Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным
К однородным уравнениям первого порядка приводится уравнение вида:
(1) ,
где f – функция.
Как определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному
Для того, чтобы определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному, нужно выделить две линейные формы:
a 1 x + b 1 y + c 1 , a 2 x + b 2 y + c 2 ,
и выполнить замену:
a 1 x + b 1 y + c 1 → t ( a 1 x + b 1 y + c 1 ) ;
a 2 x + b 2 y + c 2 → t ( a 2 x + b 2 y + c 2 ) .
Если, после преобразований, t сократится, то это уравнение приводится к однородному.
Пример
Определить, приводится ли данное дифференциальное уравнение к однородному:
.
Выделяем две линейные формы:
x + 2 y + 1 и x + 4 y + 3 .
Первую заменим на t ( x + 2 y + 1) , вторую – на t ( x + 4 y + 3) :
.
По свойству логарифма:
.
t сокращается:
.
Следовательно, это уравнение приводится к однородному.
Решение дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению
Решаем систему уравнений:
(2)
Здесь возможны три случая.
1) Система (2) имеет бесконечное множество решений (прямые a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 совпадают). В этом случае
;
.
Тогда
.
Это простейший вид уравнения с разделяющимися переменными:
.
Его решение:
y = Ax + C .
2) Система (2) не имеет решений (прямые a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 параллельны). В этом случае a 1 b 2 = a 2 b 1 .
Применим это соотношение.
.
Это означает, что a 2 x + b 2 y + c 2 является функцией от a 1 x + b 1 y + c 1 . Поэтому является функцией от a 1 x + b 1 y + c 1 . То есть f является функцией от a 1 x + b 1 y + c 1 . Обозначим такую функциею как g . Тогда исходное уравнение (1) имеет вид:
.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
z = a 1 x + b 1 y + c 1 .
3) Система (2) имеет одно решение (прямые a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 пересекаются в одной точке). Обозначим это решение как x 0 , y 0 . Тогда
(3)
Делаем подстановку x = t + x 0 , y = u + y 0 , где u – это функция от t . Тогда
dx = dt, dy = du ;
.
Или
.
Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно решается подстановкой u = z t , где z – это функция от t .
Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению первого порядка
Решить уравнение
(П.1) .
1) Проверим, приводится ли это дифференциальное уравнение к однородному. Для этого выделяем две линейные формы:
2 x – y + 4 и x – 2 y + 5 .
Первую заменим на t (2 x – y + 4) , вторую – на t ( x – 2 y + 5) :
.
Делим на t :
.
t сократилось, поэтому это уравнение приводится к однородному.
2) Решаем систему
Из первого уравнения y = 2 x + 4 . Подставляем во второе:
x – 2(2 x + 4) + 5 = 0 ;
x – 4 x – 8 + 5 = 0 ;
– 3 x = 3 ;
x = – 1 ;
y = 2 x + 4 = 2·(–1) + 4 = 2 .
Итак, мы нашли решение системы:
x 0 = –1 , y 0 = 2 .
3) Делаем подстановку:
x = t + x 0 = t – 1 ;
y = u + y 0 = u + 2 ,
где u – функция от t . dx = dt, dy = du , ;
;
.
Подставляем в (П.1):
(П.2) .
Это – однородное уравнение.
4) Решаем однородное уравнение (П.2). Делаем подстановку:
u = z · t , где z – функция от t .
u′ = ( z · t ) ′ = z′t + z t′ = z′t + z .
Подставляем в (П.2):
.
Сокращаем на t и выполняем преобразования:
;
;
.
Разделяем переменные – умножаем на dt и делим на t ( z 2 – 1) . При z 2 ≠ 1 получаем:
.
Интегрируем:
(П.3) .
Вычисляем интегралы:
;
.
Подставляем в (П.3):
.
Умножим на 2 и потенцируем:
;
.
Заменим постоянную e 2 C → C . Раскроем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C . Умножим на ( z + 1) 2 и применим формулу: z 2 – 1 = ( z – 1)( z + 1) .
.
Сократим на ( z – 1) :
.
Возвращаемся к переменным u и t , используя формулу: u = z t . Для этого умножим на t :
;
;
.
Возвращаемся к переменным x и y , используя формулы: t = x + 1 , u = y – 2 .
;
(П.4) .
Теперь рассмотрим случай z 2 = 1 или z = ±1 .
;
.
Для верхнего знака «+» имеем:
;
.
Это решение входит в общий интеграл (П.4) при значении постоянной C = 0 .
Для нижнего знака «–»:
;
.
Эта зависимость также является решением исходного дифференциального уравнения, но не входит в общий интеграл (П.4). Поэтому к общему интегралу добавим решение
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-07-2012 Изменено: 22-06-2015
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Решение дифференциальных уравнений приводящий к однородным
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
 |