Решение дифференциального уравнения колебаний в общем виде

Лекция №7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

Колебания − это движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение, амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

1) Смещение x − это величина, характеризующая колебания и равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2) Амплитуда колебаний А − это величина, равная максимальному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T − это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [T] = 1 с .

За период система совершает одно полное колебание.

4) Частота колебаний ν − это величина, равная числу колебаний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица измерения [ν]= 1 Гц . Частота определяется по формуле

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2π циклов колебаний, [ω]= с -1 . Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением

6) Фаза колебаний ωt + φ₀ − фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный момент времени.

7) Начальная фаза φ₀ − указывает местоположение колеблющейся точки в момент времени t = 0 .

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Сложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать графически с помощью метода векторной диаграммы.

Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды А . Для этого из произвольной точки O , выбранной на оси Ox , под углом φ₀ , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор амплитуды А . Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться по оси Ox и принимать значения от -A до +A , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону x = Acos(ωt + φ₀)

1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.

Сложим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x₁ и x₂ , которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания на векторной диаграмме. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А . Проекция этого вектора на ось Ox равна сумме проекций слагаемых векторов x=x₂+x₂ , следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды А потеореме косинусов

Так как угол между векторами А ₁ и А ₂ равен φ=π-(φ₂-φ₁) , то cos[π-(φ₂-φ₁)]=-cos(φ₂-φ₁) , следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего колебания

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси X , так и вдоль оси Y . Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

где φ − разность фаз обоих колебаний.

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6) параметр времени t: cosωt= $$x\over A_1$$ , а sinωt= $$\sqrt<1-cos^2 ωt>=\sqrt<1-x^2\over A_1^2>$$ Разложим косинус во втором из уравнений (5.2.6)

Перепишем это уравнение в следующем виде

После преобразования, получим

Используя тригонометрическое тождество cos 2 φ+sin 2 φ=1 , окончательно получим

Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и разности фаз.

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму траектории для них:

a) разность фаз равна нулю [φ=0]

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой $$A= \sqrt+A_2<^2>>$$ .

2) разность фаз равна ±π[φ=±π] .

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

3) Разность фаз равна ± $$π\over 2$$ [φ=± $$π \over2$$ ] . Тогда

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи φ=+ $$π\over 2$$ и φ=- $$π\over 2$$ отличаются направлением движения. Если φ=+ $$π\over 2$$ , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=-A₂sinωt и движение совершается по часовой стрелке. Если φ=- $$π\over 2$$ , , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=A₂sinωt и движение совершается против часовой стрелке.

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в. Рис

4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Продифференцируем по времени уравнение гармонических колебаний

и получим выражение для скорости

Из сравнения уравнений (5.3.1) и (5.3.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2 . Амплитуда скорости равна Аω .

Продифференцировав уравнение (2) еще раз по времени, получим выражение для ускорения

Как следует из уравнения (5.3.3), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент времени, когда смещение достигает наибольшего, положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот. Амплитуда ускорения равна Аω 2 (рис. 5.3.1).

Из выражения (5.3.3) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Результирующая сила, действующая на материальную точку массой m , определяется с помощью второго закона Ньютона. Проекция этой силы

Эта сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена в сторону противоположную этому смещению, т. е. она стремится вернуть точку в положение равновесия, и поэтому называется возвращающей силой . Таким образом, гармонические колебания происходят под действием силы F , пропорциональной смещению x и направленной к положению равновесия,

где k=mω 2 − постоянный коэффициент. Возвращающая сила подобна упругим силам, возникающим в телах при их деформации. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы, поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие зависимости (5.3.6) называются квазиупругими силами .

Материальная точка, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, называется линейным осциллятором . Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением

ω₀ − собственная частота осциллятора.

Решение этого уравнения дает закон движения линейного осциллятора x=Acos(ωt+φ₀) .

5.4. Энергия гармонических колебаний.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно (рис. 5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия возрастает. При прохождении через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к точке наибольшего отклонения происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана нулю. И т. д.

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2ω и амплитудой ωt kA 2

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармонические колебания.

1) Пружинный маятник − это материальная точка массой m , подвешенная (или расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m , прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ox F_упр=ma . Упругая сила F_упр=-kx . Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

Так как период колебаний определяется по формуле T= $$2π\over ω_0$$ , то период колебаний пружинного маятника

2) Математический маятник − это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m . Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент M , равный по величине mqlsinφ .Он имее акое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид: M=-mqlsinφ . Применим основно ательного движения

где L=ml 2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение ε= $$d^2φ\over dt^2$$ , получим

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний математического маятника

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M=-mglsinφ .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний математического маятника

Из сопоставления формул периодов колебаний математического и физического маятников T=2π $$\sqrt$$ и T=2π $$\sqrt$$ получается, что математический маятник с длиной

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Величина l_пр (отрезок OO′) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Дифференциальное уравнение колебаний.

Свободные колебания. Рассмотрим колебания груза массы m, висящего на пружине, жесткость которой. Направим ось координат Х вертикально вниз,

причем за начало отсчета примем точку О (рис.5.8), лежащую на одном уровне с центром масс m, когда груз неподвижен. При этом пружина растянута на величину x по сравнению с недеформированном состоянием. Величина упругой силы, действующей на массу m, равна kx. В положении равновесия

Если теперь сместить груз из положения равновесия, то он начнет совершать колебательное движение. Колебания, которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и затем предоставленной самой себе, называются свободными или собственными колебаниями,а частота, с которой происходят эти колебания, называется собственной частотой.Пусть в некоторый момент времени смещение груза равно х. Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось Х может быть записан в следующем виде:

ma_x = mg — k (x +x) или с учетом (5-13)

В свою очередь, уравнение (5-14) можно записать иначе, если представить ускорение тела через вторую производную смещения по времени a_x = d 2 x/dt 2 и обозначить величину k/m = :

= — x . (5-15)

Уравнение (5-15) является дифференциальным уравнением второго порядка, однако его решение можно просто угадать простым перебором всех элементарных функций, из которых только функции синуса и косинуса удовлетворяют решению этого уравнения. Действительно, если

смещение x = A sin(w₀t + j), (5-16)

то скорость тела , (5-17)

и ускорение тела . (5-18)

Сравнение (5-16) и (5-18) показывает, что действительно (5-16) является решением уравнения (5-15). Величины А и j остаются произвольными, для их определения необходимо использовать начальные условия, т.е. значения смещения и скорости тела в начальный момент времени. Например, если при t = 0 x (0)= 0, а v(0) = v₀, то из (5-16 ) следует, что sinj = 0 и j = 0, a из (5-17) величина А = v₀/w₀. При этих условиях решением уравнения (5-15) служит функция х(t) = . Задание тех или иных начальных условий обычно определяется конкретными условиями поставленной задачи.

Затухающие колебания. В реальной жизни любой колебательный процесс постепенно затухает из-за наличия сил трения. Для колебаний груза на пружине существенную роль играет так называемое вязкое трение, сила которого при малых смещениях оказывается пропорциональной величине скорости тела:

F_трен = — bv = — b . (5-19)

В этом случае второй закон Ньютона (уравнение движения) для груза, колеблющегося на пружине, приобретает такой вид:

+ mg — k (x +x). (5-20)

Вводя обозначения , это уравнение можно преобразовать так:

, (5-21)

где по-прежнему . Решение этого дифференциального уравнения может быть получено обычным способом, но можно показать, что уравнение (5-21) можно свести к уравнению типа (5-15). Для этого достаточно ввести замену переменных x(t) = z (t)e — b t . Проводя операцию дифференцирования, имеем:

; 2b ;

, .

С учетом этого уравнение (5-21) может быть записано в таком виде:

+ + = 0

После сокращения на величину и приведения подобных членов получаем:

. (5-22)

Сравнивая полученное уравнение с выражением (5-15), нетрудно заметить их почти полную идентичность; различие состоит лишь в том, что частота колебаний в (5-22) определяется из формулы . Таким образом решение уравнения (5-21 ) имеет вид:

, (5-23)

где как и ранее величины А и j определяются из начальных условий. В большинстве случаев b

, (5-24)

т.е. декремент затухания равен относительному уменьшению амплитуды за время, равное периоду колебания. Натуральный логарифм D называют логарифмическим декрементом затухания d, т.е. d = ln D = bТ.

Дата добавления: 2015-04-15 ; просмотров: 2748 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Дифференциальные уравнения колебаний

— гармонические,

— затухающие,

— вынужденные.

· Уравнение колебания, полученного при сложении двух колебаний одинаковой частоты и одного направления, амплитуды колебаний которых и , а начальные фазы и ,

, где

—

амплитуда результирующего колебания, — разность фаз слагаемых колебаний; начальная фаза результирующего колебания определяется формулой

.

· Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно­ перпенди­кулярных колебаниях с одинаковыми частотами

:

а) если , то — уравнение прямой,

б) если , то — уравнение прямой,

в) если , то — уравнение эллипса, приведённого к осям,

г) если и , то — уравнение окружности, где — радиус окружности.

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

· Длина волны, т.е расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе

,

где — скорость волны, — период, — частота.

· Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси в среде, не поглощающей энергию,

или

, где

— амплитуда волны, — циклическая частота, -фаза волны, — начальная фаза, — волновое число.

Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Волна называется поперечной, если частицы колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т.е. способна сопротивляться деформации сдвига. Этим свойством обладают только твердые тела. Продольные волны могут распространяться как в твердых телах, так и в жидких и газообразных средах.

Маятник

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом образованным нитью с вертикалью (рис. 54.1). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент N, равный по величине — масса, a l — длина маятника). Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту N и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки 1). Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначив угловое ускорение через и учитывая, что момент инерции маятника равен получаем:

Последнее уравнение можно привести к виду

(54.2)

Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положить Введя, кроме того, обозначение

придем к уравнению

к зторое идентично с уравнением (53.1). Его решение имеет вид

Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону.

Как следует из (54.3), частота колебаний математического маятника зависит только от длины маятника и от ускорения силы тяжести и не зависит от массы маятника. По формуле (53.8) с учетом (54.3) получается известное из школьного курса выражение для периода колебаний математического маятника:

Отметим, что, решив уравнение (54.2), можно найти для периода колебаний следующую формулу:

где а — амплитуда колебаний, т. е. наибольший угол, на который отклоняется маятник из положения равновесия.

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

где m — масса маятника, а l — расстояние между точкой подвеса О и центром масс С маятника (рис. 54.2). Знак «—» имеет то же значение, что и в случае формулы (54.1).

Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой I, можно написать:

В случае малых колебаний (54.8) переходит в уже известное нам уравнение:

Через обозначена в данном случае следующая величина:

(54.10)

Из уравнений (54.9) и (54.10) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром масс маятника. В соответствии с (54.10) период колебаний физического маятника определяется выражением

(54.11)

Из сопоставления формул (54.6) и (54.11) получается, что математический маятник с длиной

(54.12)

будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (54.12) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебании которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см.точку О на рис. 54.2).

Можно показать (рекомендуем это сделать в порядке упражнения), что при подвешивании маятника в центре качания О приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится нозым центром качания.

На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным называется такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нем тяжелые грузы. Перемещением грузов добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно Измерив период колебаний маятника и зная можно по формуле

найти ускорение свободного падения .