Решение алгебраических уравнений разложением на множители видеоурок

Урок по алгебре в 7-м классе по теме: «Решение уравнений с применением приемов разложения многочлена на множители»

Разделы: Математика

Ребята, достаточно долго овладевая приёмами разложения многочлена на множители, подошли к моменту, когда необходимо систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия и самое главное: найти интересное применение разнообразных приёмов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.

1. Что, значит, разложить многочлен на множители?

2. В каком случае произведение множителей равно 0?

3. Степень, какого числа равна нулю? 1??

4. Какие приёмы разложения на множители вам известны? (Вынесение общего множителя за скобки, группировка слагаемых с последующем вынесением общего множителя, с помощью формул сокращенного умножения).

5. Чему равны квадрат суммы, разности двух слагаемых?

6. Чему равна разность квадратов двух слагаемых?

На доске записаны уравнения:

По какому признаку можно разбить эти уравнения в группы? (Уравнения, содержащие многочлен второй степени. Уравнения, содержащие многочлен выше второй степени. Уравнение, содержащее многочлен второй степени, коэффициенты которого периодические дроби).

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря порой на похожесть уравнений.

Предлагаю учащимся решить уравнение двумя способами. Вызываю к доске двух учеников.

Один ученик решает уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленов, а другой – применением формулы сокращённого умножения – квадрата суммы:

Вопрос: Какой способ оказался более рациональным? (Конечно второй). Как его можно назвать?

(Выделение полного квадрата суммы)

Обсуждаем решение уравнения .

Можно ли решить уравнение, разбивая одно из слагаемых на два?

(да,)

А выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 не является квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополните сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы.

Как можно разложить многочлен в левой части уравнения на множители? (По формуле разности квадратов).

Сообразите, можно ли рассуждая аналогично решить уравнение ?

(Неудобное в данном случае число 5).

И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

Обратите внимание на коэффициенты уравнения . Какую закономерность можно заметить?

(Одинаково читаются слева направо)

Что происходит с показателями переменной x?

(Уменьшаются на один)

Выскажите предположение для многочлена в левой части уравнения.

(Многочлен х 4 +4х 3 +6х 2 +4х+1 есть (х+1) 4 ). Обоснуйте это.

(Построим треугольник Паскаля

14641 4-ая строка содержит коэффициенты возведения в 4-ую степень двучлена (х+1)

Итак, какой вид примет уравнение? Решите его устно.

Решите устно уравнение

Какими числами являются коэффициенты уравнения

(Периодическими десятичными дробями)

Обратите периодические дроби в обыкновенные и решите, получившееся уравнение.

(Правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: чтобы периодическую десятичную дробь обратить в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде и после девятки дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом)

(Подберите рациональный способ решения и найдите корни уравнения, х=1 или )

Вновь обратимся к уравнению . Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

Чем уравнение похоже на предыдущее?

(Коэффициент при х 2 равен 1)

Попробуем решить это уравнение устно, не применяя ни один из рассмотренных приёмов, но

принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена в виде произведения двучленов:

Тогда, скажите чему, будут равны значения выражений и по аналогии с предыдущими рассуждениями?

( Легко догадаться, что или наоборот).

Сообразите, чему будут равны корни уравнения?

Устно решите уравнения:

1. С каким новым способом решения квадратных уравнений вы познакомились?

(Выделение полного квадрата суммы или разности)

2. Как вы думаете, почему этот способ не всегда удобен?

(Например, в уравнении 3х 2 -2х-1=0 3х 2 не является квадратом рационального выражения)

3. Какое открытие вы сделали, применяя метод неопределённых коэффициентов для

решения квадратных уравнений, если коэффициент при равен 1?

(Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа в и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение – третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам .

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений – по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) типы алгебраических уравнений;

2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

3) методы решения алгебраических уравнений.

Глоссарий по теме

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Биквадратными называются уравнения вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Уравнение вида a n x n ₊a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a n-1 =a k , при k=0, 1, …, n.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения. Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

D(–2) : ,

Можно догадаться, что число х₁ = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

х + 1 = 0 или х 2 –х–2 = 0;

х₁ = –1 х_2,3 = ;

х_2,3 = ;

x 3 + х 2 – х 2 – х – 2x – 2 = 0;

(x 3 + х 2 ) – (х 2 + х) – 2(x + 1) = 0;

х 2 (х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
1. Биквадратные уравнения

На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х 2 .

Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay 2 +by+c=0.

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

Решая эти два уравнения (y₁=x₁ 2 и y₂=x₁ 2 ) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

Ввести новую переменную у=х 2
Подставить данную переменную в исходное уравнение
Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
После нахождения корней (y₁; y₂) подставить их в нашу переменную у=х 2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

х 4 – 8х 2 – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х 2 , где у 0; у 2 – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

Первое решение отбрасываем ( у 0),

а из второго находим х₁ = –3; х₂ = 3.

2 Симметрические уравнения

Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

1 0 . У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е.

(х + 1)(ах 2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах 2 + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

2 0 . У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

3 0 . При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.

Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x 2 + х + 1) = 0.

x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

2 Возвратные уравнения

Уравнение вида a n x n ₊a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a n-1 =a k , при k=0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0:

разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
группировкой привести полученное уравнение к виду

ввести новую переменную , тогда выполнено
, то есть ;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at 2 +bt+c–2a=0;

решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Решение: Разделим на x 2 , получим:

Введем замену:
Пусть

Уроки №19-20, 30.09.21 Решение алгебраических уравнений разложением на множители

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок подготовила
учитель математики
МАОУ СШ № 10 г.Павлово
Галина Анна Петровна
Урок вывешен на сайте: http://leonanuta.wixsite.com/s11047
Урок
алгебры и начал математического анализа в 10 классе

Приветствую вас
на уроке
30.09.21г.
Девиз урока:
Успешного усвоения учебного материала
Математика –
это поэзия логики идей.
А. Эйнштейн

1.Теория.
Прочитать текст §4
Стр.115-110

2.Практика. Разобрать задачи, решенные в классе.

Стр.110-111, №308(2),309(1),310(1),311
№№3173-315***
ДР№8 на 30.09.21

Многочлен Р(х) делится на х – а,
где а= — 1

№309 (1).
1) Применяя следствие из теоремы Безу

№309(1).
2)
Действительных корней нет
Ответ:

№311 Решение:
Так как остаток от деления многочлена Р(х) на х+4 равен 5, то
Р(–4)=5, а от деления на х – 5 остаток равен 14, то Р (5)=14.

№313***
Так как остаток от деления многочлена Р(х) на х+2 равен 6,
на х – 3 равен 26, на х+4 равен 12, то Р (– 2)=6, Р(3)=26, Р(– 4)=12 и

Степень не выше 2. .

№313***
Учитывая 1-3*, получаем: а=1, b=3.
Тогда, т.к. , то с=8 и

№314***
Если многочлен
делится на (х+2) и на (х-3), то

имеем систему уравнений:
Ответ:

№315***
Доказано, что если многочлен
делится на и на , то

Покажем, что делится на и на
т.е.
Чтд.

Экспресс — опрос
Заполняем устно пропуски

1. Значение х, при котором многочлен Р(х) обращается в нуль называется … … …

1. Значение х, при котором многочлен Р(х) обращается в нуль называется корнем этого многочлена.

Остаток от деления многочлена
Р(х) на двучлен х – а равен значению этого многочлена при х=…, т.е. Р(…)=…

Остаток от деления многочлена
Р(х) на двучлен х – а равен значению этого многочлена при х=а, т.е. Р(а)=R

3. Формула деления с остатком:

Р(х)=(х – а)Q(x)+R, где R-число
делимое
делитель
частное
остаток

4.Если числа являются
… мночлена , то

4.Если числа являются
корнями мночлена , то

7. Если
… корень
число k — … корня
— корнем многочлена
… является

7.Если
кратный корень
число k — кратность корня
3) корнем не является

8.Степень произведения двух многочленов равна … степеней многочленов множителей.

8.Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней многочленов множителей.

9. Степень частного двух многочленов равна:

10.Алгебраическим уравнением называют уравнение вида

10. Алгебраическим уравнением называют уравнение вида
где многочлен степени

Степенью алгебраического уравнения называют … п …

11. Степенью алгебраического уравнения называют степень п многочлена

12. Корень уравнения
является … многочлена …

12. Корень уравнения
является корнем многочлена

13.Следствия из теоремы Безу:

Следствие 1: Если х=а – … уравнения то и многочлен делится на двучлен …

Следствия из теоремы Безу:

Следствие 1: Если х=а – корень уравнения то и многочлен делится на двучлен х — а

13.Следствия из теоремы Безу:

Следствие 2: Если многочлен
… на двучлен …, то
х=а – корень уравнения

Следствия из теоремы Безу:

Следствие 2: Если многочлен
делится на двучлен х – а , то
х=а – корень уравнения

14.
Прочитайте запись:

30.09.21
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Глава III, §5
Уроки №19-20

Цели урока:
Рассмотреть способы решения алгебраического уравнения, разложением на множители
Продолжить формирование культуры устной и письменной математической речи, умения работать в паре и группе.

Устная работа
Назвать целые делители каждого из чисел:
1; 2; -7; 10; 12; -15; 18.

Устная работа
2. Решите уравнение:
Проверка

Устная работа
2. Решите уравнение: Ответ:
х — любое
Нет корней

Устная работа
3. Угадать хотя бы один корень уравнения:

Устная работа
3. Угадать хотя бы один корень уравнения:
Объясните решение

Письменно:
4. Решить уравнение разложением на множители:
Проверка

4. Решить уравнение разложением на множители:
Максимум – 1 балл

Письменно:
4. Решить уравнение разложением на множители:
Проверка

4. Решить уравнение разложением на множители:
Максимум – 1 балл

Письменно:
4. Решить уравнение разложением на множители:
Проверка

4. Решить уравнение разложением на множители:
Максимум – 1 балл

Письменно:
4. Решить уравнение разложением на множители:
Проверка

4. Решить уравнение разложением на множители:
Действительных
корней нет
Максимум – 1 балл

Устная работа
5. Делится ли квадратный трёхчлен

на двучлен
Проверка

Устная работа
5. Делится ли квадратный трёхчлен

на двучлен
Ответ: делится, т.к. 2²-5∙2+6=0
Максимум – 1 балл

Устная работа
6. Найти хотя бы один корень уравнения:

Максимум – 1 балл

Первые итоги урока:
6 баллов – «5»
4-5 баллов – «4»
3 и менее – «3»

Изучение нового материала
Работа с текстом учебника

с целыми коэффициентами
, где
имеет целый корень, то этот корень является делителем числа
Стр.111-112

Разбираем Задачу 1.

Разбираем Задачу 1.
Перечислите последовательность шагов решения

Прочитайте задание.
Как предлагаете его выполнять?
По какому образцу будем решать?
Назовите 1 шаг решения