Решение алгебраических уравнений методом последовательных приближений

Метод итераций

Правила ввода функции

2. Примеры
   ≡ x^2/(1+x)
   cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
   ≡ x+(x-1)^(2/3)

На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).

Достаточные условия сходимости метода итерации

Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:

1. Получить шаблон с омощью этого сервиса.
2. Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
3. Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).

Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .

Метод последовательных приближений решения дифференциального уравнения

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике для уравнения (1) выполнены условия а) и б) теоремы существования и единственности решения задачи (1)-(2).

Решение задачи (1)-(2) может быть найдено методом последовательных приближений , который состоит в следующем.

Строим последовательность функций, определяемых рекуррентными соотношениями

В качестве нулевого приближения можно взять любую функцию, непрерывную в окрестности точки , в частности — начальное значение Коши (2). Можно доказать, что при сделанных предположениях относительно уравнения (1) последовательные приближения сходятся к точному решению уравнения (1), удовлетворяющему условию (2), в некотором интервале , где

Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения n-м приближением , даётся неравенством

где . Применяя метод последовательных приближений, следует остановиться на таком , для которого не превосходит допустимой погрешности.

Пример 1. Методом последовательных приближений найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Очевидно, что для данного уравнения на всей плоскости выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Строим последовательность функций, определяемых соотношениями (3), приняв за нулевое приближение :

Ясно, что при . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция решает поставленную задачу Коши.

Пример 2. Методом последовательных приближений найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию в прямоугольнике

Решение. Имеем , т. е. . За берем меньшее из чисел , т. е. . Последовательные приближения согласно (4) будут сходится в интервале . Составляем их

Абсолютная погрешность третьего приближения не превосходит величины

Замечание. Функция должна удовлетворять всем условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Следующий пример показывает, что одной непрерывности функции недостаточно для сходимости последовательных приближений.

Пусть функция определена следующим образом:

На множестве , функция непрерывна и ограничена постоянной . Для начальной точки последовательные приближения при имеют вид:

Поэтому последовательность для каждого не имеет, предела, т. е. последовательные приближения не сходятся. Заметим также, что ни одна из сходящихся подпоследовательностей и не сходится к решению, поскольку

Если же последовательные приближения сходятся, то полученное решение может оказаться неединственным , как показывает следующий пример: .

Возьмем начальное условие ; тогда

Беря в качестве нулевого приближения функцию , будем иметь

так что все последовательные приближения равны нулю и поэтому они сходятся к функции, тождественно равной нулю. С другой стороны, функция представляет собой также решение этой задачи, существующее на полупрямой .

Метод последовательных приближений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Одной из целей этого метода состоит в нахождении приближенных решений уравнений. Одним из таких методов является метод простой итерации.

Метод простой итерации

Метод простой итерации — один из самых простейших численных методов для решения уравнений.

Идея метода простой итерации.

Пусть нам необходимо решить уравнение $f\left(x\right)=0$.

Вначале для его решения приведем его к эквивалентному уравнению вида

Рассмотрим пример такого приведения:

Привести уравнение $-x^2=0$ к виду $x=\varphi (x)$.

Решение.

Здесь есть три способа такого преобразования:

После этого каким-либо образом выбирается начальное приближение $x_0$, вычисляется значение $\varphi (x_0)$ и находится уточненное значение $x_1=\varphi (x_0)$. Следующее уточненное значение будет находиться как $x_2=\varphi (x_1)$ и т.д. Каждый такой шаг называется шагом итерации.

Сформулируем и докажем следующую теорему:

Функция $\varphi (x)$ определена и дифференцируема на отрезке $[a,b]$ и $\varphi (x)\in [a,b]$. Тогда, если \textbar $<\varphi >‘\left(x\right)|

Процесс итерации $x_n=\varphi (x_)$ сходится независимо от начального положения $x_0$;

$<\mathop_ x_n\ >=X$ — единственный корень уравнения $x=\varphi (x)$ на отрезке $[a,b]$.

Доказательство.

\item Так как $X=\varphi (x)$ и $x_n=\varphi (x_)$, то

\[x_n-X=\varphi \left(x_\right)-\varphi \left(x\right)=\left(\varphi \left(x_\right)-\varphi \left(x\right)\right)\frac-x>-x>=\] \[=\frac<\varphi \left(x_\right)-\varphi \left(x\right)>-x>\cdot x_-x\]

По теореме о среднем, получаем

Пусть $M=max |<\varphi >‘\left(x\right)|$, тогда $|x_n-X|\le M|x_-x|$. Также$|x_-X|\le M|x_-x|$. Но тогда получим

\[\left|x_n-X\right|\le M\left|x_-x\right|\le M^2\left|x_-x\right|и\ т.д.\]

То есть получим, что

Следовательно, для того чтобы метод сходился нужно, чтобы $M=max |<\varphi >‘\left(x\right)|$ было меньше единицы, значит $\left|<\varphi >‘\left(x\right)\right|

Рассмотрим $x_n=\varphi (x_)$ и $x_=\varphi (x_n)$.

\[x_-x_n=\varphi \left(x_n\right)-\varphi (x_)\]

По теореме о среднем $x_-x_n=f’\left(x_n\right)(x_n-x_)$.

Так как $\left|<\varphi >‘\left(x\right)\right|\le q

Рассмотрим теперь $f\left(x\right)=x-\varphi \left(x\right)$, $f^<'\left(x\right)>=1-<\varphi >^<'\left(x\right)>\ge 1-q$. Значит, $\left|x_n-\varphi \left(x_n\right)\right|=\left|f\left(x_n\right)-f\left(X\right)\right|=\left|x_n-X\right|\left|f’\left(x_n\right)\right|\ge \left(1-q\right)|x_n-X|$. Следовательно, $|x_n-X|\le \frac<\left|x_n-\varphi \left(x_n\right)\right|><1-q>\le \frac<|x_-x_n|><1-q>$.

Из двух полученных неравенств, имеем

Пусть $|x_n-X|\le \varepsilon $, тогда $x_0,x_1,\dots ,x_n$ нужно вычислять до тех пор, пока не выполнится неравенство $|x_n-x_|\le \frac<\varepsilon (1-q)>$, тогда получим, что $X=x_n\pm \varepsilon $. Отсюда следует, что $X$ корень уравнения $x=\varphi (x)$, то есть $X=\varphi (X)$.

Предположим, что это уравнение имеет еще один корень $X’=\varphi \left(X’\right)$. Отсюда $X’-X=\varphi \left(X’\right)-\varphi \left(X\right)$, тогда $\left(X’-X\right)\left|1-<\varphi >‘\left(C\right)\right|=0$. Значит $X’=X$.

Готовые работы на аналогичную тему

Теорема доказана.

Из теоремы будет вытекать погрешность метода простой итерации. Она определяется следующей формулой:

Также из нее можно выделить критерий окончания метода простой итерации. Он говорит, что процесс итерации необходимо продолжать до выполнения следующего неравенства:

Рассмотрим теперь на примере использование метода простой итерации.

Решить уравнение $sinx-x^2=0$ с точностью до $\varepsilon =0,001$.

Решение.

Вначале приведем уравнение к виду $x=\varphi (x)$.

Очевидно, что корень уравнения находит на отрезке $\left[\frac<\pi ><6>,\frac<\pi ><3>\right]$.

Найдем $\varphi (x)$:

Она возрастает на отрезке $\left[\frac<\pi ><6>,\frac<\pi ><3>\right]$, следовательно принимает максимальное значение, при $x=\frac<\pi ><3>$. $\left|<\varphi >‘\left(x\right)\right|\le \left|<\varphi >‘\left(\frac<\pi ><3>\right)\right|\approx 0,312$.

Условие выполняется, $q \[|x_n-x_|\le \varepsilon \]

Это неравенство выполнится на 5 шаге.

Приведем таблицу промежуточных решений, взяв за $x_0$ единицу:

Ответ: приближенное значение с заданной точностью — $0,8765$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08 04 2021