Решение дифференциальных уравнений с начальными условиями вольфрам

WolframAlpha по-русски

Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Wolfram|Alpha

solve <дифференциальное уравнение, начальные условия>(метод интегрирования) [шаг интегрирования] [отрезок интегрирования]

Обязательные параметры — само дифференциальное уравнение, начальные условия и численный метод интегрирования.

Не забудьте, что количество начальных условий должно совпадать с порядком уравнения. Иначе, Wolfram Alpha автоматически подставит в запрос свои начальные или краевые условия.

Рекомендуется указывать явно отрезок интегрирования. Без этого Wolfram Alpha автоматически выполнит 10 шагов интегрирования по умолчанию. Можно явно указать шаг интегрирования. В противном случае, Wolfram Alpha установит шаг интегрирования по умолчанию, как в следующем примере:

Когда дифференциальное уравнение, которое вы решаете численным методом, допускает также аналитическое решение, тогда по запросу solve система Wolfram Alpha выводит точную и приближенную интегральные кривые уравнения, соответствующие заданным начальным условиям, а также график погрешностей, таблицу значений искомой функции, таблицу погрешностей, и, конечно, само аналитическое решение:

Кроме того, здесь Wolfram Alpha выводит таблицу для сравнения погрешностей всех численных методов, которые использует система (в крайней точке интервала интегрирования дифференциального уравнения):

В рассмотренном примере шаг интегрирования, равный 0.2, был выбран автоматически. Выше было сказано, что можно явно указать нужный шаг интегрирования. Причем, нужно выбирать его так, чтобы на заданном отрезке умещалось не менее, чем 10 шагов интегрирования. Уменьшая шаг интегрирования, можно получать численные решения с желаемой точностью точностью:

Численные решения дифференциальных уравнений, рассмотренные выше, были получены простейшим методом — методом Эйлера (Euler method). Как мы видели выше, Wolfram Alpha реализует и другие численные методы интегрирования дифференциальных уравнений. Посмотрите примеры (по ссылке):

• Euler method — метод Эйлера;
• midpoint method — метод средних точек, модифицированный метод Эйлера;
• Heun’s method (метод Хойна, вариант модифицированного метода Эйлера)
• third‐order Runge‐Kutta method (метод Рунге-Кутты третьего порядка)
• fourth‐order Runge‐Kutta method (метод Рунге-Кутты четвертого порядка)
• Runge‐Kutta‐Fehlberg method (метод Рунге-Кутты-Фелберга, RKF method )
• Bogacki‐Shampine method
• Dormand‐Prince method (DOPRI method)
• backward Euler method
• implicit midpoint method

С помощью Wolfram Alpha, можно решать не только обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка (ОДУ-1), но и обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Например, вот так Wolfram Alpha решает обыкновенное дифференциальное уравнение 3-го порядка:

Таким образом, численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в системе Wolfram Alpha является достаточно простой стандартной процедурой, соблюдение которой гарантирует правильный результат.

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Дифференциальные уравнения

Язык Wolfram позволяет решать обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и уравнения с запаздыванием.

Функция DSolveValue возвращает решение дифференциального уравнения в общем виде:

Out[1]=

Используем символ /. для замены константы:

Out[2]=

Или добавим начальные условия для получения частного решения:

Out[3]=

Функция NDSolveValue позволяет находить численные решения:

Out[1]=

Объект InterpolatingFunction можно визуализировать без дополнительной обработки:

Out[2]=

Для решения систем дифференциальных уравнений, необходимо использовать списки для задания уравнений и условий:

(Обратите внимание, что перенос уравнений на новую строку не влияет на результат.)

Out[1]=

Построим решения системы в виде параметрического графика: