Решение дифференциальных уравнений в mathcad рунге кутта

методами Эйлера и Рунге-Кутта в системе MathCAD

Построение решений обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение дифференциального уравнения 1-го порядка

, .

Простой метод Эйлера реализуется применением на каждом шаге вычислений следующих итерационных выражений:

,

.

Рассмотрим реализацию метода в MathCADна примере уравнения:

, , .

Аналитическое решение известно и имеет вид:

.

Краткие сведения о составлении программ в MathCAD

знак присваивает функции или переменной (они помещаются слева) выражение или число, которые помещаются справа. Набирается клавишей двоеточие «:» или из меню по цепочке View→ Toolbars→ Calculator.

знак обозначает последовательное изменение переменной через единицу от значения слева до значения справа. Набирается клавишей точка с запятой «;».

матрица вставляется командой меню Insert→ Matrixили клавишами Ctrl-M. Нижний индекс добавляется клавишей квадратная скобка «[».

Графиквставляется командой Insert→ Graph→ X-YPlotили клавишей «@».

Для удобства в работе рекомендуется отключить автоматическое вычисление, убрав галочку с опции меню Tools→ Calculate→ AutomaticCalculation. Тогда расчет не будет выполняться в ходе набора программы, а запуститься только после нажатия кнопки Calculate, расположенной на панели инструментов (в виде значка ).

Ниже приведена расчетная программа. Повторите её. Получите графики с тем же форматом линий. Формат линий графика можно изменить, открыв с помощью ПК мыши контекстное меню и выбрав Format… → Traces.

Программа для простого метода Эйлера

Следующая программа реализует модифицированный метод Эйлера. Отличие от простого метода заключается в итерационных уравнениях.

Программа для модифицированного метода Эйлера

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка используется в тех случаях, когда необходима высокая точность расчетов, недостигаемая методами Эйлера.

Программа для метода Рунге-Кутта

Решение дифференциальных уравнений 2-го порядкаметодом Рунге-Кутта.

Подход к реализации метода основан на использовании дополнительной функции . Это позволяет перейти к системе уравнений, содержащих только первые производные. Итак, пусть требуется найти решение задачи:

, , .

Преобразуем задачу к системе из двух уравнений:

, ,

, .

Тогда получим следующее обобщение итерационной схемы:

. ,

, ,

, ,

, ,

, .

Отметим, что значения на каждом следующем шаге рассчитываются по значениям, полученным на предыдущем. Кроме того, использованы прежние правила «взвешивания» коэффициентов при усреднении.

Пример математической модели с дифференциальным уравнением 2-го порядка

Рассмотрим уравнение колебательного процесса при наличии внешнего периодического воздействия:

,

где t– время, и искомой является зависимость ;

– круговая частота собственных колебаний;

– круговая частота внешнего воздействия с амплитудой «a».

Если , то общее решение уравнения имеет вид (проверьте подстановкой):

,

где Aи – произвольные постоянные. Частное решение выбирается заданием значений этих постоянных. Второе слагаемое решения показывает, что с течением времени амплитуда колебаний неограниченно возрастает. Это явление называется резонансом.

Когда , общее решение имеет вид:

.

В этом случае колебательный процесс слагается из собственных колебаний с частотой и вынужденных с частотой .

Моделирование резонансных колебаний

Методом Рунге-Кутта найдем решение задачи:

, , , .

Согласно изложенной выше теории, аналитическое решение уравнения имеет вид:

.

Ниже приведен алгоритм расчета и его реализация в MathCAD.

Программа расчета резонансных колебаний методом Рунге-Кутта

Задание для самостоятельного выполнения

Найти решение уравнения вынужденных колебаний:

, , , .

Решение представить в виде графика. Для сравнения привести и график точного решения (также как это было сделано для резонансных колебаний).

28. Тема 7. Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad. Краткие теоретические сведения

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система Mathcad имеет ряд встроенных функций:

Rkfixed – функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;

Odesolve – функция, решающая ОДУ блочным методом.

Ниже приведено описание стандартной функции Rkfixed с указанием параметров функции.

Y – вектор начальных условий из K элементов (k – количество уравнений в системе);

X1 и X2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

P – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D – вектор, состоящий из K-Элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

Результатом работы функции является матрица из p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – сами решения.

На рисунке 2.7.1 приведены конкретные примеры решения различных дифференциальных уравнений и систем ОДУ в MathCAD.

При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y1, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции Rkfixed Указывается имя вектора Y, границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 2), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D. В результате получается матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец – как функция.

При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор V, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции Rkfixed Указывается имя вектора V, и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 5), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D. В результате получается матрица S, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах – значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами – как функциями.

На рисунке 2.7.2 приведен пример решения дифференциального уравнения второго порядка с использованием функции Rkfixed. Необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка с заданными начальными условиями вида:

Рисунок 2.7.2 – Пример решения дифференциальных уравнений второго порядка с помощью Rkfixed

Для решения уравнения с помощью функции Rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. Вид этих уравнений приведен ниже.

Документ формируется точно так же, как и при решении системы ОДУ.

На рисунке 2.7.2 показана возможность вычисления вектора второй производной найденной функции – вектора А, построены графики исходной функции, функций первой и второй производных.

Решение дифференциальных уравнений в mathcad рунге кутта

Электронный курс по MathCAD

5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем.(Задача Коши и граничные задачи).

Решение одиночного дифференциального уравнения.

Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и сявляется его заключительным ключевым словом.

Odesolve(x,b,[step]) — Возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given.
x — переменная интегрирования, действительное число
b — конечная точка отрезка интегрирования
step — величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)

Замечания:

1. Уравнение должно быть линейным относительно старшей производной.
2. Число заданных начальных или граничных условий внутри блока должно быть равно порядку уравнения.
3. При записи уравнения для обозначения производных функции используйте специальные кнопки с панели Math или ‘ (штрих) — [Ctrl+F7], для знака равенства = [Ctrl+=] (в том числе и для дополнительных условий).
4. Конечная точка должна быть больше начальной.
5. Не допускаются начальные и граничные условия смешанного типа (f ‘(a)+f(a)=5).
6. Искомая функция в блоке дложна быть обязательно с аргументом ( f(x))

Численное решение задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем.

Для численного решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем могут быть использованы функции:

rkfixed(y,x1,x2,n,F) — возвращает матрицу решений системы уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка при фиксированном шаге по x

rkadapt(y,x1,x2,n,F) — ищет решение с переменным шагом ( там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения решения шаг функции уменьшается). Возвращается решение с равным шагом. Функция работает быстрее, чем rkfixed

Bulstoer(y,x1,x2,n,F) — дает более точное решение (методом Bulirsch-Stoer)

Агрумкнты вышеуказанных функций:
y — вектор начальных условий
x1,x2 — границы интервала для поиска решения
n — количество точек на интервале
F(x,y) — вектор-функция первых производных

При решении дифференциальных уравнений порядка выше первого (или систем уравнений, выше первого порядка) исходное уравнение (систему) необходимо преобразовать к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

В результате работы укзанных функций рассчитывается матрица, количество стобцов которой равно порядку уравнения +1(или сумме порядков уравнений в системе +1), а количество строк равно параметру n. Первый столбец содержит значения независимой переменной, второй — значение функции, третий — для диф. уравнений 2-го порядка — значение производной искомой функции (если решается система двух уравнений 1-го порядка, то третий столбец будет содержать значения второй функции). Для выделения решений (функций или их производных) можно воспользоваться стандартным оператором вывода столбцов матрицы M &lt &gt

Если матрица правых частей дифференциальных уравнений почти вырождена, то такие системы называются жесткими. В этом случае решения, возвращаемые функцией rkfixed будет неустойчивым и для решения таких систем необходимо применять функции Stiffb , Stiffr

Stiffb(y,x1,x2,n,F,J) — ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Bulirsch-Stoer

Stiffr(y,x1,x2,n,F,J) — ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Rosenbrock

Первые пять аргументов такие же,как и при решении хорошо обусловленных систем дифференциальных уравнений . Дополнительный аргумент — матрица J размером nx(n+1), первый столбец которой содержит частные производные dF/dx, остальные столбцы и строки представляют собой матрицу Якоби dF/dy

Пример решения жесткой системы дифференциальных уравнений.

Для отыскания решения системы диф. уравнений только в конечной точке используются функции bulstoer,rkadapt, stiffb, stiffr (начинаются с прописной буквы).

Набор парамтров для этих функций :
bulstoer(y,x1,x2,acc,F,kmax,save)
rkadapt(y,x1,x2,acc,F,kmax,save)
stiffb(y,x1,x2,acc,F,J,kmax,save)
stiffr(y,x1,x2,acc,F,J,kmax,save)

Первые три параметра и пятый (F) этих функций те же, что идля функции Rkadapt. Дополнительные параметры:
acc — параметр, контролирующий точность решения (реком. асс=0.001)
kmax — максимальное число промежуточных точек в которых ищется решение
save — минимально допустимый интервал между точками, в которых ищется решение

Решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если для дифференциального уравнения n-го порядка k граничных условий заданы в начальной точке х1, а (n-k) граничных условий — в конечной точке х2, то такая задача называется краевой. В MathCAD реализованы две функции, позволяющие численно найти недостающие условия в точках х1 и х2.

Двухточечная краевая задача

Задача решается в два этапа. Сначала с помощью функции sbval находятся недостающие начальные значения, а затем применяется одна из выше описанных функций для решения стандартной задачи Коши на отрезке.

sbval(v,x1,x2,F,load,score) — ищет недостающие начальные условия в точке х1
v — вектор началных приближений для искомых начальных значений в точке х1,
х1,х2 — граничные точки интервала
F(x,y) — вектор-столбец из n элементов, содержит правые части дифференциальных уравнений
load(x1,v) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х1; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения.
score(x2,y) — вектор-столбец размерности вектора v, содержащий разность между начальным условием в точке х2 и значеием искомого решения в этой точке.

Краевая задача с условиями внутри интервала.

На первом этапе используется функция

balfit(V1,V2,x1,x2,xf,F,load1,load2,score) — ищет недостающие начальные условия в точках х1 и х2, сшивая решения, выходящие из этих точек, в точке xf
V1,V2 — вектора началных приближений для искомых начальных значений в точках х1 и х2
х1,х2 — граничные точки интервала
load1(x1,V1) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х1; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения
load2(x2,V2) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х2; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения.
score(xf,y) — вектор-столбец размерности n, содержащий разность между решениями, начинающимися в точках х1 и х2, в точке xf