Решение алгебраических уравнений урок 9 класс

Урок обощения и систематизации знаний в 9-м классе по теме «Решение алгебраических уравнений высших степеней»

Разделы: Математика

Цели:

1. Обобщить, углубить знания учащихся по этой теме.
2. Развивать умение наблюдать, сравнивать способы решения уравнений, решать уравнения с параметрами.
3. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность. Побуждать учеников к взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование:

• экран,
• мультимедийная установка,
• таблицы.

У учащихся на столе оценочный лист, работа каждого ученика на уроке связана с этим листом.

Оценочный лист учащегося

“5” — 18 ? n ? 20 баллов;

“4” — 14 ? n ? 16 баллов;

“3” — 11 ? n ? 13 баллов;

“2” — менее 11 баллов.

Ход урока

Учитель. Тема урока: “Решение алгебраических уравнений”.

На этом уроке каждый ученик должен уметь верно и рационально решать алгебраические уравнения, потому что эти уравнения – фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Эта тема является ступенькой в изучении боле сложного материала математики в средней школе.

В конце урока будет проведена самостоятельная работа.

I. Проверка домашнего задания

(На компьютере заранее подготовлено домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям, обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверки).

Предварительное домашнее задание

1. Решить уравнение х 3 – х + 4 = 0 – графическим способом;
2. Решить уравнение х 3 +2х 2 -5х — 6 = 0;
3. Решить уравнение ;

Решение первого уравнения.

Перепишем уравнение в виде: х 3 = х – 4.

Построим графики функций у = х 3 и у = х – 4.

Графики функций пересеклись в точке А. Абсцисса этой точки и есть корень уравнения х 3 = х – 4.

По рисунку видно, что корень находится в промежутке (-2; 0) и приблизительно равен -1, 9. х -1,9.

Ответ: х -1,9.

Решение второго уравнения:

х 3 +2х 2 -5х — 6 = 0,

обозначим Р₃(х) = х 3 +2х 2 -5х – 6. Делители 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

Р₃(2) = 8 +8 – 10 – 6 = 0, Р₃(-2) 0, Р₃(-3) = 0, значит х₁ = 2, х₂ = -3 – корни уравнения, тогда х 3 +2х 2 -5х – 6 = (х – 2)(х + 3)? М₁(х), найдем М₁(х)

Получим: х 3 +2х 2 -5х – 6 = (х – 2)(х + 3)? (х + 1),

(х – 2)(х + 3)? (х + 1) = 0, получим корни х₁ = 2, х₂ = -3, х₃ = -1.

Решение третьего уравнения :

Умножим это уравнение на (х – 2)(х + 3) 0, получим

4х 2 (х + 3) – 4х(х – 2) = 9х + 2,

4х 3 + 12х 2 – 4х 2 +8х – 9х – 2 = 0,

4х 3 + 8х 2 –х – 2 = 0,

4х 2 (х + 2) + (х + 2) = 0,

(х + 2) + (4х 2 + 1) = 0. Откуда х = -2, а уравнение 4х 2 + 1 = 0 не имеет действительных корней.

При х = -2, знаменатели дробей, входящие в исходные уравнения, не равны нулю, значит х = -2 – корень уравнения.

В результате обсуждения и проверки домашней работы выясняем сущность способов решения уравнений.

1. графического способа;
2. решение уравнений с целыми коэффициентами;
3. решение дробно-рационального уравнения;

Результаты выполнения домашнего задания заносятся в оценочный лист.

Оценка “5” — нет ошибок, “4” — 2 – 3 ошибки, “3” — более трех ошибок.

II. Диктант

(учитель диктует, но задания написаны на плакате, который висит на доске).

— Назовите целые делители чисел 17, 12.

— Решите уравнение 3х + 2 = 3х + 3.

— Угадайте хотя бы один корень уравнения х 3 — 10х + 9 = 0.

— Решите уравнени е.

— Делится ли нацело квадратный трехчлен х 2 — 5х + 6 на х – 2?

— Для какого из многочленов 2х 3 — 3х 2 + х – 5 и 2х 3 — 3х 2 + 3х корнем является число 0?

Диктант проверяется с помощью компьютера.

Критерии оценок: “5” — нет ошибок, “4” — одна ошибка, “3” — две ошибки.

III. На доске записаны уравнения в два столбика:

а) х 3 + 7х 2 – 2 = 0; б) х 5 + 4х 4 – 5х 3 + 2х 2 – 2 = 0; в) х 4 – 3х 2 + 2 = 0; г) 3х 3 + 6х 2 – 3х – 6 = 0;

а) 4х 5 — 6х 4 + 7х 3 – 3х 2 + а = 0; б) х 4 – 6х 3 + 5х 2 + 7х + а = 0; в) 2х 2 – 3х 2 + 4х + а = 0; г) х 3 — 7х 2 + 7х + а = 0;

1. Выбрать из первого столбика уравнения, имеющие корень х = 1.
2. При каком а каждое из уравнений второго столбика будет иметь корень х = 1.

Проверка задания осуществляется с помощью компьютера.

Критерии оценок: “5” — нет ошибок, “4” — одна ошибка, “3” — две ошибки.

IV. Индивидуальная работа

У доски три ученика решают уравнения, записанные на карточках.

1. 2х 3 — 3х 2 + 4х – 3 = 0;
2. х 4 – 6х 3 + 5х 2 + 7х – 7 = 0;
3. х 3 — х 2 — 8х + 6 = 0;

Остальные учащиеся решают уравнение

2х 4 – 5х 3 — х 2 + 5х + 2 = 0

Один из учащихся комментирует ход решения с места.

Это возвратное уравнение. х = 0 не является корнем уравнения. Делим уравнение на х 2 .

;

;

.

Вводим замену , , , тогда 2(t 2 + 2) – 5t -1 = 0; 2t 2 + 4 – 5t – 1 = 0; 2t 2 – 5t + 3 = 0; D = 25 – 24 = 1.

; .

Решая первое уравнение, получим: , х₁ = 2, х₂ = -1/2.

Решая второе уравнение, получим: .

Ответ: х₁ = 2, х₂ = -1/2, , .

Работу учащихся оценивает учитель:

“5” — нет ошибок, “4” — одна ошибка, “3” — две ошибки.

Решение третьего уравнения х 3 — х 2 — 8х + 6 = 0.

Делители 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

Обозначим Р₃(х) = х 3 — х 2 — 8х + 6,

Р₃(2) 0, Р₃(-2) 0, Р₃(3) = 27 — 9 — 24 + 6 = 0, х₁ = 3 – корень.

х 3 — х 2 — 8х + 6 = (х – 3)( х 2 + 2х – 2);

(х – 3)( х 2 + 2х – 2) = 0;

х₁ = 3, , .

Ответ: х₁ = 3, ,.

V. Решение уравнений, содержащих параметр.

На доске три уравнения.

1. ах 3 — 2х 2 — 5х + 6 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен – 2.
2. х 3 + ах 2 — 5х + 6 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен 3.
3. х 3 — х 2 + ах + 12 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен – 3.

Ученик решает первое уравнение на доске.

ах 3 — 2х 2 — 5х + 6 = 0

Ученик. Так как -2 является корнем уравнения, то

а(-2) 3 – 2(-2) 2 – 5(-2) + 6 = 0

-8а – 8 + 10 + 6 = 0, а = 1, тогда х 3 — 2х 2 — 5х + 6 = 0.

Сумма коэффициентов равна нулю, значит х = 1 является корнем уравнения, т.е. два корня найдены. Находим третий корень.

— 2х 2 — 5х + 6 = (х + 2)(х – 1)(х – 1), х = 3 – третий корень.

Второе уравнение решает другой ученик на доске с комментариями, а третий ученик в это время решает третье уравнение на обратной стороне доски.

Решение третьего уравнения проверяем все вместе.

х 3 — х 2 + ах + 12 = 0

Так как х = -3, то -27 – 9 – 3а + 12 = 0, -3а = 24, а = -8.

Тогда х 3 — х 2 – 8х + 12 = 0; Р₃(х) = х 3 — х 2 — 8х + 12 = (х + 3)М₂(х),

х 3 — х 2 – 8х + 12 = (х + 3)(х 2 — 4х + 4); (х + 3)(х 2 — 4х + 4) = 0;

Корнями уравнения являются х₁ = — 3, х₂ = 2, х₃ = 2.

VI. Самостоятельная работа по вариантам

I вариант	II вариант
1) Решите уравнение
х 3 — 4х 2 — 9х + 36 = 0	х 3 — 5х 2 — 8х + 40 = 0
2) Решите уравнение

3) Найдите а и решите уравнение, если известен один из его корней

1) х1 = — 3, х2 = 3, х3 = 4	1) х1 = 5, , х3 =
2) х = 1	2) х1 = 1/2, х2 = — 1/3
3) а = 1, х1 =1/2,	3) а = -1, х1 = 1/3,

Самостоятельная работа выполняется на листочках . Листок ученики подписывают и сдают учителю, предварительно выписав свои ответы в тетради. Проверка, оценивание и подведение итогов осуществляется при помощи компьютера.

“5” — выполнено верно,

“4” — за два правильных задания,

“3” — за одно задание.

VII. Подведение итогов урока

Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели урока, оценивает работу каждого ученика, дает пояснение по домашнему заданию.

VIII. Домашнее задание

Если ученик получил оценку “4” или “5”, то задание такое:

4х 4 — 11х 2 + 9х — 2 = 0

Если ученик получил оценку “3”, то решить уравнения:

Конспект урока по алгебре на тему «Алгебраические уравнения» (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Приложение 2 Историческая справка.docx

КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ

«ВЕЧЕРНЯЯ (СМЕННАЯ) ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2»

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

( П Р И Л О Ж Е Н И Е 2 )

Из истории развития алгебраических уравнений

Разработка учителя математики

Алгебра, как искусство решать уравнения, зародилась очень давно в связи с потребностями практики, в результате поиска общих приемов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Еще со времен вавилонян и древних индусов считается, что одной из основных целей алгебры является решение уравнений и их систем. В Древнем Вавилоне 4000 лет назад умели решать уравнения первой, второй и некоторые уравнения третьей степени. Древние греки, решая уравнения, предварительно придавали им геометрическую форму: числа отождествлялись с длинами отрезков, нахождение неизвестной для них означало построение исконного отрезка. Но общей теории решения уравнений в те времена ещё не было.
Рассмотрим задачу, найденную в папирусе Кахуна (18-16 в.в до н.э) и имевшую прикладное значение. Формулировалась она в геометрических терминах, мы же дадим её трактовку в современных обозначениях: «Найти числа x и y, для которых x 2 + y 2 =100 и x : y=1:0,75». В папирусе эта задача (сводящаяся, фактически, к решению системы уравнения) решена методом «ложного положения». «Положим x = 1, тогда y = 0,75 и x 2 + y 2 = 1,25 2 . Но в условии x 2 + y 2 = 10 2 , значит в качестве x нужно брать не 1, а 10:1,25 = 8. Тогда y=6».
Выдающийся узбекский ученый первой половины 9 века аль-Хорезми впервые сформулировал правила преобразований уравнений, обосновал их геометрически, в традициях древних греков. В 12 веке аль-Хорезми были переведены на латинский язык и служили долгое время в Европе основным руководством по алгебре. Арабское название операции «восполнение» («перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть»), звучало как «аль-джебр», что и дало название разделу математики, занимающемуся решением уравнений – «алгебра».
Исторически развитие теорий уравнений и систем уравнений неразрывно связано с расширением числовых представлений, с накоплением опыта в преобразованиях алгебраических выражений, с развитием учения о функциях.
В процессе развития алгебры из науки об уравнениях преобразовалась в науку об операциях, более или менее сходных с действиями над числами. Таким образом, современная алгебра – один из основных разделов математики.

Сегодня на уроке мы обратим внимание на решение уравнений высших степеней. Вы знаете, что уравнение первой степени ах+ b = 0, при а ≠ 0 имеет единственный корень. Число корней уравнения второй степени ах 2 + bх + с = = 0 зависит от дискриминанта, но в любом случае имеет не более двух корней. Существуют формулы для вычисления корней уравнений третьей и четвертой степени, но они столь сложны, что ими практически не пользуются. Для уравнений пятой степени и выше не существует общих формул вычисления корней. Поэтому в современной математике разработаны различные методы, позволяющие с любой степенью точности находить приближенные значения корней уравнений. Использование компьютеров значительно облегчает эту работу. Приближенное решение уравнений тесно связано с построением графиков функций. Но сегодня мы не будем рассматривать этот метод.

Выбранный для просмотра документ Приложение 3 Дидактический материал.docx

КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ

«ВЕЧЕРНЯЯ (СМЕННАЯ) ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2»

Алгебраические уравнения. 9 класс. Разработка урока

Цели урока:

1. Образовательная цель: Научиться решать алгебраические уравнения в соответствии с их видами (типами), используя рациональные методы и приёмы их решения.
2. Воспитательная цель урока: Развитие навыков и умений коллективных методов работы, воспитание уважения и терпимости друг к другу, умения слушать и общаться друг с другом.
3. Развивающая цель урока. Развитие навыков логического мышления, мыслительных способностей, наблюдательности, самостоятельности, навыков сравнения, обобщения, анализа, ознакомление с историей возникновения учения об алгебраических уравнениях.

Урок реализуется по адаптивной системе обучения.

Краткая характеристика контингента обучающихся

Состав учащихся класса представляет собой обучающихся – осуждённых переводного контингента и учащихся нового набора. Ученики переводного контингента, проучившиеся в школе от 1 до 5 лет, значительно отличаются от новичков хорошей дисциплиной, положительной мотивацией к учебному труду, общей культурой, необходимыми опорными знаниями по предметам, уважительным отношением к школе, к учителям. На начало учебного года классы формируются как из переводного контингента, так и из учащихся нового набора. Многолетняя практика школы показала эффективность такого образования классных коллективов. Учащиеся переводного контингента оказывают положительное влияние на новичков, происходит воспитание в коллективе через коллектив. Для работы учащихся в группах обязательно учитывается психологическая совместимость обучающихся. Новички, за редким исключением, имеют значительный перерыв в учёбе, большие пробелы в знаниях, часто негативный опыт детской школы, низкую мотивацию учебного труда, неоднократные судимости. Всё это требует от учителя определённых усилий для вовлечения осуждённых в активную познавательную деятельность. Неразвитые психофизические процессы обучающихся, такие, как память, внимание, мышление требуют от учителя внедрения отлаженной системы повторения, закрепления опорных знаний и выстраивания личностной траектории развития каждого учащегося по предмету. Кроме того, учебные планы, учебные программы и весь учебно-методический комплекс не учитывают специфику обучения взрослых, тем более специфику обучения взрослых осуждённых. Решение проблем адаптации учебно-методических комплексов детской школы к условиям обучения взрослых возложили на себя педагоги открытых вечерних школ и педагоги школ пенитенциарной системы

Оборудование: Учебно-методический комплекс по алгебре для 9, 10, 11 классов Г.К. Муравина и др., записи вопросов на доске, опорные таблицы, дидактический материал обучающего, развивающего и контролирующего характера разныхуровней сложности с необходимыми формулами и опорными сигналами, компьютер, проектор, слайдовая презентация (Приложение 1).

Ход урока

1 этап. Объяснение нового материала, обучение приёмам самостоятельной работы. (10-12 минут)

Определяются учебные цели урока. Повторяются такие понятия, как уравнение, степень числа, степень многочлена, даётся информация из истории развития алгебраических уравнений (Приложение 1, Приложение 2). Даются пояснения по использованию опорной таблицы (Приложение 3).

Учитель даёт учащимся консультации по работе с пакетом дидактического материала обучающего, развивающего и контролирующего характера различных уровней сложности с необходимыми формулами и опорными сигналами. Дидактический материал содержит 5 основных видов алгебраических уравнений: алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители; уравнения, сводящиеся к алгебраическим (биквадратные, симметрические, возвратные, рациональные). Учащиеся рассматривают решённые уравнения, запоминают виды уравнений, методы и приёмы их решения.

У каждого ученика на столе имеется учебник, пакет с дидактическими материалами обучающего, развивающего и контролирующего характера (Приложение 3). По мере работы с дидактическим материалом учитель выявляет затруднения в усвоении учащимися учебного материала, отрабатывает понятийный аппарат, направляет работу учащихся на оптимальный выбор приёмов и методов решения основных видов алгебраических уравнений.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что правильность решения уравнения можно проверить проверкой найденных корней. (В дидактических материалах выделено зелёным цветом).

При применении некоторых формул используется ряд сигнальных обозначений.

Для ряда учащихся, имеющих значительные пробелы в знаниях, имеются необходимые для решения алгебраических уравнений опорные правила и формулы. Например, формулы решения квадратных уравнений, правила вынесения общего множителя за скобки, формула разложения на множители квадратного трехчлена, а также формулы сокращенного умножения.

Учитель обращает внимание обучающихся на единый орфографический режим при выполнении заданий, требует от учащихся чёткости и аккуратности в оформлении.

Пакет дидактических материалов обучающего, развивающего и контролирующего характера (Приложение 3) прилагается.

II этап. Работа в группах, взаимоконтроль учащихся

Учащиеся разбиваются на группы 2-4 человека в каждой. Каждый член группы получает индивидуализированное задание по решению уравнений по образцу. Школьники с более высокими учебными возможностями становятся консультантами для более слабых учащихся. Разнообразятся виды деятельности обучающихся. Ученики обмениваются тетрадями друг с другом. Работа по образцу позволяет отработать навыки решения уравнений по видам, закрепляет навыки оформления решённых уравнений, учит распознавать виды уравнений, позволяет обучающимся рационально распределить свои силы, утвердиться, проявить инициативу, находчивость, обрести чувство сопричастности к учебному труду, победить страх. Учитель включается в работу групп в разных качествах: участника, консультанта, помощника. Он отслеживает степень усвоения учебного материала, предлагает необходимые источники информации, оказывает помощь в ликвидации пробелов в знаниях и в формировании необходимых знаний, умений и навыков.

III этап. Обособленная самостоятельная работа, самоконтроль

На этом этапе наиболее успешным ученикам предлагаются задачи для самостоятельного решения. Для определения вида уравнения от учащихся требуется хорошее знание свойств алгебраических уравнений, формул, других опорных знаний и выполнения ряда первоначальных преобразований.

Учащиеся со средними учебными способностями для самостоятельного выполнения получают задания, в которых вид уравнения установлен по одному из образцов и не требует предварительных преобразований для установления его вида.

Учащиеся с низкими учебными способностями продолжают отрабатывать навыки решения уравнений разных видов 1-2 уровней по образцу, всякий раз добиваясь всё большего понимания и осмысления.

Данная тема рассчитана на 5 уроков. На первых двух уроках работа идёт по I и II этапу.

В 9 классе школы пенитенциарной системы тема «Алгебраические уравнения» изучается впервые. Начальное изучение этой темы целесообразно по адаптивной системе обучения, так как учитель, согласно целевым установкам, раскрывает основные определения, понятия, приёмы и методы решения. В 12 классе при повторении этой же темы целесообразно использование модульной технологии, так как учащиеся уже имеют представление об алгебраических уравнениях и в дальнейшем могут самостоятельно осваивать (повторять) данный модуль.

В конце урока подводятся итоги занятия, выставляются и комментируются оценки, объявляются требования и критерии к выполнению зачёта по изученной теме.