Решение дифференциальных уравнений i вольфрам

Как решать дифференциальные уравнения в wolfram mathematica

WolframAlpha по-русски

Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Wolfram|Alpha

Решение дифференциальных уравнений с выводом результатов в пошаговом представлении (функция «Show steps» — Показать шаги) является одной из важных особенностей Wolfram|Alpha.

Wolfram|Alpha в большинстве случаев может помочь в решении дифференциальных уравнений различного уровня сложности, начиная от простейших дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (separable equations ) и включая более сложные уравнения, для решения которых служат, например, методы операционного исчисления, использующие преобразование Лапласа.

Как видим, Wolfram|Alpha сначала определяет (классифицирует) этот пример, как обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, затем выводит общее решение данного уравнения, график частного решения, удовлетворяющего условию y(1)=1, а также семейство интегральных кривых данного уравнения.

Чтобы получить детальное пошаговое решение, используйте кнопку «Show steps»:

Новое в Wolfram Language | Аналитическое решение уравнений в частных производных

Перевод поста Devendra Kapadia «New in the Wolfram Language: Symbolic PDEs».
Код, приведенный в статье, можно скачать здесь.
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко KirillGuzenko за помощь в переводе и подготовке публикации. Уравнения в частных производных (УрЧП) играют очень важную роль в математике и ее приложениях. Их можно использовать для моделирования реальных явлений, таких как колебания натянутой струны, распространения потока тепла в стержне, в финансовых областях. Цель этой статьи — приоткрыть завесу в мир УрЧП (тем кто еще с ним не знаком) и ознакомить читателя с тем, как можно эффективно решать УрЧП в Wolfram Language, используя новый функционал для решения краевых задач в DSolve, а так же новую функцию DEigensystem, которая появилась в версии 10.3.

История УрЧП восходит к работам известных математиков восемнадцатого века — Эйлера, Даламбера, Лапласа, однако развитие этой области в последние три столетия так и не остановилось. И потому в статье я приведу как классические, так и современные примеры УрЧП, что позволит рассмотреть эту область знаний под разными углами.

Давайте начнем с рассмотрения колебаний натянутой струны с длиной π, закрепленной на обоих концах. Колебания струны можно смоделировать с помощью одномерного волнового уравнения, приведённого ниже. Здесь u(x,t) — вертикальное смещение точки струны с координатой х в момент времени t:

Затем мы задаём граничные условия, указав тем самым, что концы струны при колебаниях сохраняют свои положения.

Зададим теперь начальные условия для движения струны, указав смещения и скорости различных точек струны в момент времени t=0:

Теперь мы можем использовать DSolve для решения волнового уравнения с начальными и краевыми условиями:

Как указано выше, решение есть бесконечная сумма тригонометрических функций. Сумма возвращается в невычисленной форме (Inactive), поскольку каждый отдельный член разложения имеет физическую интерпретацию, и зачастую даже небольшое количество членов может являться хорошим приближением. К примеру, мы можем взять первые четыре члена для получения приближенного решения asol(x,t)

Каждый член в сумме представляет собой стоячую волну, которые могут быть представлены следующим образом:

И все эти стоячие волны складываются воедино, образуя гладкую кривую, как показано на анимации ниже:

Волновое уравнение относится к классу линейных гиперболических уравнений в частных производных, описывающих распространение сигналов с конечными скоростями. Это УрЧП представляет собой удобный способ для моделирования колебаний в струне или в каком-то другом деформирумом теле, однако ещё более важную роль оно играет в современной физике и инженерных приложениях, т.к. оно описывает распространение света и электромагнитных волн.

Давайте теперь смоделируем поток тепла в стержне единичной длины, изолированном с обоих концов, с помощью представленного ниже уравнения теплопроводности:

Поскольку стержень изолирован с обоих концов, то через них проходит нулевой поток тепла, что можно выразить как граничные условия вида х = 0 и х = 1:

Теперь нужно указать начальное температурное распределение в стержне. В этом примере мы будем использовать приведённую ниже линейную функцию. В левом конце (х = 0) начальная температура — 20 градусов, в правом (х = 1) — 100:

И теперь мы можем решить уравнение теплопроводности с заданными условиями:

Как и в приведённом выше примере с волновым уравнением, мы можем извлечь несколько членов суммы и получить приближенное решение:

Первый член приближенного решения — 60 — среднее от температур на границах стержня, и она является стационарной температурой для этого стержня. Как показано на графике функции температуры от длины, представленном ниже, температура стержня быстро достигает стационарного значения в 60 градусов:

Уравнение теплопроводности относится к классу линейных параболических уравнений в частных производных, которые описывают процессы диффузии. Это простое на вид уравнение часто можно встретить в самых различных, а иногда и весьма неожиданных областях. Далее в статье мы рассмотрим два примера этого явления.

Рассмотрим теперь уравнение Лапласа, которое используется для моделирования стационарного состояния систем, т. е. поведения после некоторых зависящих от времени уже законченных переходных процессов. В двумерном случае это уравнение можно представить следующим образом:

Ограничим координаты х и у прямоугольной областью Ω, как показано ниже:

Классическая задача Дирихле — найти функцию u(x,y), удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри области Ω с заданным условием Дирихле (DirichletCondition), которое определяет значения на границах области Ω, как показано ниже:

Задачу Дирихле можно решить с помощью функции DSolve, весьма изящно задав при этом область:

Как и в примерах ранее, мы можем извлечь некоторое количество членов (скажем, 100) из суммы и визуализировать решение:

Следует заметить, что решение u(x,y) задачи Дирихле представляется гладким в Ω, несмотря на то, что граничные условия имеют резкие черты. Помимо этого, u(x,y) достигает экстремальных значений на границах, в то время как в центре прямоугольника находится седловая точка. Эти черты характерны для линейных эллиптических уравнений — класса уравнений в частных производных, к которым и принадлежит уравнение Лапласа.

Волновое уравнение, уравнение теплопроводности, уравнение Лапласа — самые известные примеры классических УрЧП. Теперь мы рассмотрим три примера типичных современных УрЧП, первым среди которых будет уравнение Бюргерса для вязкой жидкости, которое может быть представлено следующим образом:

Это нелинейное УрЧП было введено Иоханнесом Бюргерсом в сороковых годах в качестве простой модели для турбулентных потоков (параметр ϵ в уравнении представляет собой вязкость жидкости). Однако, десять лет спустя, Э. Хопф и Д. Коул показали, что уравнение Бюргерса сводится к уравнению теплопроводности, а это значит, что данное уравнение не может проявлять хаотического поведения. Преобразование Коула-Хопфа позволяет решать уравнения Бюргерса в замкнутой форме для начального условия, заданного, к примеру, так:

В этом примере мы будем использовать функцию DSolveValue, которая возвращает только выражение для решения. Члены с функцией ошибок (Erf) в формуле ниже возникают из решения соответствующей граничной задачи теплового уравнения:

Представленный ниже график демонстрирует изменение во времени гипотетического одномерного поля скоростей потока. Решение представляется гладким для положительного ϵ, при том что начальное условие есть кусочно заданная функция:

Как можно заметить на нижепреведённых графиках, решение стремится к разрывному при сремлении вязкости ϵ к нулю. Подобные решения с резким переходом (shock solutions) — известная особенность уравнений Бюргерса для невязкой (ϵ = 0) среды.

В качестве второго примера современных УрЧП рассмотрим уравнение Блэка-Шоулза, используемое в финансовых расчётах. Это уравнение впервые представили Фишер Блэк и Майрон Шоулз в 1973 году в качестве модели для определения теоретической цены на европейские опционы, и формулируется оно следующим образом:

где:
c — цена опциона как функция от стоимости акций s и времени t,
r — процентная ставка без риска,
σ — волатильность акций.

В их эпохальной статье (которая была процитирована более 28000 раз), Блэк и Шоулз отметили, что их уравнения с помощью преобразования переменных могут быть сведены к уравнению теплопроводности. Это резкое упрощение приводит к знаменитой формуле Блэка-Шоулза для европейских опционов с конечными условиями, основанными на цене исполнения (strike price) k актива в момент времени t=Т:

Вооружившись этой формулой, мы можем вычислить значения финансовых опционов для типичных значений параметров:

Ответ согласуется со значением, полученным с помощью встроенной функции FinancialDerivative:

В качестве третьего примера современных УрЧП рассмотрим уравнение Шредингера для электрона в одномерной потенциальной яме с глубиной d и соответствующим начальным условием. Уравнение и условия можно сформулировать следующим образом:

Этот пример имеет элементарное решение, которое принимает мнимые значения из-за наличия I в уравнении Шредингера:

Функция плотности вероятности для электрона ρ = Ψ ⊹ Ψ, с использованием подходящих значений параметров в задаче, может быть вычислена следующим образом:

Мы можем создать анимацию изменения плотности вероятности во времени, которая показывает, что «центр» электрона в яме движется из стороны в сторону:

Собственные значения и собственные функции играют важную роль как в решении уравнения Шрёдингера, так и в других УрЧП. В частности, они предоставляют «строительные блоки» для решений волновых уравнений и уравнений теплопроводности в виде бесконечных сумм, которые приводились ранее в статье. Поэтому, в качестве нашего последнего примера рассмотрим задачу о нахождении девяти наименьших собственных значений и собственных функций для оператора Лапласа с однородным (нулевым) условием Дирихле для трехмерной сферической области. Найдем девять наименьших значений λ и соответствующих им функций ϕ, удовлетворяющих Λϕ = λ ϕ, которые определяются следующим образом:

Новая функция DEigensystem в версии 10.3 позволяет вычислить требуемые собственные значения и функции следующим образом:

Собственные значения в этой задаче выражаются через BesselJZero. Вот пример:

Собственные значения можно визуализировать с помощью функции DensityPlot3D, которая возвращает красивые графики, как показано ниже:

УрЧП являются важным инструментом во многих отраслях науки и техники, в статистике и финансах. На более фундаментальном уровне они предоставляют точные математические формулировки некоторых самых глубоких и тонких вопросов о нашей Вселенной, скажем, о возможности существования голых сингулярностей. По моему опыту, изучение УрЧП награждает редким сочетанием из практических идей и интеллектуального удовлетворения.

Рекомендую изучить документацию по DSolve, NDSolve, DEigensystem, NDEigensystem и методу конечных элементов, чтобы узнать больше о различных подходах к решению УрЧП в Wolfram Language.

УрЧП в символьной форме поддерживаются в Wolfram Mathematica и Wolfram Language с версии 10.3, а в ближайшее время будут представлены и во всех остальных программных продуктах Wolfram.

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений в символьном виде.

Дифференциальными принято называть уравнения, в состав которых входят производные функции у(х), представляющей решение уравнения. Дифференциальные уравнения могут быть представлены в различной форме, например в общеизвестной форме Коши:

Несколько дифференциальных уравнений образуют систему дифференциальных уравнений. Решение таких систем также возможно средствами Mathematica и подробно описано в ряде книг по использованию системы. Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений могут быть линейными и нелинейными. Для линейных уравнений обычно существуют решения в аналитическом виде. Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае аналитических решений не имеют, но могут решаться приближенными численными методами.

Дифференциальные уравнения широко используются в практике математических вычислений. Они являются основой при решении задач моделирования – особенно в динамике. Немногие математические системы имеют реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений. Но система Mathematica имеет средства как для символьного, так и для численного решения дифференциальных уравнений и их систем.

Для решения дифференциальных уравнений в символьном виде используются следующие средства:

• DSolve[eqn, y[x], х] – решает дифференциальное уравнение относительно функций у [ х ] с независимой переменной х;
• DSolve[, , ] – решает систему дифференциальных уравнений.

У функции DSolve и ее численного варианта NDSolve есть пара опций, на которые следует обратить внимание:

• DSolveConstants – опция к DSolve, определяющая постоянные интегрирования, которые будут использованы в результате;
• StartingStepSize – опция к NDSolve, определяющая величину начального шага.

В решении дифференциальных уравнений встречаются постоянные интегрирования. По умолчанию они обозначаются как С [ i ].

WolframAlpha по-русски

Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Wolfram|Alpha

Решение дифференциальных уравнений с выводом результатов в пошаговом представлении (функция «Show steps» — Показать шаги) является одной из важных особенностей Wolfram|Alpha.

Wolfram|Alpha в большинстве случаев может помочь в решении дифференциальных уравнений различного уровня сложности, начиная от простейших дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (separable equations ) и включая более сложные уравнения, для решения которых служат, например, методы операционного исчисления, использующие преобразование Лапласа.

Чтобы решить дифференциальное уравнение с помощью Wolfram|Alpha достаточно ввести его в систему. ВНИМАНИЕ! Для ввода символа производной используется знак апострофа » ‘ «, но не кавычки (!). Для определенности можно добавить перед уравнением поисковое предписание solve (хотя, во многих случаях, это и не обязательно).

• solve xy’+y=2x

Как видим, Wolfram|Alpha сначала определяет (классифицирует) этот пример, как обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, затем выводит общее решение данного уравнения, график частного решения, удовлетворяющего условию y(1)=1, а также семейство интегральных кривых данного уравнения.

Чтобы получить детальное пошаговое решение, используйте кнопку «Show steps»:

Аналогичным образом можно получить решение, например, дифференциального уравнения Бернулли:

• solve 2xy’+y=x^2y^3

• solve y’-2y/x=-x^2y^2

Wolfram|Alpha позволяет также получать решения дифференциальных уравнений второго и высших порядков. Например, так выглядит решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

• solve y» + 2y’ +y= 54x^2e^(2x)sin(3x)

Или же дифференциального уравнения 3-го порядка: solve y»» = y.

С помощью Wolfram|Alpha возможно получить общее решение дифференциального уравнения, заданного в общем виде:

• solve a*y»(x)+b*y'(x)+c*y(x)=0

Наконец, в некоторых случаях, когда это необходимо,Wolfram|Alpha использует для решения дифференциальных уравнений методы операционного исчисления (преобразование Лапласа):

• solve y»(x)-2y'(x)/x+y(x)=0

Подробное решение этого примера смотрите по этой ссылке.

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

NovaInfo55, с. 5-9
Опубликовано 20 ноября 2016
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 50
CC BY-NC

Аннотация

В статье рассматриваются примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системе Wolfram Mathematica.

Ключевые слова

Текст научной работы

Системы компьютерной математики (Maple, Mathematica, MatLab, Derive и др.) применяются в различных областях науки. Они содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации. В настоящее время пакеты прикладных программ используются не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Системы компьютерной математики используются в решении математических проблем в работах Д.С. Воронова, О.П. Гладуновой, Е.С. Корнева, М.В. Куркиной, Е.Д. Родионова, Я.В. Славолюбовой, В.В. Славского, Н.К. Смоленцева, Л.Н. Чибриковой и др.

Система компьютерной математики Wolfram Mathematica является одним из наиболее распространенных программных средств, которое позволяет выполнять численные, символьные вычисления, имеет развитую двумерную и трехмерную графику, а также встроенный язык программирования высокого уровня. Для знакомства с языком программирования Wolfram Language рекомендуется интернет-ресурс Wolfram Language & System «Documentation Center» (http://reference.wolfram.com/language/). Выбирая раздел, можно познакомиться с имеющимися командами для решения задач и с примерами их использования. Примеры использования Mathematica в решении геометрических задач приведены в 4.

Система Mathematica обладает обширными возможностями решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде. Для этого используется функция DSolve, в алгоритме которой реализовано большинство известных на сегодняшний день аналитических методов.

Пример 1. Решим дифференциальное уравнение и построим график решений при различных значениях постоянной.

Пример 2. Решим уравнение y’=\frac

Попытаемся решить уравнение с помощью функции DSolve:

В данном случае функция DSolve не может решить нелинейное уравнение. Поэтому запишем уравнение в виде:

и будем интегрировать обе части уравнения:

Следовательно, общее решение уравнения примет вид

-(-2+y^2)\cos y+2y\sin y=x-10\ln (1-x)+13\ln(2-x)+C

Пример 3. Решим дифференциальное уравнение и построим поле направлений и график решения уравнения при различных значениях константы.

Построим таблицу решений, заменив С[1] на a, где a изменяется от -2 до 2 с шагом 0,5:

Отобразим два графика одновременно и покажем, что векторы поля направлений являются касательными к решениям дифференциального уравнения:

Система Wolfram Mathematica используется для решения дифференциальных уравнений не только в математике, но и актуальна в других научных областях. Ее можно применять и в механике, в частности, для решения различных постановок задач, где в качестве математических объектов используются дифференциальные уравнения. В работах [6,7] рассмотрены уравнения движения мембран и акустических сред в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для их решения может быть использована система компьютерной математики Wolfram Mathematica.

Читайте также

Математическая подготовка студентов в вузе в контексте будущей профессиональной деятельности

Использование прикладных программ при изучении математической статистики

Применение систем компьютерной математики при изучении комплексного анализа

Организация самостоятельной работы студентов в условиях информационно-образовательной среды вуза

Системы компьютерной математики в решении дифференциальных уравнений

Список литературы

1. Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 — 26 ноября 2015. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.
2. Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : Материалы Междунар. науч. конф. — Саратов : Издат. центр.»Наука», 2016. С. 105-107.
3. Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»». 2014. – С. 76-77.
4. Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всеросс. научно-практ. конф. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»», 2015. С.185-187.
5. Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в продуктивном обучении будущих бакалавров-математиков // Образовательные технологии. 2016. №2. С. 16-26.
6. Вельмисова А.И. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с гибкими стенками в случае разрыва упругих свойств на одной из стенок // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.12. С. 136-140.
7. Вельмисова А.И., Вильде М.В., Кириллова И.В. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с кусочно-неоднородными гибкими стенками // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т.11. №4. С. 68-73.

Цитировать

Зинина, А.И. Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений / А.И. Зинина. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 55. — С. 5-9. — URL: https://novainfo.ru/article/8754 (дата обращения: 21.02.2022).

Поделиться

Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.

Соучредители СМИ: Долганов А.А., Майоров Е.В.