Решение дифференциальных уравнений конспект урока

урок «Обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши»
методическая разработка по алгебре по теме

Конспект урока по теме » обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши». Предлагается методика введения нового материала, а также метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.Материал предназначен для работы со студентами 2 курса техникума.

Скачать:

Вложение	Размер
Урок»обыкновенные дифференциальные уравнения»	212.5 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока : Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный .

— помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

— помочь овладеть методами решения ДУ;

— отработать навыки решения обыкновенных диф.уравнений первого

— развить логическое мышление студентов;

— развивать творческие способности студентов:

— побудить интерес к изучаемому предмету.

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

дидактический материал;
проектор;
презентация.

Организационный момент.
Коррекция пройденного материала.
Актуализация знаний.
Объяснение нового материала.
Закрепление изученного материала.
Информация о домашнем задании.
Подведение итогов.

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.Отметить дежурных.

Объявить тему урока и его цель.

2.Коррекция пройденного материала: на предыдущем занятии вы выполняли самостоятельную работу. Анализируя ваши работы , были выделены следующие типичные ошибки ( показать на доске правильное выполнение). В итоге получены следующие результаты ( объявить оценки за сам. работу).

3. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(3х) ‘ =… (х 3 ) ‘ =… (6х 2 ) ‘ =… (х+5) ‘ =… (5х-4) ‘ =… (2sinx) ‘ =…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

в) Чему равен угловой коэффициент касательной ,проведенной к графику функции в точке х 0 ? ( ответ: производной функции при х 0 )

г) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF=F ‘ dx).

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а) ( ответ: I=2x+lnx+С); б) ; (I=ln(x+2)+C);

На слайдах показать графики решений данных неопределенных интегралов.

4.Объяснение нового материала:

Мотивация: В начале занятия к нам пришла необычная телеграмма

( текст на слайде) от майора Пронина.

На месте преступления обнаружен отпечаток пальца и записка: у ‘ =2х.

Подозреваю функцию . Cherchez la femme! Майор Пронин.

Выяснить , что данное равенство уравнение и оно содержит функция и её производные. Такие уравнения называют дифференциальными (ДУ).

Наша задача научиться решать такие уравнения. Может последовать вопрос: а зачем?

Как сказал один мудрец : «Великая книга природы написана на языке дифференциальных уравнений».

Смысл этой аллегории таков: математикам кажется , что законы природы во многих случаях удобно описывать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Сущность этих законов подчас раскрывается в результате решения ДУ.

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Ученый кот , услышав шорох,

Надел очки и на ходу

Учел реакцию в опорах,

Уклон и скорость. Для ОДУ

Путем изящных вычислений

Решил систему уравнений,

Пересчитав все P и Q,

И приготовился к прыжку.

Мышь убежала. Но , однако,

Кот съел в теории собаку.

Теперь мы плавно переходим к теории.

Определение 1: Дифференциальным уравнением называют уравнение , связывающее независимые переменные, их функцию и производные

( или дифференциалы) этой функции.

Определение 2: Если независимая переменная одна , то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше , то уравнение называется в частных производных.

Определение 3 : Наивысший порядок производной , входящей в уравнение , называют порядком дифференциального уравнения.

ху ‘ +у=0- обыкновенное диф.уравнение первого прядка.

— обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.

у »’ -2у=х- обыкновенное диф. уравнение третьего порядка.

Определение 4: Процесс решения ДУ называется интегрирование.

Определение 5: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение 6 : Общим решением ДУ называется такое решение , в которое входит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок уравнения.

Так, общее решение ДУ первого порядка содержит одну произвольную.

Общему решению ДУ соответствует совокупность ( семейство) всех интегральных кривых.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения ДУ называется интегральной кривой.

Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х 0 )=у 0 , называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

В ходе записывания теории разбирается пример: , , — общее решение

При х= 2, у=5, тогда 5= , 5= 4+с, получим с= 1, следовательно,

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: ДУ с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Для решения этого уравнения необходимо:

разделить сначала переменные;
проинтегрировать обе части полученного равенства.

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С 2 /(-3), тогда С 2 =9.

Частное решение имеет вид: .

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

у ‘ =4х 3 .Найти общее решение.( ответ: у=х 4 +С)
(ответ: )

Найти частные решения ДУ:

Найти частное решение ДУ .

тогда у=2sinx-1- частное решение.

1. , при х=π, у=0 . Ответ:

Практическое приложение ДУ.

-Откуда берутся ОДУ?

-А откуда берут их авторы задачников?

— С потолка или из пальца!

К сожалению, такое тоже бывает, но это не типично. Основным поставщиком ДУ для математиков является практика.

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Решение: По геометрическому смыслу производной . Получим:

Определить путь , который пройдет автомобиль за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

По условию , где к- коэффициент пропорциональности.

При t=10,s=100: ln100=10k+C

При t= 15,s=200:ln200= 15k+C, следовательно k=ln2/5, тогда С=ln25

Уравнение (1) примет вид: .

При t=20c. S=400м.Ответ: 400м.

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

Пусть Q-наличие фермента (г.) в момент времени t (ч.) , то скорость прироста фермента . По условию задачи .

При t=0, Q=2г., тогда С=ln2, получим .

При t=1, Q=2,6, тогда к=ln1,3

6.Задание на дом: выучить основные определения из конспекта;

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.

7.Подведение итогов: Выставление оценок за работу на уроке.

Найти общее решение ОДУ:

Найти частное решение ОДУ:

Найти общее решение ОДУ:

Найти частное решение ОДУ:

Решить уравнения:1.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БРЯНСКИЙ АВТОТРАНСПОРТНЫЙ ТЕХНИКУМ

по дисциплине «Математика»

Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Для специальностей: 190604 «Техническое обслуживание и ремонт

автомобилей на транспорте»

190701 «Организация грузовых перевозок на

080110 «Экономика и бухгалтерский учет на

транспорте (по видам)»

на методическую разработку открытого урока по дисциплине «Математика» по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши», разработанного преподавателем математики Жуковой Н.В.

Видом урока является изложение нового материала. В начале урока озвучена цель и задачи . В ходе изложения материала прослеживается четкая структура урока: актуализация знаний, хорошо проведена мотивация темы , доступно излагается материал, продуман этап закрепления. Урок методически построен правильно.

В ходе урока использовалась презентация с целью повышения наглядности, усвоения материала и познавательного интереса.

Изложение нового материала проходит в доступной , но в тоже время научной форме. Параллельно излагаемому материалу делается акцент на практическое применение данной темы , ее месту и роли в математике.

На этапе закрепления используется дифференцированный подход: студенты , усвоившие основной уровень знаний и умений , принимаются за боле сложные задания под контролем преподавателя. От результата их деятельности зависит итоговая оценка за урок.

Содержание данного урока включает в себя индивидуальную работу , что повышает ответственность студентов за итог проделанной ими работы.

Очень широко представлена межпредметная связь на данном уроке. Преподаватель подобрал задания прикладного характера, на которых студенты смогут оценить значимость данной темы и её необходимость в других областях науки.

К разработке данного урока преподаватель подошел с творчеством. Проделана большая подготовительная работа по обеспечению дидактическими и техническими средствами.

Данную методическую разработку урока можно рекомендовать к использованию в процессе изучения математики.

Рецензент: Немцова З.Н.- преподаватель математики Брянского автотранспортного

Данную методическую разработку урока можно рекомендовать к использованию в процессе изучения математики.

Рецензент: Толстенок И.Л.- преподаватель математики Брянского торгово-экономического

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №26. Простейшие дифференциальные уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение области применения дифференциальных уравнений

2) Определение дифференциального уравнения

3) Решение простейших дифференциальных уравнений

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. ( Пример: y’ – y = 0 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; y’’ + y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = f(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки А(10; 0) со скоростью v=4t+4 Найдите уравнение движения тела, и определите координату х через 1 с

Воспользуемся определением первообразной, т.к. х(t)=v₀t+at 2 /2

Найдем все первообразные функции 4t+4

При этом с=10, т.к. это есть начальная координата тела из условия задачи.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

Подставим t=1c в данное уравнение и найдем координату тела за данное время х = 2+4+10=16

Ответ: х=2t 2 +4t+10

№2. Найдите c при частном решении, у’ = x, если при х = 1 у = 0 .

Найдем все первообразные уравнения у’ , это будет общее решение уравнения :

Найдем число С , такое х = 1 у = 0 .

Подставим х = 1, y = 0 , в общее решение и получим:

№3. Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10

Найдем все первообразные функции 4х+5

Разработка урока по математике тема: «Дифференциальные уравнения» ( 1 курс )

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: Дифференциальные уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный .

— помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

— помочь овладеть методами решения ДУ;

— отработать навыки решения диф.уравнений первого

— развить логическое мышление студентов;

— развивать творческие способности студентов:

— побудить интерес к изучаемому предмету.

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Объяснение нового материала.

Закрепление изученного материала.

Информация о домашнем задании.

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.

2. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(4х) ‘ = (х 4 ) ‘ =… (7х 2 ) ‘ =… (х+8) ‘ =… (3х-4) ‘ =… (4 sinx ) ‘ =… (е 3х ) ‘ =…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

в) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF = F ‘ dx ).

г) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

д) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам ( группа)- у доски:

1 группа 2 группа 3 группа

3.Объяснение нового материала:

Мотивация: Решить уравнение: у ‘ =2х.

Что содержит данное уравнение?

у ‘ =2х.- дифференциальное уравнение (ДУ).

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Дифференциальные уравнения (ДУ) обычно кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении многим студентам, но на самом деле Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО .

Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.

ху ‘ +у=0- диф.уравнение первого прядка.

— диф. уравнение 2-го порядка.

у »’ -2у=х- диф. уравнение третьего порядка.

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению.

Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у’) = 0 между независи-мым переменным х, искомой функцией у и еѐ производной

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит :
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х₀)=у₀, называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

Пример: у ‘ =2х. С чего начать решение ?

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные?

— общее решение

2) При х= 2, у=5, тогда

5=, 5= 4+с, получим

с= 1, следовательно,

— частное решение.

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями с разделенными переменными

Определение 9-1: Линейное уравнение первого порядка – это уравнение вида:

Определение 10: Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то уравнение неоднородное

Для решения этого уравнения необходимо:

3.проинтегрировать обе части полученного равенства.

Пример2: Решить дифференциальное уравнение

Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Давайте попытаемся получить общее решение .

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

Используем свойство логарифмов

— представлена в явном виде

2) ,

-общее решение

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С 2 /(-3), тогда С 2 =9.

Частное решение имеет вид: .

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

у ‘ =4х 3 .Найти общее решение.( ответ: у=х 4 +С)

(ответ: )

Найти частные решения ДУ:

, при х= , у=3(ответ: y=tgx+2)

, при х=0, у=1 ( ответ: )

, ,

общее решение.

Найти частное решение ДУ .

общее решение.

тогда у=2 sinx -1- частное решение.

1. , при х=π, у=0 . Ответ:

2.Ответ: у=х 2 +4

3. ,х=2,у=-4. ответ:

Практическое приложение ДУ.

Решение: По геометрическому смыслу производной . Получим:

, .

Определить путь , который пройдет автомобиль за время t =20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

По условию , где к- коэффициент пропорциональности.