Решение дифференциальных уравнений с комплексными числами

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Дифференциальные уравнения
• Высшая математика.
• Комплексные числа

Комплексные числа

Действия над комплексными числами.

Комплексные числа — числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb$ а
$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чисел
обозначается $\mathbb.$

Действия над комплексными числами.

Сложение комплексных чисел:

Умножение двух комплексных чисел:

Умножение комплексного числа на действительное:

$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$

Деление комплексных чисел:

Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$

Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$

Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$

Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.

Примеры:

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:

1.421. $(2+3i)(3-i).$

Решение:

Ответ: $9+7i.$

1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$

Решение.

Ответ: $24+22i.$

Решение.

Ответ: $\frac<1><2>-\frac<3><2>i.$

Решение.

Ответ: $\frac<14><5>i.$

Найти действительные решения следующего уравнения:

1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$

Решение.

Ответ: $x=2; y=3.$

Домашнее задание.

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:

1.422. $(1+2i)^2.$

Ответ: $-3+4i.$

1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$

1.427. $\left(\frac<1-i><1+i>\right)^3.$

Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Множество действительных чисел можно рассматривать как подмножество комплексных чисел, у которых $Im z = 0.$

Можно также изображать комплексное число в виде радиус-вектора $\$ и определять его, задавая его длину $r$ и угол $\varphi$ между осью $Ox$ и вектором.

Длина этого вектора называется модулем комплексного числа $$|z|=r=\sqrt\geq 0,$$ а угол $\varphi$ называется аргументом комплексного числа и обозначается $Arg z.$ Аргумент определяется с точностью до слагаемого $2\pi k\,\,\,\,\, (k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, . )$ и для положительных значений отсчитывается от оси $Ox$ до вектора против часовой стрелки, а для отрицательных значений – по часовой стрелке.

Значение аргумента, который принадлежит интервалу $(-\pi, \pi],$ называется главным значением аргумента и определяется $arg z.$ Главное значение аргументу числа $x+iy$ можно вычислять по формуле $\varphi= arg z=arctg\left(\frac\right)+k\pi,$ где $k=0,$ если $z$ находится в первой или четвертой четвертях, $k=1,$ если $z$ находится во второй четверти, $k=-1,$ если $z$ находится в третей четверти. Если $x=Rez=0,$ то $\varphi=\pi/2,$ когда $y=Imz>0$ и $\varphi=-\pi/2,$ когда $y=Imz плоскость называется комплексной плоскостью C (рисунок 1), ось $Ox$ называется действительной осью, а ось $Oy$ – мнимой осью. Таким образом, действительному числу $z=x+0i=x$ отвечает точка на действительной оси, а мнимому числу $z=0+iy=y -$ точка на мнимой оси.

Формулы Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Формулы Эйлера:

Формула Муавра:

Если $z=re^, $ то $$z^n=r^ne^,$$ или, в тригонометричской форме:

$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$

Пусть $a=re^, \,\, a\neq 0,-$ фиксированное комплексное число. Тогда уравнение $z^n=a,\,\,\, n\in N,$ имеет в точности $n$ различных решений $z_0, z_1, . z_$ причем эти решения даются формулой $$z_k=\sqrt[n]e^+\frac<2\pi>k\right)>=\sqrt[n]\left(\cos\frac<\varphi+2\pi k>+i\sin\frac<\varphi+2\pi k>\right),$$ $$k=0, 1, . , n-1.$$ (здесь $\sqrt r$ действительное положительное число) Числа $z_k, \,\, k=0, 1, . n-1,$ называются корнями $n-$й степени из комплексного числа $a$ и обозначаются символом $\sqrt[n].$

Примеры:

1.483. Доказать формулу Эйлера $\cos\varphi=\frac+e^<-i\varphi>><2>.$

Решение.

Известно, что $e^=\cos<\varphi>+i\sin\varphi.$ Соответственно, $e^<-i\varphi>=\cos<(-\varphi)>+i\sin(-\varphi)=\cos\varphi-i\sin\varphi.$

Отсюда находим $e^+e^<-i\varphi>=\cos\varphi+i\sin\varphi+\cos\varphi-i\sin\varphi=2\cos\varphi.$

Cледовательно, $\cos\varphi=\frac+e^<-i\varphi>><2>.$ Что и требовалось доказать.

Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:

1.485. $(1+i)^<10>.$

Решение.

Запишем число $z=1+i$ в показательной форме:

Поскольку число $z$ находится в первой четверти, то

Таким образом, мы можем записать число $z=1+i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$

Теперь, используя формулу Муавра можно найти $z^<10>:$

Ответ: $(1+i)^<10>=32i.$

1.491. Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ функцию$\cos 3\varphi.$

Решение.

$$+\left.\cos^3(-\varphi)-3i\cos^2(-\varphi)\sin(-\varphi)+3i^2\cos(-\varphi)\sin^2(-\varphi)-i^3\sin^3(-\varphi)\right)=$$ $$=\frac<1><2>\left(\cos^3<\varphi>+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)\right.-i\sin^3\varphi+$$ $$+\left.\cos^3\varphi+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)-i\sin^3\varphi\right)=$$ $$=\cos^3\varphi+3i\sin\varphi-3i\sin^3\varphi-3\cos\varphi+3\cos^3\varphi-i\sin^3\varphi=$$ $$=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$$

Ответ: $4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$

1.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.

Решение.

Запишем число 1 в показательной форме:

$1=1e^<0i>.$ То есть $r=1, \varphi=0.$

Далее, пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:

Вычисляем корень третьей степени из единицы:

Вычисляем корень четвертой степени из единицы:

Ответ: Корни второй степени: $z_0=1;\,\, z_1 =-1.$ Корни третьей сепени: $z_0=1;\,\, z_1=-\frac<1><2>+i\frac<\sqrt 3><2>;\,\, z_2=-\frac<1><2>-i\frac<\sqrt 3><2>.$ Корни четвертой степени: $z_0=1;\,\, z_1=i;\,\, z_2=-1;\,\, z_3=-i.$

Найти все значения корней:

Решение.

Запишем число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме:

Поскольку число $z$ находится во второй четверти, то

Таким образом, мы можем записать число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме: $z=2 e^<3>>.$

Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:

Ответ: $\pm\frac<\sqrt 2><2>(1+i\sqrt 3)$

1.501. $\sqrt [5]<-1-i>.$

Решение.

Запишем число $z=-1-i 3$ в показательной форме:

Поскольку число $z$ находится в третьей четверти, то

Таким образом, мы можем записать число $z=-1-i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$

Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:

1.483. Доказать формулу Эйлера $\sin\varphi=\frac-e^<-i\varphi>><2i>.$

Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:

Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ следующие функции:

Решение дифференциальных уравнений с комплексными числами

. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Выражения, уравнения и системы уравнений
с комплексными числами

Сегодня на занятии мы отработаем типовые действия с комплексными числами, а также освоим технику решения выражений, уравнений и систем уравнений, которые эти числа содержат. Данный практикум является продолжением урока Комплексные числа для чайников, и поэтому если вы неважно ориентируетесь в теме, то, пожалуйста, пройдите по указанной выше ссылке. Ну а более подготовленным читателям предлагаю сразу же разогреться:

Упростить выражение , если . Представить результат в тригонометрической форме и изобразить его на комплексной плоскости.

Решение: итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное число в тригонометрическую форму. Плюс чертёж.

Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку.

1) Сначала упростим числитель. Подставим в него значение , раскроем скобки и поправим причёску:

…Да, такой вот Квазимодо от комплексных чисел получился…

Напоминаю, что в ходе преобразований используются совершенно бесхитростные вещи – правило умножения многочленов и уже ставшее банальным равенство . Главное, быть внимательным и не запутаться в знаках.

2) Теперь на очереди знаменатель. Если , то:

Заметьте, в какой непривычной интерпретации использована формула квадрата суммы . Как вариант, здесь можно выполнить перестановку под формулу . Результаты, естественно, совпадут.

3) И, наконец, всё выражение. Если , то:

Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. При этом в целях применения формулы разности квадратов следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-е место:

А сейчас ключевое правило:

НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ТОРОПИМСЯ! Лучше перестраховаться и прописать лишний шаг.
В выражениях, уравнениях и системах с комплексными числами самонадеянные устные вычисления чреваты, как никогда!

На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак.

Примечание: строго говоря, здесь произошло деление комплексного числа на комплексное число 50 (вспоминаем, что ). Об этом нюансе я умалчивал до сих пор и о нём мы ещё поговорим чуть позже.

Обозначим наше достижение буквой

Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас:

Вычислим модуль комплексного числа:

Если выполнять чертёж в масштабе 1 ед. = 1 см (2 тетрадные клетки), то полученное значение легко проверить с помощью обычной линейки.

Найдём аргумент. Так как число расположено во 2-й координатной четверти , то:

Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа.

Таким образом: – искомое число в тригонометрической форме.

Выполним проверку:
, в чём и требовалось убедиться.

Незнакомые значения синуса и косинуса удобно находить по тригонометрической таблице.

Ответ:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Упростить выражение , где . Изобразить полученное число на комплексной плоскости и записать его в показательной форме.

Постарайтесь не пропускать учебные примеры. Кажутся-то они, может быть, и простыми, но без тренировки «сесть в лужу» не просто легко, а очень легко. Поэтому «набиваем руку».

Краткое решение и ответ в конце урока.

Нередко задача допускает не единственный путь решения:

Решение: прежде всего, обратим внимание на оригинальное условие – одно число представлено в алгебраической, а другое – в тригонометрической форме, да ещё и с градусами. Давайте сразу перепишем его в более привычном виде: .

В какой форме проводить вычисления? Выражение , очевидно, предполагает первоочередное умножение и дальнейшее возведение в 10-ю степень по формуле Муавра, которая сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Таким образом, представляется более логичным преобразовать первое число. Найдём его модуль и аргумент:

Используем правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:
если , то

Далее применяем формулу Муавра , которая является следствием указанного выше правила:

Делая дробь правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота ( рад.):

Второй способ решения состоит в том, чтобы перевести 2-е число в алгебраическую форму , выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра.

Как видите, одно «лишнее» действие. Желающие могут довести решение до конца и убедиться, что результаты совпадают.

В условии ничего не сказано о форме итогового комплексного числа, поэтому:

Ответ:

Но «для красоты» либо по требованию результат нетрудно представить и в алгебраической форме:

Здесь нужно вспомнить действия со степенями, хотя одного полезного правила в методичке нет, вот оно: .

И ещё одно важное замечание: пример можно решить в двух стилях. Первый вариант – работать с двумя числами и мириться с дробями. Второй вариант – представить каждое число в виде частного двух чисел: и избавиться от четырёхэтажности. С формальной точки зрения без разницы, как решать, но содержательное отличие есть! Пожалуйста, хорошо осмыслите:
– это комплексное число;
– это частное двух комплексных чисел ( и ), однако в зависимости от контекста можно сказать и так: число , представленное в виде частного двух комплексных чисел.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Выражения – хорошо, а уравнения – лучше:

Уравнения с комплексными коэффициентами

Чем они отличаются от «обычных» уравнений? Коэффициентами =)

В свете вышеприведённого замечания начнём с этого примера:

И незамедлительная преамбула по «горячим следам»: изначально правая часть уравнения позиционируется, как частное двух комплексных чисел ( и 13), и поэтому будет нехорошим тоном переписать условие с числом (хотя это и не повлечёт ошибки). Более явственно данное различие, кстати, просматривается в дроби – если, условно говоря, , то это значение в первую очередь понимается как «полноценный» комплексный корень уравнения, а не как делитель числа , и тем более – не как часть числа !

Решение, в принципе, тоже можно оформить пошагово, но в данном случае овчинка выделки не стОит. Первоначальная задача состоит в том, чтобы упростить всё, что не содержит неизвестной «зет», в результате чего уравнение сведётся к виду :

Уверенно упрощаем среднюю дробь:

Результат переносим в правую часть и находим разность:

Примечание: и вновь обращаю ваше внимание на содержательный момент – здесь мы не вычли из числа число, а подвели дроби к общему знаменателю! Следует отметить, что уже в ХОДЕ решения не возбраняется работать и с числами: , правда, в рассматриваемом примере такой стиль скорее вреден, чем полезен =)

По правилу пропорции выражаем «зет»:

Теперь можно снова разделить и умножить на сопряжённое выражение, но подозрительно похожие числа числителя и знаменателя подсказывают следующий ход:

Ответ:

В целях проверки подставим полученное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:

– получена правая часть исходного уравнения, таким образом, корень найден верно.

…Сейчас-сейчас… подберу для вас что-нибудь поинтереснее… держите:

Данное уравнение сводится к виду , а значит, является линейным. Намёк, думаю, понятен – дерзайте!

Конечно же… как можно без него прожить:

Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

На уроке Комплексные числа для чайников мы узнали, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь сопряжённые комплексные корни, после чего возникает закономерный вопрос: а почему, собственно, сами коэффициенты не могут быть комплексными? Сформулирую общий случай:

Квадратное уравнение с произвольными комплексными коэффициентами (1 или 2 из которых либо все три могут быть, в частности, и действительными) имеет два и только два комплексных корня (возможно один из которых либо оба действительны). При этом корни (как действительные, так и с ненулевой мнимой частью) могут совпадать (быть кратными).

Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами решается по такой же схеме, что и «школьное» уравнение, с некоторыми отличиями в технике вычислений:

Найти корни квадратного уравнения

Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ), однако, в этом нет особой надобности.

Для удобства выпишем коэффициенты:

Не теряем «минус» у свободного члена! …Может быть не всем понятно – перепишу уравнение в стандартном виде :

А вот и главное препятствие:

Применение общей формулы извлечения корня (см. последний параграф статьи Комплексные числа для чайников) осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами). Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде:

Возведём обе части в квадрат:

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему:

Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение). Предполагая, что автор задачи не изверг, выдвигаем гипотезу, что и – целые числа. Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары:

Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом:

Не помешает промежуточная проверка:

что и требовалось проверить.

В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»:

Находим корни, не забывая, кстати, что :

Ответ:

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению :

Таким образом, решение найдено правильно.

По мотивам только что разобранной задачи:

Найти корни уравнения

Следует отметить, что квадратный корень из чисто комплексного числа прекрасно извлекается и с помощью общей формулы , где , поэтому в образце приведены оба способа. Второе полезное замечание касается того, что предварительное извлечение корня из константы ничуть не упрощает решение.

А теперь можно расслабиться – в этом примере вы отделаетесь лёгким испугом 🙂

Решить уравнение и выполнить проверку

Решения и ответы в конце урока.

Заключительный параграф статьи посвящён

системе уравнений с комплексными числами

Расслабились и… не напрягаемся =) Рассмотрим простейший случай – систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Решить систему уравнений. Ответ представить в алгебраической и показательной формах, изобразить корни на чертеже.

Решение: уже само условие подсказывает, что система имеет единственное решение, то есть, нам нужно найти два числа , которые удовлетворяют каждому уравнению системы.

Систему реально решить «детским» способом (выразить одну переменную через другую), однако гораздо удобнее использовать формулы Крамера. Вычислим главный определитель системы:

, значит, система имеет единственное решение.

Повторюсь, что лучше не торопиться и прописывать шаги максимально подробно:

Домножаем числитель и знаменатель на мнимую единицу и получаем 1-й корень:

Перед тем, как продолжать дальше, целесообразно проверить решение. Подставим найденные значения в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части, ч.т.п.

Представим корни в показательной форме. Для этого нужно найти их модули и аргументы:

1) – арктангенс «двойки» вычисляется «плохо», поэтому так и оставляем:

Ответ:

Решить систему уравнений

Найти произведение корней и представить его в тригонометрической форме.

Краткое решение совсем близко.

И в заключение ответим на экзистенциальный вопрос: для чего нужны комплексные числа? Комплексные числа нужны для расширения сознания выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерно-технических расчетах на практике.

На этом курс Опытного пользователя комплексных чисел завершён – сертификат вам на стену и новых достижений!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: если , то:

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю выражение:

Изобразим полученное число на чертеже:

Представим ответ в показательной форме. Найдем модуль и аргумент данного числа:

Поскольку число расположено в 3-й четверти, то:

Таким образом:
Ответ:

Пример 4: Решение:

Пример 6: Решение:

Умножим обе части уравнения на :

Ответ:

Пример 8: Решение:
Первый способ: корни уравнения ищем в виде:

Возведём обе части в квадрат:

Комплексные числа равны, если равны их действительные и их мнимые части:

Из 1-го уравнения следует, что:
1) , но это не удовлетворяет 2-му уравнению (равенство выполняется только в том случае, если и одного знака);
2) – подставим во 2-е уравнение:

Таким образом: либо
Ответ:

Второй способ: используем формулу . В данном случае :

Найдём модуль и аргумент комплексного числа:
;
очевидно, что .
Таким образом:

Ответ:

Пример 9: Решение: . Вычислим дискриминант:

Таким образом:

Ответ:

Проверка: подставим в исходное уравнение :

верное равенство;

верное равенство.
Что и требовалось проверить.

Пример 11: Решение: систему решим методом Крамера:

Таким образом, система имеет единственное решение.
Найдём произведение корней:

Представим результат в тригонометрической форме:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5