Решение алгебраических уравнений разложением на множители 10 класс

Технологическая карта урока математики в 10-м классе по теме «Решение алгебраических уравнений разложением на множители»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Технологическая карта урока математики в 10 классе.

Тема «Решение алгебраических уравнений разложением на множители»

Тип урока – урок открытия новых знаний

Цель . Расширить представления учащихся о способах решения алгебраических уравнений.

Образовательные – обучающиеся должны научиться составлять алгоритм решения алгебраических уравнений, формировать навыки разложения на множители с помощью деления уголком или схемой Горнера, отрабатывать умение применять при решении уравнений следствия из теоремы Безу.

Воспитательные – умение слушать и слышать друг друга, умение отстаивать свою точку зрения, выбора посильного задания.

Развивающие – развитие математической грамотности, развитие устной и письменной математической речи, развитие самоконтроля; выбора удобного способа решения.

Планируемые образовательные результаты .

Предметные . Обучающиеся должны уметь решать алгебраические уравнения.

Личностные . Формирование положительного отношение к учёбе и своим знаниям, умение осуществлять самооценку успешности усваиваемого содержания.

Метапредметные : регулятивные — определять учебную задачу; уметь обрабатывать информацию, сотрудничать при решении учебных задач; планировать собственную деятельность; задавать вопросы разного вида; выделять критерии для сравнения и осуществлять сравнения; формулировать выводы; вести диалог; кратко формулировать свои мысли; контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности, вносить необходимые коррективы в свою деятельность для достижения цели; коммуникативные – уметь выражать свои мысли чётко, ясно и понятно для окружающих, уметь логически доводить решение до конца; познавательные – уметь добывать новые знания, используя учебник и рассказ учителя; уметь строить логические цепочки рассуждения.

Материалы: учебник « «Математика: Алгебра и начала анализа 10» Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И. Шабунин. Москва. «Просвещение», 2018 год.», видеоролик, компьютер, проектор, интернет.

УУД: К – коммуникативные; П – познавательные, Р – регулятивные, Л — личностные.

Цель: создать благоприятный психологический настрой учащихся; создать условия для формирования внутренней потребности к учебной деятельности

Приближается экзаменационная пора – необходимо настроиться на работу – в классе и самостоятельно.

П – уметь ориентироваться в своей системе знаний

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) типы алгебраических уравнений;

2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

3) методы решения алгебраических уравнений.

Глоссарий по теме

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Биквадратными называются уравнения вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Уравнение вида a n x n ₊a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a n-1 =a k , при k=0, 1, …, n.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения. Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

D(–2) : ,

Можно догадаться, что число х₁ = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

х + 1 = 0 или х 2 –х–2 = 0;

х₁ = –1 х_2,3 = ;

х_2,3 = ;

x 3 + х 2 – х 2 – х – 2x – 2 = 0;

(x 3 + х 2 ) – (х 2 + х) – 2(x + 1) = 0;

х 2 (х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
1. Биквадратные уравнения

На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х 2 .

Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay 2 +by+c=0.

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

Решая эти два уравнения (y₁=x₁ 2 и y₂=x₁ 2 ) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

Ввести новую переменную у=х 2
Подставить данную переменную в исходное уравнение
Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
После нахождения корней (y₁; y₂) подставить их в нашу переменную у=х 2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

х 4 – 8х 2 – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х 2 , где у 0; у 2 – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

Первое решение отбрасываем ( у 0),

а из второго находим х₁ = –3; х₂ = 3.

2 Симметрические уравнения

Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

1 0 . У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е.

(х + 1)(ах 2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах 2 + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

2 0 . У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

3 0 . При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.

Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x 2 + х + 1) = 0.

x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

2 Возвратные уравнения

Уравнение вида a n x n ₊a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a n-1 =a k , при k=0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0:

разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
группировкой привести полученное уравнение к виду

ввести новую переменную , тогда выполнено
, то есть ;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at 2 +bt+c–2a=0;

решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Решение: Разделим на x 2 , получим:

Введем замену:
Пусть

Уроки алгебры в 10-м классе на тему «Разложение многочлена на множители. Теорема Безу. Обобщенная теорема Виета»

Разделы: Математика

Урок 1

Тема: Многочлен и его корни.

повторить понятие одночлена и многочлена;
квадратного трехчлена и его корней;
дать определение корней многочлена.

I. Актуализация опорных знаний

— выбрать многочлены, одночлены:

3x 2 b; —ax 3 ; 2x+4y 2 ; 5a (bx+cy); ;

-какие из выражений являются квадратным трехчленом? Назвать коэффициенты:

2x 2 ; -x 2 +3x-4; x 3 -x 2 +x; x 2 -5;

-найти корни квадратного трехчлена:

II. Изучение нового материала – лекция

1. Определение многочлена n-степени с одной переменной

члены многочлена
коэффициенты многочлена

где a₀, a₁, a₂, …, a_n-1, a_n — числа, причем a₀≠0, х — переменная, называется многочленом n- степени с одной переменной.

Обозначают многочлен (1) P_n(x) или P(x).

2. Равные многочлены

Два многочлена P_n (x) и Q_n(x) называются равными, если соответственно равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Записывают P_n(x) ≡ Q_n(x)

3. Многочлен нулевой степени

Многочлен P₀ (x) ≡ а, где а R, а ≠ 0 считают многочленом нулевой степени.

4. Линейный двучлен

Многочлен P₁ (x) = x + b, где а ≠ 0 называют линейным двучленом.

5. Квадратный трехчлен

Многочлен P₂ (x) = ax 2 + bx + c, где а ≠ 0 называют квадратным трехчленом.

III. Операции с многочленами

Суммой двух многочленов P_n (x) и Q_m(x) (n > m) называют многочлен Е_n(х), коэффициенты которого равны сумме соответствующих коэффициентов многочленов P_n (x) и Q_m(x).

Произведением многочленов P_n (x) = a₀x n + a₁x n-1 + a₂x n-2 + . . . a_n-1x + a_n и Q_m(x) = b₀x m + b₁x m-1 + b₂x m-2 + . . . b_m-1x + b_m называют многочлен

где

Коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы

Операции сложения и умножения многочленов подчиняются коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам:

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x); P(x) ∙ Q(x) = Q(x) ∙ P(x);

P(x) + ( Q(x) + Z(x) ) = ( P(x) + Q(x) ) + Z(x);

P(x) ∙ ( Q(x) ∙ Z(x) ) = ( P(x) ∙ Q(x) ) ∙ Z(x);

P(x) ∙ ( Q(x) + Z(x) ) = P(x)Q(x) + P(x)Z(x).

IV. Закрепление материала

; ;

2. Упростить выражение

3. Выполнить сложение (найти сумму многочленов P(x) и Q(x))

в)P(x) = x 5 -2x 3 + x-1

— Что можно сказать о степени суммы многочленов в зависимости от степени P(x) и Q(x)?

Q(x) = 4x 5 +3x 3 +2x 2 -3

д) P(x) = -1/2x 3 +3x 2 -x+12

Q(x) = 2x 4 -3x 2 +x-12

4. Выполнить умножение

а) P(x) = x 3 -3x 2 +3

5. Решить уравнение

a) x 6 -19x 3 -216=0

VI. Домашнее задание

1. Найти сумму, разность и произведение многочленов

a) P(x) = 3x 3 -5x 2 -1

Q(x) = x 4 -x 3 -7x 2 +13x-6

б) P(x) = 2x 4 +7x 3 -2x 2 -13x+6

Q(x) = 2x 3 +5x 2 -x-1

3. Решить уравнение

Урок 2

Тема: Разложение многочлена на множители.

повторить разложение на множители квадратного трехчлена;
сформировать навык деления многочлена на многочлен «уголком» и использования схемы Горнера для деления многочлена на линейный двучлен.

I. Повторение изученного материала – в виде самостоятельной работы

1. Решить уравнения

x 2 -10x+21=0
5y 2 +9y-2=0

2. Сократить дробь

;