Решение дифференциальных уравнений граничные условия
Электронный курс по MathCAD
5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем.(Задача Коши и граничные задачи).
Решение одиночного дифференциального уравнения.
Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и сявляется его заключительным ключевым словом.
Odesolve(x,b,[step]) — Возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given.
x — переменная интегрирования, действительное число
b — конечная точка отрезка интегрирования
step — величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)
Замечания:
- Уравнение должно быть линейным относительно старшей производной.
- Число заданных начальных или граничных условий внутри блока должно быть равно порядку уравнения.
- При записи уравнения для обозначения производных функции используйте специальные кнопки с панели Math или ‘ (штрих) — [Ctrl+F7], для знака равенства = [Ctrl+=] (в том числе и для дополнительных условий).
- Конечная точка должна быть больше начальной.
- Не допускаются начальные и граничные условия смешанного типа (f ‘(a)+f(a)=5).
- Искомая функция в блоке дложна быть обязательно с аргументом ( f(x))
Численное решение задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем.
Для численного решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем могут быть использованы функции:
rkfixed(y,x1,x2,n,F) — возвращает матрицу решений системы уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка при фиксированном шаге по x
rkadapt(y,x1,x2,n,F) — ищет решение с переменным шагом ( там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения решения шаг функции уменьшается). Возвращается решение с равным шагом. Функция работает быстрее, чем rkfixed
Bulstoer(y,x1,x2,n,F) — дает более точное решение (методом Bulirsch-Stoer)
Агрумкнты вышеуказанных функций:
y — вектор начальных условий
x1,x2 — границы интервала для поиска решения
n — количество точек на интервале
F(x,y) — вектор-функция первых производных
При решении дифференциальных уравнений порядка выше первого (или систем уравнений, выше первого порядка) исходное уравнение (систему) необходимо преобразовать к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
В результате работы укзанных функций рассчитывается матрица, количество стобцов которой равно порядку уравнения +1(или сумме порядков уравнений в системе +1), а количество строк равно параметру n. Первый столбец содержит значения независимой переменной, второй — значение функции, третий — для диф. уравнений 2-го порядка — значение производной искомой функции (если решается система двух уравнений 1-го порядка, то третий столбец будет содержать значения второй функции). Для выделения решений (функций или их производных) можно воспользоваться стандартным оператором вывода столбцов матрицы M < >
Если матрица правых частей дифференциальных уравнений почти вырождена, то такие системы называются жесткими. В этом случае решения, возвращаемые функцией rkfixed будет неустойчивым и для решения таких систем необходимо применять функции Stiffb , Stiffr
Stiffb(y,x1,x2,n,F,J) — ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Bulirsch-Stoer
Stiffr(y,x1,x2,n,F,J) — ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Rosenbrock