.

Какую замену можно выполнить при решении этого уравнения? ПРОВЕРИТЬ

Р Е Ш И Т Е У Р А В Н Е Н И Я У нас на слайде осталось три уравнения.

Можно выделить целую группу уравнений, которые решить одним из рассмотренных методом трудно. И тогда на помощь приходят графики функций.

Решим уравнение Такой метод решения уравнений называется графическим методом используя графики функций.

Суть графического метода: левую и правую части уравнения рассматриваем как две функции. В одной системе координат строим графики этих функций. Находим точки пересечения графиков. Абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения.

Решим графически уравнение Ответ:х=1 Находим точку пересечения графиков. Абсцисса этой точки является решением данного уравнения

Как вы думаете, в чём недостаток данного метода решения? Графический способ решения уравнений не всегда обеспечивает высокую точность результата, и поэтому иногда приходится этот результат уточнять при помощи вычислений.

Итог урока Какие методы решения целых уравнений мы разобрали на уроке? Какое уравнение называется биквадратным? Сколько корней может иметь биквадратное уравнение? Сегодня на уроке мы рассмотрели некоторые методы решения целых уравнений.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЦЕЛОГО УРАВНЕНИЯ

Домашнее задание №273(а,д) №278(а,г) №276(б) Провести исследование корней биквадратного уравнения.

У нас остались не решены два уравнения К сожалению мы разобрали не все приёмы используемые при решении целых уравнений. Значит нам есть над чем работать на следующем уроке.

СПАСИБО ЗА УРОК! УРОК ОКОНЧЕН.

Тема урока: «Решение целых уравнений» Тип урока: урок отработки навыков. Вид урока: урок — практикум. (2 часа)

Цели урока: Образовательные: обобщить и углубить сведения об уравнениях; закрепить умения и навыки решения целых уравнений; систематизировать материал по данной теме. Развивающие: развитие мыслительной деятельности, внимания, развитие интереса к предмету, формирование потребностей к приобретению знаний. Воспитательные: воспитывать у учащихся взаимоуважения, трудолюбия, навыков самоконтроля.

ПЛАН УРОКА Проверка домашнего задания. (Работа с таблицей) Устная работа. (Математическая эстафета) Решение задач на доске и в тетрадях. Самостоятельная работа. Практическая работа. Углубление материала. Домашнее задание. Подведение итогов урока. Рефлексия.

ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ. Задание. Заполнить и сдать таблицу: №273(а,д) №278(а,г) №276(б) Метод разложения многочлена на множители. УравнениеРазложение на множителиСпособ разложенияКорни Метод введения новой переменной УравнениеЗаменаКвадратное уравнениеКорни исходного уравнения

Игра «Эстафета». Каждому ряду даются уравнения. Решив их по цепочке и заменив ответ соответствующим словом из таблицы, можно прочитать эпиграф к нашему уроку.

— 2.виду 0; -3 0задач:2 ;5 -3; 3; -1; 1уравнения жизненных3 Корней нетк -4;0;4приведениемих-1 2Большинствокак0; 3 -2,5;2;1самомупростому-7;7 -5; 5алгебраическиерешаются0; 2

Вопросы учащимся Какие уравнения вы сейчас решали? Какие методы вы применяли при решении? Какое уравнение называется биквадратным? Сколько корней может иметь биквадратное уравнение? Когда биквадратное уравнение имеет 4 корня? Когда биквадратное уравнение имеет 3 корня? Когда биквадратное уравнение имеет два корня? Когда биквадратное уравнение не имеет корней?

Устная самостоятельная работа Установите соответствие: Уравнение → способ 1. 2. 3. 4. 5. Способы решения: А. графический способ Б. разложение на множители способом вынесения общего множителя за скобки В. Ввести новую переменную, т.е. подстановку: t=… Г. Разложение на множители способом группировки Д. Разложение на множители способом вынесения общего множителя за скобки, введением подстановки: t=…

Ответы к устной самостоятельной работе Ответы: 1 → В 2 → Б 3 → Д 4 → Г 5 → А

Решение уравнений на доске и в тетрадях.

Выбрав удобную подстановку решите уравнения

Проведем практическую работу. У каждого на миллиметровой бумаге задана координатная плоскость и записано уравнение. Решите эти уравнения графически. . 1 вариант. 2 вариант. 3 вариант.

Проверка практической работы.

Решим задачу №270. Прочитайте условие задачи и составьте уравнение. Какое вы получили уравнение? Решите полученное уравнение.

Все ли найденные значения х удовлетворяют условию задачи? Ответ : 6см. Проверяем решение.

Решим задачу на нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координат. №280.(У доски) АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ КООРДИНАТ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С осью х: Решить уравнение f(х)=0 С осью у: Находим f(0).

№280 решить самостоятельно. Вариант 1.(б) Вариант 2.(в) Проверить

На прошлом уроке у нас остались не решены два уравнения Сегодня мы разберём некоторые приёмы решения уравнений высших степеней и решим эти уравнения.

Ни один из рассмотренных методов решения уравнений не подходит для решения этого уравнения. Хотя левая часть разложена на множители- правая часть ≠0. Очевидно, что раскрытие скобок тоже ни к чему не приведёт. Да и графический метод нам в этом случае не поможет. Решим уравнение

Для решения уравнений подобных данному можно применить такой приём: Перемножим по два множителя так, чтобы коэффициенты перед х были одинакова. Умножим х на (х+3) и (х+1) на (х+2) Теперь уравнение легко решить методом введения новой переменной. Решите это уравнение комментируя решение.

Введём новую переменную :

Решим первое уравнение

Решим второе уравнение Получили 4 корня. Запишите ответ.

Решим уравнение Это симметрическое уравнение четвёртой степени.

Группируем слагаемые с и . Выносим -5 за скобки. Получаем уравнение

Воспользуемся такой заменой в нашем уравнении. Получим уравнение Решив его ,найдем корни

Если у=1, то Корней нет

Решим №268. Что называется корнем уравнения? Какова область значений этой функции? Значит, при любых значениях х , у≥4.

Мы рассмотрели некоторые приёмы решения целых уравнений высших степеней. Чтобы отработать навыки их применения, предлагаю дома решить два уравнения:

Домашнее задание. П.12 стрю.83 вопр.1-3. По вариантам 1 вариант- в 2 вариант- г №273 №276 №278 Решить №271 и 280 (г) Для тех. Кто хочет знать больше: №274(а)

Подведём итог урока. Что нового вы узнали на уроке? Какие задачи мы сегодня решали? Какие способы решения уравнений повторили?

СПАСИБО ЗА УРОК! УРОК ОКОНЧЕН. Оцените вашу работу на уроке .

Тема урока: «Решение целых уравнений» Тип урока: урок закрепления . Форма урока: урок –консультация.

Цели урока: Образовательные: Закрепить знания, умения и навыки при решении уравнений высших степеней Развивающие: развитие мыслительной деятельности, внимания, развитие интереса к предмету, формирование потребностей к приобретению знаний. Воспитательные: воспитывать у учащихся взаимоуважения, трудолюбия, навыков самоконтроля.

Описание урока: Урок –консультация представляет собой своеобразную самостоятельную работу, во время которой ученик может консультироваться с учителем. При этом за каждую консультацию оценка снижается на 0,25 балла. Для каждого ученика готовятся карточки. В каждой карточке 4 задания. Первое задание направлено на проверку обязательных результатов обучения. Второе задание– задания обязательного уровня с элементом сложности. Третье задание- аналогично второму, только уровень сложности увеличен в два раза. Четвёртое задание – это задание повышенной трудности. Сюда входят упражнения требующие дополнительных знаний, смекалки, неординарного мышления.

Первое задание выполняют все учащиеся. Если при выполнении задания возникают вопросы, то ученик может обратится за консультацией к учителю, о при этом снимается 0,25 балла. Далее учащиеся сами выбирают задания и набирают баллы. За консультацию второго задания снимается 0,5 балла. За консультацию третьего задания — 1балл. 4 задание лишено консультации. Баллы, набранные учащимися, с учётом консультаций, суммируются и выставляется оценка.

Задания на 1балл. Вариант 1. Вариант2. Задания на 2 балла.

Задания на 3 балла. Вариант 1. Вариант 2. Задания на 4 балла Найдите четыре последовательных целых числа, произведение которых равно 120. Найдите четыре последовательных нечётных числа, произведение которых равно 105.

От 4 до 9 баллов – «3» От 10 до 14 баллов – «4» От 15 до 20 баллов – «5» Критерий оценивания

СПАСИБО ЗА УРОК! УРОК ОКОНЧЕН. Оцените вашу работу на уроке .

math4school.ru

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.