Решебник по математике уравнения с корнем

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение иррациональных уравнений и неравенств.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить иррациональное уравнение или неравенство. Программа для решения иррациональных уравнений и неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> sqrt(x) — квадратный корень x
x^(1/n) — корень степени n

Введите иррациональное уравнение или неравенство
Решить уравнение или неравенство

Немного теории.

Решение иррациональных уравнений и неравенств

1. Иррациональные уравнения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.

Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование уравнения, а в чётную — НЕравносильное. Значит, основные принципиальные трудности связаны с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, когда из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни, а потому обязательна проверка всех найденных корней.

ПРИМЕР 1.
\( \sqrt[\Large6\normalsize] = \sqrt[\Large6\normalsize] <2x-6>\)

Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
\( x^2-5x = 2x-6 \Rightarrow \)
\( x^2-7x +6= 0 \Rightarrow \)
\( x_1=1, \; x_2=6 \)
Проверка. «Хорошие» корни можно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение. При x = 1 заданное уравнение принимает вид \( \sqrt[\Large6\normalsize] <-4>= \sqrt[\Large6\normalsize] <-4>\), во множестве действительных чисел такое «равенство» не имеет смысла. Значит, 1 — посторонний корень, он появился по причине расширения ОДЗ уравнения после возведения в шестую степень. При х = 6 заданное уравнение принимает вид \( \sqrt[\Large6\normalsize] <6>= \sqrt[\Large6\normalsize] <6>\) — это верное равенство.
Итак, уравнение имеет единственный корень: х = 6.
Ответ: х = 6

Введя новую переменную \( u=x^2-x\), получим существенно более простое иррациональное уравнение:
\( \sqrt+\sqrt = \sqrt <2u+21>\).
Возведём обе части уравнения в квадрат:
\( (\sqrt+\sqrt)^2 = (\sqrt<2u+21>)^2 \Rightarrow \)
\( u+2 +2\sqrt\sqrt +u+7 = 2u+21 \Rightarrow \)
\( \sqrt <(u+2)(u+7)>= 6 \Rightarrow \)
\( u^2+9u+14=36 \Rightarrow \)
\( u^2+9u-22=0 \Rightarrow \)
\( u_1=2, \; u_2=-11 \)
Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение \( \sqrt+\sqrt = \sqrt <2u+21>\) показывает, что \( u_1=2 \) — корень уравнения, а \( u_2=-11 \) — посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение \( x^2-x=2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \), решив которое находим два корня: \( x_1=2, \; x_2=-1 \)
Ответ: 2; -1.

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в квадрат привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение легко сводится к квадратному. Действительно, умножим обе его части на 2:
\( 2x^2 +6 -2\sqrt <2x^2-3x+2>= 3x+12 \Rightarrow \)
\( 2x^2 -3x +2 -2\sqrt <2x^2-3x+2>-8 = 0 \Rightarrow \)

Введя новую переменную \( y=\sqrt <2x^2-3x+2>\), получим: \( y^2-2y-8=0 \), откуда \( y_1=4, \; y_2=-2 \). Значит, исходное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:
\( \left[\begin \sqrt <2x^2-3x+2>=4 \\ \sqrt <2x^2-3x+2>= -2 \end\right. \)

Из первого уравнения этой совокупности находим: \( x_1=3<,>5; \; x_2=-2 \). Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна исходному уравнению, причём второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение \( \sqrt <2x^2-3x+2>=4\). Эта подстановка показывает, что оба найденных значения x являются корнями этого уравнения, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: 3,5; -2.

Областью определения уравнения является луч \( [5; \; +\infty) \). В этой области выражение \( \sqrt \) можно представить следующим образом: \( \sqrt = \sqrt\sqrt \). Теперь уравнение можно переписать так:
\( x+x -5 +2\sqrt\sqrt +2\sqrt +2\sqrt -48 = 0 \Rightarrow \) \( (\sqrt)^2 +2\sqrt\sqrt +(\sqrt)^2 +2(\sqrt+\sqrt) -48 = 0 \Rightarrow \) \( (\sqrt +\sqrt)^2 +2(\sqrt+\sqrt) -48 = 0 \)

Введя новую переменную \( y= \sqrt +\sqrt \), получим квадратное уравнение \( y^2+2y-48=0 \), из которого находим: \( y_1=6, \; y_2=-8 \). Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений:
\( \left[\begin \sqrt +\sqrt =6 \\ \sqrt +\sqrt = -8 \end\right. \)
Из первого уравнения совокупности находим \( x= \left( \frac<41> <12>\right)^2 \), второе уравнение совокупности решений явно не имеет.

Проверка. Нетрудно проверить (подстановкой), что \( x= \left( \frac<41> <12>\right)^2 \) — является корнем уравнения \( \sqrt +\sqrt =6 \). Но это уравнение равносильно исходному уравнению, значит, \( x= \left( \frac<41> <12>\right)^2 \) — является корнем и исходного уравнения.
Ответ: \( x= \left( \frac<41> <12>\right)^2 \)

Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые переменные.

ПРИМЕР 5.
\( \sqrt[\Large4\normalsize] <1-x>+ \sqrt[\Large4\normalsize] <15+x>=2 \)

Введём новые переменные: \( \left\<\begin u=\sqrt[\Large4\normalsize] <1-x>\\ v=\sqrt[\Large4\normalsize] <15+x>\end\right. \)

Тогда уравнение примет вид \(u+v=2\). Но для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в четвёртую степень обе части каждого из уравнений системы, получим:
\( \left\<\begin u^4=1-x \\ v^4= 15+x \end\right. \)

Сложим уравнения последней системы: \(u^4 +v^4 =16\). Таким образом, для нахождения u, v мы имеем следующую симметрическую систему уравнений:
\( \left\<\begin u+v=2 \\ u^4 +v^4 =16 \end\right. \)
Решив её, находим: \( \left\<\begin u_1=0 \\ v_1 =2; \end\right. \) \( \left\<\begin u_2=2 \\ v_2 =0 \end\right. \)

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений: \( \left\<\begin \sqrt[\Large4\normalsize] <1-x>=0 \\ \sqrt[\Large4\normalsize] <15+x>=2; \end\right. \) \( \left\<\begin \sqrt[\Large4\normalsize] <1-x>=2 \\ \sqrt[\Large4\normalsize] <15+x>=0 \end\right. \)

Решив эту совокупность, находим: \(x_1=1, \; x_2=-15 \)

Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 1; -15.

ПРИМЕР 6.
\( \sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>+ \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>= \sqrt[\Large3\normalsize] <2x-1>\)

Возведём обе части уравнения в куб:
\( 2x+1 + 3\sqrt[\Large3\normalsize] <(2x+1)^2>\cdot \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>+ 3\sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>\cdot \sqrt[\Large3\normalsize] <(6x+1)^2>+6x+1 = 2x-1 \Rightarrow \) \( 3\sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>\cdot \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>\cdot (3\sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>+ \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>) = -6x-3 \)

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму \( \sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>+ \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>\) на выражение \( \sqrt[\Large3\normalsize] <2x-1>\):
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize] <2x+1>\cdot \sqrt[\Large3\normalsize] <6x+1>\cdot \sqrt[\Large3\normalsize] <2x-1>= -6x-3 \Rightarrow \)
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize] < (2x+1)(6x+1)(2x-1) >= -2x-1 \)
Возведём обе части в куб:
\( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 \Rightarrow \)
\( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 \Rightarrow \)
\( 16x^2(2x+1) =0 \Rightarrow \)
\( x_1= -0<,>5; \; x_2=0 \)

Проверка. Подстановкой найденных значений x в исходное уравнение убеждаемся, что его корнем является только x = -0,5.
Ответ: -0,5.

2. Иррациональные неравенства

Рассмотрим иррациональное неравенство вида \( \sqrt 0 \). Осталось лишь заметить, что при одновременном выполнении указанных выше условий обе части заданного иррационального неравенства неотрицательны, а потому их возведение в квадрат представляет собой равносильное преобразование неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство \( \sqrt 0 \\ f(x) 0 \\ x^2-x-12 0 \\ x > -12 \end\right. \)

Получаем: \( x \geqslant 4\)

Ответ: \( x \geqslant 4\)

Рассмотрим теперь неравенство вида \( \sqrt > g(x) \).

Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять условию \( f(x) \geqslant 0 \).
Во-вторых, замечаем, что при \( g(x) g(x) \) не вызывает сомнений.
В-третьих, замечаем, что если \( g(x) \geqslant 0 \), то можно возвести в квадрат обе части заданного иррационального неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство \( \sqrt > g(x) \) равносильно совокупности систем неравенств:
\( \left\<\begin f(x) \geqslant 0 \\ g(x) (g(x))^2 \end\right. \)

Во второй системе первое неравенство является следствием третьего, его можно не писать.

Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
\( \left\<\begin x^2-x-12 \geqslant 0 \\ x 0 \)

Преобразуем неравенство к виду \( x^2+3x-10 +3\sqrt >0 \) и введём новую переменную \( y= \sqrt \). Тогда последнее неравенство примет вид \( y^2+3y-10 >0 \), откуда находим, что либо \(y 2\).

Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух неравенств:
\( \left[\begin \sqrt 2 \end\right. \)

Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим:
\( x^2+3x >4 \Rightarrow \)
\( (x+4)(x-1) >0 \Rightarrow \)
\( x 1 \)
Ответ: \( x 1 \).

ГДЗ учебник по математике 6 класс Бунимович. 30. Что такое уравнение. Номер №457

Есть ли среди чисел 3, 4 и 5 корень уравнения:
а) 2 x − 1 = 9 ;
б) 10 − 3 x = 1 ;
в) 4 x = 8 ;
г) 36 : x = 12 ?

Решение

а)
2 x − 1 = 9
2 x = 9 + 1
2 x = 10
x = 10 : 2
x = 5
Проверка:
2 * 5 − 1 = 9
10 − 1 = 9
9 = 9
б)
10 − 3 x = 1
3 x = 10 − 1
3 x = 9
x = 9 : 3
x = 3
Проверка:
10 − 3 * 3 = 1
10 − 9 = 1
1 = 1
в)
4 x = 8
x = 8 : 4
x = 2
Проверка:
4 x = 8
x = 8 : 4
x = 2
г)
36 : x = 12
x = 36 : 12
x = 3
Проверка:
36 : 3 = 12
12 = 12
Ответ:
корень 3 в уравнениях б и г;
корня 4 нет в уравнениях;
корень 5 в уравнении а.

Мерзляк 5 класс — § 10. Уравнение

Вопросы к параграфу

1. Какое число называют корнем (решением) уравнения? — Корнем (решением) уравнения называют число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство.

2. Что значит решить уравнение? — Это значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

3. Как найти неизвестное слагаемое? — Надо из суммы вычесть известное слагаемое.

4. Как найти неизвестное уменьшаемое? — Надо к разности прибавить вычитаемое.

5. Как найти неизвестное вычитаемое? — Надо из вычитаемого вычесть разность.

Решаем устно

1. Найдите значение выражения 53 + х:

1. если х = 29, то 53 + х = 53 + 29 = 82

2. если х = 61, то 53 + х = 53 + 61 = 114

2. Найдите значение выражения 12y:

1. если: у = 7, то 12y = 12 • 7 = 84

2. если: у = 20, то 12y = 12 • 20 = 240

3. Найдите по формуле пути s = 50t расстояние (в метрах), которое проходит Петя:

1) за 4 мин: s = 50t = 50 • 4 = 200 метров

2) за 10 мин: s = 50t = 50 • 10 = 500 метров

Что означает числовой множитель в этой формуле? Числовой множитель 50 обозначает скорость движения Пети (м/мин).

4. Число а на 10 больше, чем число b. В виде каких из следующих равенств это можно записать:

1. а + b = 10 — нельзя записать
2. а — b = 10 — можно записать
3. b — а = 10 — нельзя записать
4. а — 10 = b — можно записать
5. b + 10 = а — можно записать

Ответ: можно записать в виде равенств: а — b = 10; а — 10 = b; b + 10 = а.

5. Найдите все натуральные значения а, при которых выражение 20 : а принимает натуральные значения.

• если а = 1, то 20 : 1 = 20 — натуральное число
• если а = 2, то 20 : 2 = 10 — натуральное число
• если а = 4, то 20 : 4 = 5 — натуральное число
• если а = 5, то 20 : 5 = 4 — натуральное число
• если а = 10, то 20 : 10 = 2 — натуральное число
• если а = 20, то 20 : 20 = 1 — натуральное число

Ответ: при а = 1, 2, 4, 5 , 10 или 20.

6. На одну чашу весов поставили несколько гирь по 2 кг, а на другую — по 3 кг, после чего весы пришли в равновесие. Сколько поставили гирь каждого вида, если всего их поставили 10?

На одну чашу весов надо поставить 6 гирь по 2 кг, а на другую — 4 гири по 3 кг.

Для решения использовано 10 гирь.

Упражнения

267. Какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения:

1) х + 16 = 28

• если х = 3, то 3 + 16 = 19. Так как 19 ≠ 28, то число 3 не является корнем уравнения;
• если х = 12, то 12 + 16 = 28. Так как 28 = 28, то число 12 является корнем уравнения;
• если х = 14, то 14 + 16 = 30. Так как 30 ≠ 28, то число 14 не является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 12.

2) 4х — 5 = 7

• если х = 3, то 4 • 3 — 5 = 12 — 5 = 7. Так как 7 = 7, то число 3 является корнем уравнения;
• если х = 12, то 4 • 12 — 5 = 48 — 5 = 43. Так как 43 ≠ 7, то число 12 не является корнем уравнения;
• если х = 14, то 4 • 14 — 5 = 56 — 5 = 51. Так как 51 ≠ 7, то число 14 не является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 3.

268. Какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения:

1) 234 — y = 220

• если y = 3, то 234 — 3 = 231. Так как 231 ≠ 220, то число 3 не является корнем уравнения;
• если y = 12, то 234 — 12 = 222. Так как 222 ≠ 220, то число 12 не является корнем уравнения;
• если y = 14, то 234 — 14 = 220. Так как 220 = 220, то число 14 является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 14.

2) 72 : b + 13 = 19

• если b = 3, то 72: 3 + 13 = 24 + 13 = 37. Так как 37 ≠ 19, то число 3 не является корнем уравнения;
• если b = 12, то 72 : 12 + 13 = 6 + 13 = 19. Так как 19 = 19, то число 12 является корнем уравнения;
• если b = 12, то 72 : 12 + 13 = 5 + 13 = 18 . Так как 18 ≠ 19, то число 14 не является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 12.

269. Решите уравнение:

270. Решите уравнение:

271. Решите уравнение:

272. Решите уравнение:

273. Решите с помощью уравнения задачу.

1) Оксана задумала число. Если к этому числу прибавить 43 и полученную сумму вычесть из числа 96, то получим число 25. Какое число задумала Оксана?

Пусть задуманное Оксаной число равно x. Тогда можно составить уравнение:

96 — (х + 43) = 25
х + 43 = 96 — 25
х + 43 = 71
х = 71 — 43
х = 28

Ответ: Оксана задумала число 28.

2) У Буратино было 74 сольдо. После того как он купил себе учебники для школы, папа Карло дал ему 25 сольдо. Тогда у Буратино стало 68 сольдо. Сколько сольдо потратил Буратино на учебники?

Пусть Буратино потратил на учебники х сольдо. Тогда можно составить уравнение:

(74 — х) + 25 = 68
74 — х = 68 — 25
74 — х = 43
х = 74 — 43
х = 31

Ответ: Буратино потратил на учебники х сольдо.

274. Решите с помощью уравнения задачу.

Ваня задумал число. Если к этому числу прибавить 27 и из полученной суммы вычесть 14, то получим число 36. Какое число задумал Ваня?

Пусть задуманное Ваней число равно х. Тогда можно составить уравнение:

(х + 27) — 14 = 36
х + 27 = 36 + 14
х + 27 = 50
х = 50 — 27
х = 23

Ответ: Ваня задумал число 23.

275. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:

1) (x + а) — 7 = 42 было число 22

Подставим вместо х число 22 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(22 + а) — 7 = 42
22 + а = 42 + 7
22 + а = 49
а = 49 — 22
а = 27

Ответ: вместо а надо подставить число 27.

2) (а — x) + 4 = 15 было число 3

Подставим вместо х число 3 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(а — 3) + 4 = 15
а — 3 = 15 — 4
а — 3 = 11
а = 11 + 3
а = 14

Ответ: вместо а надо подставить число 14.

276. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:

1) (х — 7) + а = 23 было число 9

Подставим вместо х число 9 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(9 — 7) + а = 23
2 + а = 23
а = 23 — 2
а = 21

Ответ: вместо а надо подставить число 21.

2) (11 + х) + 101 = а было число 5

Подставим вместо х число 5 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(11 + 5) + 101 = а
16 + 101 = а
117 = а
а = 117

Ответ: вместо а надо подставить число 117.

Упражнения для повторения

277. Лиза была в школе с 8 ч 15 мин до 15 ч 20 мин. Вечером она пошла на тренировку. Там она провела на 5 ч 40 мин меньше времени, чем в школе. Сколько времени Лиза была на тренировке?

1) 15 ч 20 мин — 8 ч 15 мин = 7 ч 5 мин — Лиза провела в школе.

2) 7 ч 5 мин — 5 ч 40 мин = 6 ч 65 мин — 5 ч 40 мин = 1ч 25 мин — Лиа провела на тренировке.

Ответ: 1 ч 25 мин.

278. Начертите отрезок длиной 12 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 480. Поделите отрезок на шесть равных частей. Отметьте на полученной шкале числа 40, 100, 280, 360, 420.

279. Можно ли, имея 900 р., купить 3 кг бананов по 65 р. за 1 кг, 2 кг мандаринов по 130 р. за 1 кг и 4 кг апельсинов по 95 р. за 1 кг?

Посчитаем общую стоимость предполагаемой покупки:

1) 65 • 3 = 195 (рублей) — потребуется на покупку бананов.

2) 130 • 2 = 260 (рублей) — потребуется на покупку мандаринов.

3) 95 • 4 = 380 (рублей) — потребуется на покупку апельсинов.

4) 195 + 260 + 380 = 835 (рублей) — будет стоить весь набор продуктов.

Сравним предполагаемую стоимость покупки с имеющейся суммой денег:

Значит купить все эти продукты на 900 рублей можно.

Задача от мудрой совы

280. В трёх ящичках лежат шары: в первом ящичке — два белых, во втором — два чёрных, в третьем — белый и чёрный. На ящички наклеены этикетки ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждого из них не соответствует этикетке. Как, вынув один шар, узнать, что в каком ящичке лежит?

Этикетки на ящиках не соответствуют их содержимому. Значит в ящике БЧ не может лежать два разноцветных шарика. Там будет либо 2 белых шарика, либо два чёрных шарика. Вытащим один шар из ящика с этикеткой БЧ:

• если вытащен белый шар, то значит в ящике:
  • БЧ — 2 белых шара;
  • ББ — 2 чёрных шара;
  • ЧЧ — 1 белый и 1 чёрный шар.
• если вытащен чёрный шар, то значит в ящике:
  • БЧ — 2 чёрных шара;
  • ББ — 1 белый и 1 чёрный шар;
  • ЧЧ — 2 белых шара.

Ответ: надо вытащить шар из ящика с надписью БЧ.