Решение дифференциальных уравнений методом интегрирования по частям

Метод интегрирования неопределенного интеграла по частям

Формула интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид:
.

Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u и v являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x (символ после знака дифференциала d в конце записи интеграла) . Тогда u и v являются функциями от x : u(x) и v(x) .
Тогда
, .
И формула интегрирования по частям принимает вид:
.

То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций:
,
одну из которых обозначаем как u: g(x) = u , а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная):
, тогда dv = f(x) dx .

В некоторых случаях f(x) = 1 . То есть в интеграле
,
можно положить g(x) = u, x = v .

Резюме

Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах:
;
.

Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям

Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции

По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u , оставшуюся часть – через dv .

Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
, , , , , , .
Подробное решение этих интегралов >>>

Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e x

По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида:
, , ,
где P(x) – многочлен от x . При интегрировании, многочлен P(x) обозначают через u , а e ax dx , cos ax dx или sin ax dx – через dv .

Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Пример

Подробное решение

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x ,
dv = x 2 dx .
Тогда
,
.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C , поскольку неопределенный интеграл – это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.

Более короткое решение

Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v , а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.

Другие примеры

Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex

Пример

Введем экспоненту под знак дифференциала:
e – x dx = – e – x d(–x) = – d(e – x ) .

Интегрируем по частям.
.
Также применяем метод интегрирования по частям.
.
.
.
Окончательно имеем:
.

Другие примеры

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-10-2014

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям используется тогда, когда нужно упростить имеющийся неопределенный интеграл или свести его к табличному значению. Чаще всего он применяется в случае наличия показательных, логарифмических, прямых и обратных тригонометрических формул и их сочетаний в подынтегральном выражении.

Основная формула, необходимая для использования этого метода, выглядит так:

∫ f ( x ) d x = ∫ u ( x ) d ( v ( x ) ) = u ( x ) v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) )

Она означает, что нам нужно сначала представить выражение под интегралом в качестве произведения функции u ( x ) и дифференциала функции v ( x ) . После этого мы вычисляем значение функции v ( x ) каким-либо методом (чаще всего применяется метод непосредственного интегрирования), а полученные выражения подставляем в указанную формулу, сводя исходный интеграл к разности u ( x ) v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) . Полученный в итоге интеграл также можно взять, используя любой метод интегрирования.

Рассмотрим задачу, в которой нужно найти множество первообразных функции логарифма.

Вычислите неопределенный интеграл ∫ ln ( x ) d x .

Решение

Используем метод интегрирования по частям. Для этого берем ln ( x ) как функцию u ( x ) , а остаток подынтегрального выражения – как d ( v ( x ) ) . В итоге получаем, что ln ( x ) d x = u ( x ) d ( v ( x ) ) , где u ( x ) = ln ( x ) , d ( v ( x ) ) = d x .

Дифференциалом функции u ( x ) является d ( u ( x ) ) — u ‘ ( x ) d x = d x x , а функция v ( x ) может быть представлена как v ( x ) = ∫ d ( v ( x ) ) = ∫ d x = x

Важно: константа C при вычислении функции v ( x ) будет считаться равной 0 .

Подставим то, что у нас получилось, в формулу интегрирования по частям:

∫ ln ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = ln ( x ) · x — ∫ x · d x x = ln ( x ) · x — ∫ d x = ln ( x ) · x — x + C 1 = = x ( ln ( x ) — 1 ) + C

Ответ: ∫ ln ( x ) d x = x ( ln ( x ) — 1 ) + C .

Наиболее сложным в применении данного метода является выбор, какую именно часть исходного выражения под интегралом взять в качестве u ( x ) , а какую – d ( v ( x ) ) .

Разберем несколько стандартных случаев.

Если у нас в условии стоят интегралы вида ∫ P n ( x ) · e a x d x , ∫ P n ( x ) · sin ( a x ) d x либо ∫ P n ( x ) · cos ( a x ) d x , где a является коэффициентом, а P n ( x ) – многочленом степени n , то в качестве функции u ( x ) нужно взять именно P n ( x ) .

Найдите множество первообразных функции f ( x ) = ( x + 1 ) · sin ( 2 x ) .

Решение

Мы можем взять по частям неопределенный интеграл ∫ ( x + 1 ) · sin ( 2 x ) d x . Берем x + 1 в качестве u ( x ) и sin ( 2 x ) d x в качестве d ( v ( x ) ) , то есть d ( u ( x ) ) = d ( x + 1 ) = d x .

Используя непосредственное интегрирование, получим:

v ( x ) = ∫ sin ( 2 x ) d x = — 1 2 cos ( 2 x )

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

∫ ( x + 1 ) · sin ( 2 x ) d x = u ( x ) v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = ( x + 1 ) · — 1 2 cos ( 2 x ) — ∫ — 1 2 cos ( 2 x ) d x = = — 1 2 ( x + 1 ) · cos ( 2 x ) + 1 2 ∫ cos ( 2 x ) · d ( x ) = = — 1 2 ( x + 1 ) · cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) + C

Ответ: ∫ ( x + 1 ) · sin ( 2 x ) d x = — 1 2 ( x + 1 ) · cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) + C .

Вычислите неопределенный интеграл ∫ ( x 2 + 2 x ) e x d x .

Решение

Берем многочлен второго порядка x 2 + 2 x в качестве u ( x ) и d ( v ( x ) ) — e x d x .

∫ x 2 + 2 x e x d x = u ( x ) = x 2 + 2 x , d ( v ( x ) ) = e x d x d ( u ( x ) ) = ( 2 x + 2 ) d x , v ( x ) = ∫ e x d x = e x = = u ( x ) v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = ( x 2 + 2 x ) e x — ∫ ( 2 x + 2 ) e x d x

К тому, что у нас получилось, надо опять применить метод интегрирования по частям:

∫ ( 2 x + 2 ) e x d x = ( x 2 + 2 x ) e x — ∫ 2 x + 2 e x d x = = u ( x ) = ( 2 x + 2 ) , d ( v ( x ) ) = e x d x d ( u ( x ) ) = 2 d x , v ( x ) = ∫ e x d x = e x = = ( x 2 + 2 x ) e x — ( 2 x + 2 ) e x — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = ( x 2 + 2 x ) e x — ( 2 x + 2 ) e x — ∫ 2 e x d x = = ( x 2 + 2 x — 2 x — 2 ) e x + 2 ∫ e x d x = ( x 2 — 2 ) e x + 2 e x + C = x 2 e x + C

Ответ: ∫ ( x 2 + 2 x ) e x d x = x 2 e x + C .

Вычислите интеграл ∫ x 3 cos 1 3 x d x .

Решение

Согласно методу интегрирования по частям, берем u ( x ) = x 3 и d ( v ( x ) ) = cos 1 3 x d x .

В таком случае d ( u ( x ) ) = 3 x 2 d x и v ( x ) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x .

Теперь подставим полученные выражения в формулу:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = u ( x ) v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ) ) = = x 3 3 sin 1 3 x — ∫ 3 x 2 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x — 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x

У нас получился неопределенный интеграл, который опять же нужно взять по частям:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x — 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x = = u ( x ) = x 2 , d ( v ( x ) ) = sin 1 3 x d x d ( u ( x ) ) = 2 x d x , v ( x ) = ∫ sin 1 3 x d x = — 3 cos 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x — 9 — 3 x 2 cos 1 3 x — ∫ — 3 cos 1 3 x · 2 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 · cos 1 3 x — 54 ∫ x cos 1 3 x d x

Выполняем частичное интегрирование еще раз:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 · cos 1 3 x — 54 ∫ x cos 1 3 x d x = = u ( x ) = x , d ( v ( x ) ) = cos 1 3 x d x d ( u ( x ) ) = d x , v ( x ) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x — 54 3 x sin 1 3 x — ∫ 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 — 162 x sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x + 162 ∫ sin 1 3 x d x = = ( 3 x 3 — 162 x ) sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x — 486 cos 1 3 x + C = = ( 3 x 3 — 162 x ) sin 1 3 x + ( 27 x 2 — 486 ) cos 1 3 x + C

Ответ: ∫ x 3 cos 1 3 x d x = ( 3 x 3 — 162 x ) sin 1 3 x + ( 27 x 2 — 486 ) cos 1 3 x + C .

Если же у нас в условии стоят интегралы вида ∫ P n ( x ) · ln ( a x ) d x , ∫ P n ( x ) · a r c sin ( a x ) d x , ∫ P n ( x ) · a r c cos ( a x ) d x , ∫ P n ( x ) · a r c t g ( a x ) d x , ∫ P n ( x ) · a r c c t g ( a x ) d x

то нам следует брать в качестве u ( x ) функции a r c t g ( a x ) , a r c c t g ( x ) , ln ( a x ) , a r c sin ( a x ) , a r cos ( a x ) .

Вычислите множество первообразных функции ( x + 1 ) ln ( 2 x ) .

Решение

Принимаем ln ( 2 x ) в качестве u ( x ) , а ( x + 1 ) d x – в качестве d ( v ( x ) ) . Получаем:

d ( u ( x ) ) = ( ln ( 2 x ) ) ‘ d x = 1 2 x ( 2 x ) ‘ d x = d x x v ( x ) = ∫ ( x + 1 ) d x = x 2 2 + x

Подставим эти выражения в формулу:

∫ ( x + 1 ) ln ( 2 x ) d x = u ( x ) v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = x 2 2 + x ln 2 x — ∫ x 2 2 + x d x x = = x 2 2 + x ln ( 2 x ) — ∫ x 2 + 1 d x = x 2 2 + x ln 2 x — 1 2 ∫ x d x — ∫ d x = = x 2 2 + x ln ( 2 x ) — x 2 4 — x + C

Ответ: ∫ ( x + 1 ) ln ( 2 x ) d x = x 2 2 + x ln ( 2 x ) — x 2 4 — x + C .

Вычислите неопределенный интеграл ∫ x · a r c sin ( 2 x ) d x .

Решение

Решаем, какую часть взять за u ( x ) , а какую – за d ( v ( x ) ) . Согласно правилу, приведенному выше, в качестве первой функции нужно взять a r c sin ( 2 x ) , а d ( v ( x ) ) = x d x . Получим:

d ( u ( x ) ) = ( a r c sin ( 2 x ) ‘ d x = 2 x ‘ d x 1 — ( 2 x ) 2 = 2 d x 1 — ( 2 x ) 2 , v ( x ) = ∫ x d x = x 2 2

Подставляем значения в формулу:

∫ x · a r c sin ( 2 x ) d x = u ( x ) v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = x 2 2 a r c sin ( 2 x ) — ∫ x 2 2 — 2 d x 1 — ( 2 x ) 2 = x 2 2 a r c sin ( 2 x ) — ∫ x 2 d x 1 — 4 x 2

В итоге мы пришли к следующему равенству:

∫ x · a r c sin ( 2 x ) d x = x 2 2 a r c sin ( 2 x ) — ∫ x 2 d x 1 — 4 x 2

Теперь вычислим получившийся в итоге интеграл ∫ x 2 d x 1 — 4 x 2 :

∫ x 2 d x 1 — 4 x 2 = ∫ x 2 d x 4 1 4 — x 2 = 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 — x 2 = — 1 2 ∫ — x 2 d x 1 4 — x 2 = = — 1 2 ∫ 1 4 — x 2 — 1 4 1 4 — x 2 d x = — 1 2 1 4 — x 2 d x + 1 8 ∫ d x 1 4 — x 2 = = — 1 2 ∫ 1 4 — x 2 d x + 1 8 a r c sin ( 2 x )

Здесь можно применить метод интегрирования по частям и получить:

∫ x 2 d x 1 — 4 x 2 = — 1 2 ∫ 1 4 — x 2 d x + 1 8 a r c sin ( 2 x ) = = u ( x ) = 1 4 — x 2 , d ( v ( x ) ) = d x d ( u ( x ) ) = 1 4 — x 2 ‘ d x 2 1 4 — x 2 = — x d x 1 4 — x 2 , v ( x ) = ∫ d x = x = = — 1 2 u ( x ) v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) + 1 8 a r c sin ( 2 x ) = = — 1 2 x 1 4 — x 2 — ∫ — x 2 d x 1 4 — x 2 + 1 8 a r c sin ( 2 x ) = = — 1 2 x 1 4 — x 2 — 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 — x 2 + 1 8 a r c sin ( 2 x ) = = — 1 2 x 1 4 — x 2 — ∫ x 2 d x 1 — 4 x 2 + 1 8 a r c sin ( 2 x )

Теперь наше равенство выглядит так:

∫ x 2 d x 1 — 4 x 2 = — 1 2 x 1 4 — x 2 — ∫ x 2 d x 1 — 4 x 2 + 1 8 a r c sin ( 2 x )

Мы видим, что интеграл справа аналогичен тому, что получился слева. Переносим его в другую часть и получаем:

2 ∫ x 2 d x 1 — 4 x 2 = — 1 2 x 1 4 — x 2 + 1 8 a r c sin ( 2 x ) + C 1 ⇒ x 2 d x 1 — 4 x 2 = — 1 4 x 1 4 — x 2 + 1 16 a r c sin ( 2 x ) + C 2 x 2 d x 1 — 4 x 2 = — 1 8 x 1 4 — x 2 + 1 16 a r c sin ( 2 x ) + C 2

Вернемся к исходным переменным:

∫ x · a r c sin ( 2 x ) d x = x 2 2 a r c sin ( 2 x ) — ∫ x 2 d x 1 — 4 x 2 = = x 2 2 a r c sin ( 2 x ) — — 1 8 x 1 — 4 x 2 + 1 16 a r c sin ( 2 x ) + C 2 = = 1 2 x 2 — 1 8 a r c sin ( 2 x ) + 1 8 x 1 — 4 x 2 + C

Ответ: ∫ x · a r c sin ( 2 x ) d x = 1 2 x 2 — 1 8 a r c sin ( 2 x ) + 1 8 x 1 — 4 x 2 + C .

Если же у нас в задаче стоит интеграл вида ∫ e a · x · sin ( b x ) d x либо ∫ e a · x · cos ( b x ) d x , то в качестве u ( x ) может быть выбрана любая функция.

Вычислите неопределенный интеграл ∫ e x · sin ( 2 x ) d x .

Решение

∫ e x sin ( 2 x ) d x = u ( x ) = sin ( 2 x ) , d ( v ( x ) ) = e x d x d ( u ( x ) ) = 2 cos ( 2 x ) d x , v ( x ) = ∫ e x d x = e x = = u ( x ) v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = sin ( 2 x ) e x — ∫ e x · 2 cos 2 x d x = = sin ( 2 x ) e x — 2 ∫ e x cos ( 2 x ) d x = u ( x ) = cos ( 2 x ) , d ( v ( x ) ) = e x d x d ( u ( x ) ) = — 2 sin ( 2 x ) d x , v ( x ) = ∫ e x d x = e x = = sin ( 2 x ) e x — 2 cos ( 2 x ) e x — ∫ ( e x ( — 2 sin ( 2 x ) d x ) ) = = sin ( 2 x ) e x = 2 cos ( 2 x ) e x — 4 ∫ e x sin ( 2 x ) d x

В итоге у нас получится:

∫ e x sin ( 2 x ) d x = sin ( 2 x ) e x — 2 cos ( 2 x ) e x — 4 ∫ e x sin ( 2 x ) d x

Мы видим одинаковые интегралы слева и справа, значит, можем привести подобные слагаемые:

5 ∫ e x sin ( 2 x ) d x = sin ( 2 x ) e x — 2 cos ( 2 x ) e x ⇒ ∫ e x sin ( 2 x ) d x = 1 5 sin ( 2 x ) e x — 2 5 cos ( 2 x ) e x + C

Ответ: ∫ e x sin ( 2 x ) d x = 1 5 sin ( 2 x ) e x — 2 5 cos ( 2 x ) e x + C

Этот способ решения является стандартным, и справа нередко получается интеграл, который идентичен исходному.

Мы рассмотрели наиболее типовые задачи, в которых можно точно определить, какую часть выражения взять за d ( v ( x ) ) , а какую за u ( x ) . В остальных случаях это приходится определять самостоятельно.

Также советуем вам ознакомиться с материалом, посвященным основным методам интегрирования.

Интегрирование по частям

  1. Примеры
    ≡ x^2/(x+2)
    cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
    ≡ x+(x-1)^(2/3)

Применение метода интегрирования по частям

Типовые разложения по частям

Вид интегралаРазложения на части
∫ Pn(x)cos(ax)dx , ∫ Pn(x)sin(ax)dx , ∫ Pn(x)e ax dx , где Pn(x) — некоторый полином (многочлен) степени nU(x)=Pn(x) , dV(x)=cos(ax)dx
∫ ln(P(x))dxU=ln(P(x)) ; dV=dx
∫ arcsin(ax)dxU=arcsin(ax) ; dV=dx
U=ln(x) ; dV=dx/x

Интегралы ∫ e ax cos(bx)dx и ∫ e ax sin(bx)dx называются циклическими и вычисляются с использованием формулы интегрирования по частям два раза.

Пример №1 . Вычислить ∫ xe x dx .
Положим U=x , dV=e x dx . Тогда dU=dx , V=e x . Поэтому ∫ xe x dx=xe x — ∫ e x dx=xe x -e x +C .

Пример №2 . Вычислить ∫ xcos(x)dx .
Полагаем U=x , dV=cos(x)dx . Тогда dU=dx , V=sin(x) и ∫ xcos(x)dx=xsin(x) — ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

Пример №3 . ∫ (3x+4)cos(x)dx
Решение:


источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/integrirovanie-po-chastjam/

http://math.semestr.ru/math/integration-parts.php