Решатель всех уравнений райнер рид

Глава 4: Пейзаж смерти. Часть 1

Кровь полилась. из его груди.

Кровь хлынула из его груди.

Что-то вроде кинжала было воткнуто ему в грудь.

Райнер опустил глаза.

Он увидел очертания смерти.

Вход прямо к смерти.

Он не мог издать даже звука.

Как все могло так обернуться?

После многих трудностей я.

Значит, я умру здесь.

Я не хочу умирать в этом месте.

В этом месте, я не хочу.

Но, на этом все остановилось.

Его сознание поддерживалось только до этого момента.

Его сила быстро уходила из его тела.

Его колени подогнулись, больше не способные поддерживать вес его тела.

Сильный холод и одиночество окружили его.

Сердце Райнера перестало биться.

Его жизнь исчезла.

Его жизнь испарилась.

Его жизнь рассеялась.

Огонь жизни Райнера Люта.

Хуаа… звук прозвучал, мир внезапно исказился.

Перед Райнером, который уже должен был быть мертв.

Картинка исказилась, рушилась, все цвета смешались воедино…

Мир окрасился кроваво-красным цветом.

Он стал кроваво- красным.

Он стал кроваво- красным.

Райнер увидел это.

Он произнес от удивления.

Затем он снова заговорил:

— . Э? Я могу говорить? Э? А? Разве я не умер.

В этот момент его глаза расширились, и он посмотрел на себя.

Он посмотрел назад на дорогу от дворца.

Грудь, проткнутая кем-то кинжалом, он уже должен был быть мертв и лежать на земле.

Но то, что Райнер видел сейчас, было.

Он не был на земле.

В груди не было никакого кинжала.

Нет, что более важно…

— . Почему я так одет.

Он посмотрел на себя с обеспокоенным выражением.

Затем он обнаружил…

Его тело было окрашено в необычный цвет.

Безупречный белый цвет.

Абсолютно безупречный белый цвет.

Безупречное белое тело, размытое, будто его не существовало.

А все окружающее его тело было черным.

Слова окружали его тело.

Несколько черных слов было переплетено, они словно плавали в воздухе, окружали его руки, тело, ноги, круги слов обматывали его белое тело.

И связывающие слова были.

— . Мм… а? Являются ли они подвидами древнего текста? Но этот тип древнего текста.

Он никогда их не видел. Он совершенно не знал, как они произносятся.

Райнер поднял руки, окруженные словами. Какое-то время, поглядев на них, он сказал:

После этого он огляделся вокруг.

В настоящее время он находился в странном пространстве.

Все его поле зрения было окрашено красным, красным, красным.

Кроваво-красный мир, словно с помощью ведра для воды, налили кровь на белый лист бумаги.

Красный коридор прямо перед ним.

Это место, в котором находился Райнер.

— Что произошло? — спросил Райнер, медленно коснувшись красных стен.

Голос внезапно спустился с небес.

Нет, этот голос проникал прямо в его сознание.

Райнер прищурился, услышав голос.

Спросил Райнер сам себя.

Он снова попытался понять ситуацию.

Черные слова, окружающие его все тело, как будто он был проклят.

И пространство, где все было красным.

Это был настоящий мир?

— Не говорите мне, что я попал на Небеса после смерти.

Но голос снова зазвучал, словно прерывая его мысли.

— . Или я попал в Ад?

Затем он попытался понять ситуацию, в которой он находился снова.

Зачем он пришел сюда?

— Если я правильно помню.

Я помню, что я возвращался от Сиона.

Меня внезапно атаковал монстр, одетый как Рыцарь Маг, сражаясь с ним, я обнаружил, что позади меня находился враг.

Меня ударили в грудь чем-то вроде кинжала.

Это был смертельный удар.

Я уже должен был быть мертв.

Затем, что же происходит сейчас.

В этот момент, снова раздался голос.

— Входи, Жертвоприношение.

Райнер поднял голову, услышав это.

Затем он уставился в конец красного коридора.

— Входи, Жертвоприношение. Мы заключили этот контракт уже очень давно.

Глубокий, глубокий голос, который мог всколыхнуть воздух.

Голос, переполненный подавляющим присутствием, как будто он мог всколыхнуть страх в сердцах людей.

Райнер знал этот голос.

Это был голос, который он слышал несколько раз.

Голос, который спускался с неба каждый раз, когда Альфа Стигма Райнера теряла контроль.

Райнер вспомнил это.

Он вспомнил этот голос.

— Бог. Демон. Дьявол. Герой. Монстр. Как ты меня назовешь? Как ты меня назовешь? Хахахахахахахаха.

— Ты хочешь убить меня? С твоей нынешней силой ты хочешь меня убить? Ты планируешь убить меня с такого рода силой от «Элемио»? Муравей, ползающий по земле, говорит, что хочет убить меня? Ха, ха-ха-ха, ха-ха-ха-ха. Исчезни. Испарись. Рассейся. Все обернется пылью. Ничто. Обернись в прах.

— α – разрушение. Я ничего не создаю. Я не покровительствую людям. Я не спасаю. Я только уничтожаю. Обернуть все в прах.

Райнер всегда проклинал этот голос.

Он посмотрел в коридор перед собой и сказал:

— . Ты Альфа Стигма?

— . Хе-хе, хе-хе, хахаха, никчемное жертвоприношение осмеливается спрашивать мое имя?

— Исходя из вашего тона, ты не Альфа Стигма, да? – спросил Райнер, и голос снова засмеялся.

— Ха, ха-ха, ха. Это имя моего клона. Клон, копия, подделка. Название иллюзорной марионетки, которая родилась из-за моего влияния.

Райнер услышал это.

Мысли Райнера завертелись.

Альфа Стигма была клоном.

В этот момент он вспомнил.

Он вспомнил, что сказал ему убийца из Гастарка, которого звали Лир.

— Альфа Стигма монстр. нет, должно быть более уместно называть тебя Решателем Всех Уравнений?

Решатель Всех Уравнений.

Он назвал Райнера именно так.

Райнер совершенно не знал, каково значение этого.

В этом, вероятно, и было различие между Райнером и другими Альфа Стигмами.

Райнер снова посмотрел в коридор и спросил:

— Значит, ты – Решатель Всех Уравнений, верно?

Но ответ, который он получил…

— Хе-хе, идиот, это твое имя.

— …………………Мое имя? Меня зовут. Райнер Лют.

— Это не может быть неверно.

— Нет. Ты – Жертвоприношение. Ты – Ключ. Ты. Решатель Всех Уравнений.

Таков последовал ответ.

— . А? О чем ты говоришь?

Чем больше слушал, тем больше Райнер был сбит с толку.

Нет, он даже не знал, где он сейчас.

Но, он даже не был уверен кто он, что происходит?

Не так давно он думал, что он Райнер Лют, он был Альфа Стигма монстром.

Монстр, причиняющей боль другим, считающийся табу, гонимый людьми.

Так что, он всегда избегал общения с людьми, постоянно убегая.

Но теперь кто-то вдруг говорит ему, ты не Райнер, и говорит ему: ты не обладатель Альфа Стигмы, ты —Решатель Всех Уравнений, а он всегда думал, что Решатель Всех Уравнений это название его глаз, он не думал, что все обстоит иначе.

Это было имя Райнера, он был Жертвоприношением, Ключом, Решателем Всех Уравнений.

Это было именем Райнера.

Что происходит, Райнер действительно не понимал.

Но… Райнер посмотрел в коридор и сказал:

— . Если это так, то кто ты? Ты — личность, живущая в моих глазах, верно? Ты тот, кто всегда. всегда заставлял меня страдать, не так ли? Если это так, то, что ты такое?

Тогда, голос произнес с радостным тоном:

— . Не будь отвратительным!

Райнер не выдержал и закричал:

— …Бог? Ты говоришь, что ты бог? Такой как ты, Бог? Из-за тебя, я прошел через много боли и страданий.

Но голос прервал его и продолжил:

— Ху, ха-ха, хахахахахахахахахахахахахахахахахахахахахахаха, хахахахахахахахахахахахахаха. То, как я зовусь, это второстепенно. Бог, Демон, Дьявол, Герой, Монстр. если мне нужно так много имен, тогда у меня есть много имен. Люди всегда так называют то, чего они не понимают. Эй, а как ты хочешь меня называть? Это единственная проблема. Эй, назови мое имя. Хе-хе, хе-хе. Как ты, кто всегда боялся называться монстром, назовет меня? Это мое имя, это твое имя.

Райнер не мог понять и спросил снова:

— . Какая . связь между нами?

— Хе-хе, если ты хочешь все знать, тогда входи.

Райнер, услышав это, посмотрел перед собой.

Он увидел кроваво-красную сцену, которая занимала все его поле зрения.

И кроваво-красный коридор.

Но Райнер уже заметил это.

Красный цвет, заполонивший весь этот мир, был тем цветом.

Цвет, который он ненавидел больше всего.

Красный, который сделал его несчастным, и крепко схватил его.

Цвет пятиконечной звезды, появлявшейся в его глазах.

Альфа Стигма.

— . Это. внутреннее содержание моего тела.

— Посмотри на правду, скрывающуюся внутри тебя.

Densetsu no Yuusha no Densetsu

Райнер Эрис Рид (Одинокий Демон)

Изначально обитал на юге Менолиса. Страшась его огромной силы, к нему опасались приближаться даже древнейшие Богини. Демон мечтал о друге, которого обрел в лице Сумасшедшего героя — Аслуда Роланда. По договоренности между ними был поглощен Сумасшедшим героем, после чего его сущность была разделена на «Демона» (в данный момент носитель — Люсиль Эрис) и «Одинокого» (носитель — Райнер Лют). Две половины сущности Одинокого демона являются Компилятором всех уравнений и Решателем всех уравнений. Во внутреннем мире Райнера Люта Одинокий демон появляется перед осознания им своих сил, сообщая о смерти Ируны Лютолу.

Ирис Эрис
Младшая сестра Люсиля и Феррис, невероятно сильная для своего возраста девочка.

Люсиль Эрис (Релкс)
Глава Дома Эрис, телохранитель Сиона Астала. Старший брат Феррис и Ирис Эрис.

Райнер Лют (Фелнер Лютолу)
Носитель «проклятых глаз» Альфа Стигмы (до недавних пор), Сильнейший маг Роланда, бывший член роландской Тайной Элиты. Король Народной Республики Сфельиетт, один из лидеров Антироландской коалиции. От рождения — лорд Фе́лнер Лю́толу. Главный герой.

Феррис Эрис
Мечница из Дома Эрис, напарница Райнера Люта. Главная героиня.

О теореме Абеля-Руффини без групп и теории Галуа

Историческая справка

Поиск решения алгебраических уравнений оказал колоссальное влияние на развитие математики. Формула решения общего кубического уравнения впервые была получена итальянскими математиками 16-го века. Это событие ставшее первопричиной рассмотрения комплексных чисел, считается одним из поворотных моментов в истории математики. Судьбы Джероламо Кардано, Никколо Тартальи, Сципиона дель Ферро и их поисков решения кубического уравнения заслуживают отдельного романа со своими интригами, скандалами и расследованиями. Столь яркие истории достаточно редки в математике.

Начиная с 19-го века поиск формул для решения уравнений произвольных степеней положил начало теории групп и абстрактной алгебре, которые преобразили практически все разделы современной математики. Думаю, многие, кто интересовался историей и развитием алгебры, знают, что формулы для решения общего алгебраического уравнения степени выше четвертой не существует. Как сообщается, первое доказательство этого факта было дано итальянским математиком Паоло Руффини в самом конце восемнадцатого века, оно составляло около 500 страниц и все же содержало некоторые пробелы. Хотя отдельные математики, как Огюстен Коши, и признавали данное доказательство, но ввиду столь большого объема и сложности изложения, оно так и не было принято математическим сообществом. Считается, что первое полное доказательство дано норвежским математиком Нильсом Абелем и содержалось в двух работах, изданных в 1824 и 1826 годах. С тех пор оно носит название теоремы Абеля или теоремы Абеля-Руффини.

Если вы попытаетесь изучить это доказательство в его современном изложении, то окажется, что оно практически полность опирается на Теорию Галуа. Эварист Галуа был французским математиком 19-го века и современником Нильса Абеля. Помимо занятий математикой он вел активную политическую жизнь из-за чего несколько раз попадал в тюрьму. В возрасте всего двадцати лет был застрелен на дуэли, поводом для которой послужила любовная интрига, хотя есть предположения, что дуэль была подстроена его политическими противниками. Об этой истории написано достаточно много, кроме того, имеется перевод на русский язык его мемуаров и писем. Последнее письмо его другу Огюсту Шевалье было написано в ночь накануне дуэли, в нем он наспех излагает свои последние идеи. Несмотря на столь короткую жизнь, Эварист Галуа считается одним из родоначальников современной алгебры. Хотел бы заметить, что в популярном изложении создается некий романтический образ Галуа, как подростка-гения, который в одиночку, с нуля создал теорию групп и преобразил всю алгебру. Несомненно его идеи сыграли огромную роль, но если почитать его сочинения, то мы увидим, что он хорошо знал и опирался на знаменитые работы Лагранжа, Эйлера, Гаусса, Абеля, Якоби. Зачатки теории групп и перестановок появляются еще в работах Жозефа Луи Лагранжа по теории алгебраических уравнений, а также Карла Фридриха Гаусса в его знаменитых «Арифметических исследованиях». К тому же, теория Галуа в современном изложении была оформлена многими последующими математиками — Дедекиндом, Кронекером, Гильбертом, Артином и другими.

Мотивация данной статьи

Чуть менее года назад меня сильно увлекла статья об истории решения кубического уравнения и последующих безуспешных поисков формулы уравнения 5-й степени, длившихся почти триста лет. Сразу хочу отметить, что специального математического образования у меня нет и поэтому, попробовав прочесть современную версию доказательства теоремы Абеля-Руффини, я естественно ничего не понял. В моем сознании термины группа, кольцо и поле никак не ассоциировались с алгебраическими структурами. Но желание разобраться было столь велико, что я принялся за изучение курса высшей алгебры.

На первых этапах абстрактная алгебра была наверное самым сложным из того, что мне приходилось изучать ранее. Объем новых терминов и определений просто зашкаливал: группы, факторгруппы, моноиды, поля, кольца, тела, модули, идеалы, ядра, векторные пространства, биекции, сюръекции, инъекции, изоморфизмы, автоморфизмы, гомоморфизмы, эндоморфизмы и тд. Спустя несколько месяцев упорных занятий, я начал понимать формальную часть, но, к сожалению, интуитивного понимания, которое и являлось моей изначальной целью, я так и не достиг.

Дело в том, что практически все современные доказательства неразрешимости уравнений 5-й степени в радикалах сводятся к следующему. Рассматривается некоторое неприводимое уравнение, например x 5 -10x+2, после чего методами мат анализа определяется, что оно имеет три действительных и два комплексно-сопряженных корня. После чего заключается, что группой Галуа данного уравнения есть группа S₅, которая не является разрешимой, и следовательно данное уравнение неразрешимо в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини о неразрешимости общего уравнения также сводится к неразрешимости группы S_n. Для меня данные доказательства были слишком абстрактными и оторванными от конкретных уравнений. Когда я пытался представить их в терминах элементарных алгебраических операций, чтобы понять в чем заключается главная причина неразрешимости уравнений, у меня ничего не получалось. Возможно для тех, кто занимается этим достаточно долго, эти вещи могут казаться интуитивно понятными.

Немного иной подход описан в книге Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях», основанной на лекциях Владимира Арнольда, но в изложенном там доказательстве помимо теории групп используются элементы комплексного анализа и Римановых поверхностей. Я также находил похожие статьи, использующие топологические аргументы в виде комбинаций петель и коммутаторов, но мне хотелось найти что-то чисто алгебраическое.

Параллельно изучая историю математики и понимая, что современная формулировка и доказательство сильно отличаются от того, как излагали свои идеи Лагранж, Руффини, Абель и Галуа, я решил прочесть первоисточники. К сожалению, на русский или английский по этой теме переведены лишь сочинения Галуа и одна из работ Абеля.

После некоторых поисков я наткнулся на статью 1845 года французского математика Пьера Лорана Ванцеля, в которой он переработал и сильно упростил доказательство Абеля-Руффини, о чем он пишет во введении. В этой работе, он так же упоминает мемуары Галуа и отмечает, что они будут опубликованы в скором времени. Для заметки — работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 году Жозефом Лиувиллем, спустя почти 15 лет после смерти Галуа. Кстати, Пьер Лоран Ванцель, также был первым, кто доказал неразрешимость трисекции угла и удвоения куба с помощью циркуля и линейки — знаменитых задач стоявших еще со времен античности. Доказательства Ванцеля были изложены без использования абстрактной алгебры и теории Галуа, поскольку на тот момент они еще не были разработаны. Хотя работа и была доступна лишь на французском, которого я до этого практически не знал, но ввиду специфической темы, небольшого размера (всего 7 страниц) и наличия гугл переводчика, я справился достаточно быстро. По моему субъективному мнению, его доказательство теоремы Абеля-Руффини является наиболее простым для понимания.

Уже позже я нашел пример подобного доказательства основанного на работе Руффини в книге Чеботарёва “Основы Теории Галуа”. Далее я постараюсь кратко изложить принцип решения уравнений в радикалах и идею доказательства неразрешимости уравнения 5-й степени.

Решения уравнений в радикалах

Для дальнейшего понимания, потребуются минимальные пререквизиты:

Формулы Виета — напомню, что коэффициенты произвольного уравнения являются элементарными симметрическими функциями от его корней, то есть функциями, которые не меняют своего значения при любых перестановках корней. Примеры: x₁ + x₂ + x₃, x₁x₂x₃, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃.

Теорема о симметрических многочленах — каждую симметрическую функцию от корней, можно выразить с помощью элементарных симметрических функций (коэффициентов уравнения).

Первообразные корни n-й степени из единицы — комплексные величины не равные единице, но n-я степень которых, равна единице. Примеры: (-1) 2 = 1, (-1/2 + sqrt(-3)/2) 3 = 1, i 4 = 1 соответственно квадратный, кубический и биквадратный корни из единицы.

Основная теорема алгебры — гласит о том, что уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней с учетом кратности (корни могут быть одинаковые).

Первоначальная идея восходит к работе Жозефа Луи Лагранжа “Размышления о решении уравнений” 1770-1771 годов. Это достаточно объемное сочинение и я не нашел его перевода на русский или английский язык. Как указывается в разных источниках, в попытке найти формулу для уравнения 5-й степени, Лагранж проанализировал все имеющиеся к тому времени способы решения уравнений и выделил общий принцип, позволяющий решить уравнения 4-й и низших степеней. В этой же работе, изучая перестановки корней, он пришел к теореме, которая сейчас носит его имя. Принцип, открытый Лагранжем, заключался в том, чтобы найти выражения от корней заданного уравнения n-й степени, которые при всех возможных перестановках этих корней принимали n-1 значений, но в тоже время через них выражались первоначальные корни. На эти значения, можно составить уравнение n-1 степени и повторить операцию, тем самым сводя изначальное уравнение к цепочке уравнений меньших степеней, решив которые, можно получить корни первоначального уравнения. Рассмотрим один из примеров:

Пусть f(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d общее уравнение 4-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d и x₁, x₂, x₃, x₄ его корни.

Напомним, что его коэффициенты — это элементарные симметрические функции от корней, в чем можно убедиться просто раскрыв скобки в выражении (x — x₁)(x -x₂)(x — x₃)(x — x₄):

Так как корни являются произвольными, то существует 4! = 24 различных вариантов их расположения, но можно составить выражение x₁x₂ + x₃x₄, которое принимает всего три разных значения при всех 24-х перестановках корней:

На эти три значения мы можем составить уже кубическое уравнение, корнями которого они и будут являться. Таким образом, мы сводим решение уравнения 4-й степени к уравнению 3-й степени. Для решения кубического уравнения мы можем воспользоваться резольвентой Лагранжа (y₁ + wy₂ + w 2 y₃) 3 , где w — это кубический корень из единицы. Данное выражение принимает всего два разных значения при всех возможных 3! = 6 перестановках. Оно будет сохранять значение при циклических перестановках и менять знак при любой транспозиции. Получим:

Теперь составим квадратное уравнение на z₁ и z₂:

z₁+z₂ и z₁z₂ — будут симметрическими функциями от корней нашего изначального уравнения f(x), следовательно, по теореме о симметрических многочленах, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d. Решив квадратное уравнение мы получим значения z₁, z₂. После чего, извлекая кубические корни из z₁, z₂, и складывая с коэффициентом b, сможем выразить y₁. Далее, c помощью y₁ и коэффициентов a, b, d, решив два квадратных уравнения, мы доберемся до корней x₁, x₂, x₃, x₄ изначального уравнения.

Данный пример показывает, что произвольное уравнение 4-й степени решается путем составления вспомогательных кубического и квадратных уравнений. Далее я приведу рассуждение, почему подобный прием невозможен для общего уравнения 5-й степени.

Неразрешимость уравнения 5-й степени

Итак, мы хотим показать, что ни один корень общего уравнения 5-й степени не может быть выражен через его коэффициенты путем решения цепочки вспомогательных двучленных уравнений низших степеней.

Пусть f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + xd + e общее уравнение 5-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d, e и x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ его корни. Обозначим за y₁ первый радикал входящий в значение x₁ в порядке вычисления. Пусть y₁ n = p, где p будет какой-то симметрической функцией от корней и, следовательно, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d, e. Заметим, что y₁ уже не будет симметрической, а лишь рациональной функцией g от корней — g(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅). Следовательно, g должно менять значение при перестановке любых двух корней. Тогда эти значения будут являться корнями уравнения y₁ n = p, которые имеют вид g, zg, z 2 g, z 3 g … z n-1 g, где z — первообразный корень n-й степени из единицы (z n =1). Рассмотрим произвольную транспозицию, например (x₁, x₂), тогда

если мы применим ее еще раз, то получим:

Из этого следует, что z 2 = 1, то есть z должен быть квадратным корнем из единицы (z = -1) и соответственно первый радикал y₁ будет квадратным. Поясним: так как корни являются произвольными, то g должно сохранять значение при любых четных перестановках корней и менять знак при нечетных. Теперь покажем, что значение функции g не будет меняться при циклической перестановке трех корней (x₁, x₂, x₃). Здесь стоит пояснить, что циклическая перестановка (x₁, x₂, x₃) четная и может быть представлена, как произведение транспозиций (x₁, x₂)(x₂, x₃). То есть, функция g не поменяет своего значения при данной перестановке. Еще заметим, что функция g не изменится при циклической перестановке пяти корней, так как она так же раскладывается в произведение четного количества транспозиций. Присоединяя радикал y₁ к выражениям от коэффициентов с помощью базовых арифметических операций, мы будем получать симметрические функции относительно всех циклов на трех и пяти корнях и вообще любых четных перестановок, но при перестановке содержащей нечетное количество транспозиций, y₁ будет менять знак. Дальнейшее присоединение квадратных радикалов не даст нам ничего нового. Теперь предположим, что мы пришли к радикалу, который меняет свое значение лишь при тройных циклах. Обозначим его y₂, тогда y₂ n = q, где q — это рациональная функция от коэффициентов a, b, c, d, e и радикала y₁.

В данном случае z 3 = 1, то есть z здесь будет кубическим корнем из единицы.

Теперь произведем циклическую перестановку 5-и корней

Так как z должен быть кубическим корнем из единицы, как мы выяснили ранее, то единственным вариантом будет z = 1 и g должна быть инвариантна при любой из этих циклических перестановок. Но тогда она должна быть инвариантна и при циклической перестановке x₃,x₂,x₅,x₁,x₄ -> x₂,x₅,x₁,x₄,x₃. Отсюда, одной транспозицией мы можем получить, что

но, выше мы уже видели, что

а из этого следует

что приводит нас к противоречию, так как мы предполагали, что g меняет значение при циклической перестановке трех корней (x₁, x₂, x₃).

Еще одним вариантом, было бы показать что все четные перестановки на пяти корнях порождаются тройными циклами, то есть, если есть тройные циклы, то никаких выражений от корней, которые бы сохраняли набор значений при всех четных перестановках, не существует. Если теперь перевести это на теоретико-групповой язык, то получается, что группа общего уравнения пятой степени есть симметрическая группа S₅, в которой существует 5! = 120 различных перестановок пяти корней. Далее, путем присоединения квадратного корня из дискриминанта, мы можем понизить ее до знакопеременной группы четных перестановок A₅, которая содержит 120/2 = 60 перестановок. Но A₅ является простой группой, в которой нет никаких нетривиальных нормальных подгрупп, которым бы соответствовали выражения от корней сохраняющие значения при определенных перестановках, из чего следует, что присоединение любых дополнительных радикалов не приблизит нас к решению.

Заключение

Поводом для написания данной статьи послужило желание структурировать свои мысли по этой теме и представить идеи о неразрешимости уравнений в радикалах без привлечения абстрактной алгебры и теории Галуа. По моему мнению, в подавляющем большинстве современных изложений теряется связь между областью, в которой происходит доказательство и конкретными уравнениями. Если у кого-то есть замечания, дополнения или ссылки на подобные элементарные изложения, буду рад услышать.