Решение дифференциальных уравнений на java

Метод Эйлера для решения дифференциального уравнения

Дано дифференциальное уравнение dy / dx = f (x, y) с начальным условием y (x0) = y0. Найти его приближенное решение, используя метод Эйлера .

Метод Эйлера:
В математике и вычислительной науке метод Эйлера (также называется вперед
Метод Эйлера) — числовая процедура первого порядка для решения обыкновенного дифференциала
уравнения (ОДУ) с заданным начальным значением.
Рассмотрим дифференциальное уравнение dy / dx = f (x, y) с начальным условием y (x0) = y0
тогда последовательная аппроксимация этого уравнения может быть задана как:

where h = (x(n) – x(0)) / n
h indicates step size. Choosing smaller
values of h leads to more accurate results
and more computation time.

Пример :

/ * Программа CPP, чтобы найти приближение

обыкновенного дифференциального уравнения

используя метод Эйлера. * /

using namespace std;

// Рассмотрим дифференциальное уравнение
// dy / dx = (x + y + xy)

float func( float x, float y)

return (x + y + x * y);

// Функция для формулы Эйлера

void euler( float x0, float y, float h, float x)

Решение дифференциальных уравнений на java

Variant 19 (Sukach Maxim, BS17-03)

Найдем

В итоге, наше решение принимает вид:

Метод Эйлера дает возможность приближенно выразить функцию теоретически с любой наперед заданной точностью. Суть метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Метод Эйлера является методом 1-го порядка точности и называется методом ломаных.

Для вычисления используются следующие формулы:

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный метод Эйлера

Суть усовершенствованного метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Усовершенствованный метод Эйлера является методом 2-го порядка точности и называется модифицированным методом Эйлера.

Разница между данным методом и методом Эйлера минимальна и заключается в использовании следующих формул:

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты

Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

Ну и как обычно, формулы:

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Сравнение методов для заданной задачи

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 9] с шагом 0.1

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 3] с шагом 0.1

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 1] с шагом 0.1

Очевидно что, классический метод Рунге-Кутты справляется с задачей аппроксимации в случае данного уравнения намного лучше чем Метод Эйлера и Усовершенствованный метод Эйлера.

График глобальной средней ошибки

Глобальная ошибка в зависимости от размера шага H на промежутке от 0.01 до 0.91 для x0 = 1, xf = 9

Дифференциальные уравнения в Java

Я пытаюсь создать простую программу моделирования модели SIR-epidemics на java.

в принципе, сэр определяется системой трех дифференциальных уравнений:
S'(t) = — l(t) * S (t)
I'(t) = l(t) * S(t) — g(t) * I (t)
R'(t) = g(t) * I (t)

s-восприимчивые люди, I — инфицированные люди, R-выздоровевшие люди.

l(t) = [c * x * I(t)] / N (T)

c-количество контактов, x-зараженность (вероятность заболеть после контакта с больным человеком), N (t) — общая численность населения (которая является постоянной).

Как я могу решать такие дифференциальные уравнения в Java? Я не думаю, что знаю какой-либо полезный способ сделать это, поэтому моя реализация производит мусор.

Я был бы очень признателен за любую помощь, большое спасибо заранее!

1 ответов

дифференциальные уравнения временных рядов можно смоделировать численно, взяв DT = небольшое число и используя одно из нескольких методы численного интегрирования например метод Эйлера или Рунге-Кутта. Метод Эйлера может быть примитивным, но он хорошо работает для некоторых уравнений, и он достаточно прост, чтобы вы могли попробовать. например:

I'(t) = l(t) * S(t) — g(t) * I (t)

трудная часть выясняет, сколько шагов использовать. Вы должны прочитать одну из статей, на которую я ссылался. Более сложные решатели дифференциальных уравнений используют переменные размеры шага, которые адаптируются к точности / стабильности для каждого шага.

Я бы рекомендовал использовать численное программное обеспечение, такое как R или Mathematica или MATLAB или Octave, поскольку они включают в себя решатели ODE, и вам не нужно будет идти на все проблемы самостоятельно. Но если вам нужно сделать это как часть большего приложения Java, по крайней мере, попробовать его сначала с математическим программным обеспечением, а затем понять, какие размеры шагов и какие решатели работают.