Линейные диофантовы уравнения онлайн
Линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида:
В основе нашего калькулятора лежит расширенный алгоритм Евклида, записанный в виде цепной дроби. Однако, в некоторых случаях (например, когда коэффициент ) применяются более простые подходы. Также калькулятор не рассматривает случаи, когда хотя бы один из коэффициентов или равен , так как они приводят к обычному линейному уравнению.
Если коэффициент не делится нацело на , то линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными не имеет решений. Напротив, если делится нацело на , то указанное уравнение имеет бесконечное множество целых решений.
Для решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными сначала необходимо найти частное решение и , а затем записать общее решение, используя формулы:
Рассмотрим пример решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными:
Поскольку делится нацело на , то данное уравнение имеет решения в целых числах.
Далее, найдём какое-нибудь конкретное (частное) решение и исходного уравнения. Для этого, сначала необходимо найти частное решение и вспомогательного уравнения с коэффициентом :
а затем умножить найденное частное решение и вспомогательного уравнения на и получить частное решение и исходного уравнения:
Чтобы найти частное решение вспомогательного уравнения используем цепные дроби. Для этого составим дробь , числителем которой будет коэффициент , а знаменателем коэффициент .
Преобразуем данную дробь в цепную дробь:
В полученной цепной дроби отбросим последнюю дробь :
Полученная дробь является отношением частных решений и выбранных с правильным знаком:
Подставляя четыре значения во вспомогательное уравнение, определяем его частное решение:
Теперь, чтобы найти частное решение и исходного уравнения, умножим найденное частное решение и вспомогательного уравнения на :
Используя формулы для общего решения, запишем конечный ответ:
Наш онлайн калькулятор может решить любое линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными с описанием подробного хода решения на русском языке. Чтобы начать работу, необходимо ввести уравнение и задать искомые переменные.
Решение Диофантова уравнения по математике
Диофант Александрийский — древнегреческий математик, который жил еще в III веке н. э. О нем говорят как об «отце алгебры». Это автор «Арифметики» — книги, которая посвящена нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Диофант — первый греческий математик, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Он первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде. В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны.
Диофантово уравнение представляет собой алгебраическое уравнение с налагаемым дополнительным условием, состоящем в том, что все его решения должны представлять собой целые числа. В большинстве случаев данного рода уравнения решаются довольно сложно. Теорема Ферма — это прекрасный пример диофантового уравнения, которое так и не решено спустя 350 лет.
Допустим, нам необходимо решить в целых числах \[(x,y)\] уравнение:
Чтобы решить данного вида задание применим алгоритм Евклида, которое говорит, что для любых двух натуральных чисел \[a, b,\] таких, что \[Н.О.Д.(а,b) = 1\] существуют целые числа \[x, y\] такие, что \[ах + bу = 1.\]
1. Найдем решение уравнения \[5m — 8n = 1,\] применив алгоритм Евклида.
2. Найдем частное решение уравнения (1) по правилу 2.
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1. Найдем представление: \[1 = 5m — 8n.\] Для решения применим алгоритм Евклида.
Из этого равенства выразим
\[ 1 = 3 — 2^1=3-(5-3)^1=3-5^1+3\cdot 1=3^2-5\cdot1=(8-5^1)^2 -5^1=8^2-5\cdot2-5^1=5^x(-3)-8\cdot(-2) \]
2. Частное решение уравнения \[(1): x_о = 19m; y_о =19n.\]
Отсюда получим: \[ x_о =19^x(-3)=57; у_о =19^x(-2)=-38 \]
Пара (-57; -38) — частное решение (1).
3.Общее решение уравнения (1):
Где взять решение диофантова уравнения?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!
Диофантовое уравнение с тремя неизвестными
| Коэффиценты через пробел в уравнении Ax+By+Cz=D |
| Результат решения диофантового уравнения с тремя неизвестными | |||
| Целочисленные корни такого уравнения следующие | |||
После того, как автор сайта смог научить своего бота решать Линейное диофантово уравнение онлайн, возникло желание научить бота решать подобные уравнения, но уже с тремя неизвестными. Пришлось окунутся в книги. Вынырнув оттуда через два месяца, автор понял, что он ничего не понял. Зело умные математики, так мудрёно писали алгоритм вывода формул, что мне смертному было стыдно. Опечалился было, но мысль на книжных просторах все таки одну полезную нашел, и с этой мысли пришло понимание как решать диофантовые уравнения с тремя неизвестными. Итак для всех, кто не математик, но хочет им быть 🙂 Диофантовое уравнение с тремя неизвестными имеет вот такой вид где целые числа Если мы подумаем какое же общее решение может быть у неизвестных, то самое банальное выглядит так Подставим наше общее решение в уравнение Какой же от этого прок, спросит нетерпеливый читатель? А вот какой, сгруппируем все по неизвестным,получим Смотрите, в правой части стоит какое то постоянное число, обозначенное буквой d Значит, от t ( она же переменная, мало ли каким она значением хочет стать) оно не зависит а значит Логично предположить что и от z оно не зависит а значит а вот от постоянных значений A3 и B3 оно зависит напрямую , то есть Что же в конечном итоге мы получили? А получили мы три типовых классических диофантовых уравнений с двумя неизвестными, которые решать мы можем легко и непринужденно. В первых строках поисковых систем нашлось вот такое уравнение Первое уравнение будет вот такое Избавимся от нулей, взяв к примеру k=-1. ( Хотите можете взять 2 или 100 или -3) На окончательное решение это не повлияет. Решаем второе уравнение здесь пусть k=0 ( так как X и Y не совпадают уже при нулевых значениях) И последнее третье уравнение Корни тут такие Подставим теперь все найденные значения в общий вид Заметьте, что все решается очень легко и прозрачно! Наверняка преподаватели и способные студенты возьмут себе на вооружение эту методику, так как в книгах автор бота её так и нашел. Еще один пример, уже решенный с помощью бота.
Дополнение: Когда будете решать подобные уравнения с помощью бота, можете столкнуться с тем, что бот Вам выдаст ошибку с просьбой, поменять переменные местами, для другой попытки решить уравнение. Это связано с тем что при промежуточных вычислениях, получается нерешаемое уравнение При попытке решить уравнение мы получим ошибку, так как при любых значениях, в левой части будет всегда(!!) чётное число, а в правой части как мы видим нечетное. Но это не значит что изначальное уравнение нерешаемое. Достаточно поменять слагаемые в другом порядке, например так и получаем ответ
Дополнение от 23 ноября 2015 года Зашел спор как решать уравнение подобное этому Мол, позволяет ли методика которая была описана выше определить существует ли целочисленные решения этому уравнению? Я не могу доказать, но предполагаю, что если при всех циклических перестановках слагаемых как это было показано на примере уравнения у нас получаются нерешаемые линейные уравнения, то такое уравнение нерешаемое. В нашем примере так и получается что при любых переставновках, в левой части линейного уравнения всегда(!) будут НЕ взаимно простые числа, и НОД их не является делителем числа в правой части уравнения ( =8 ) Таким образом утверждается что такое диофантовое уравнение нерешаемое в целых числах, но зато оно решается в случае рациональных дробей при любых значениях z и t уравнение будет верным По горячим следам, окончательное дополнение от 23 нобяря 2015Все таки я ошибся в последнем примере. решаемое оно Так что вышеописанная методика и бот, применим ТОЛЬКО для тех случаев, когда хотя бы одна пара слагаемых из левой части являются взаимно простыми числами. Если конечно не воспользуетесь новым калькулятором который лишен, всех этих недостатков источники: http://www.pocketteacher.ru/solve-diofantum-equation-ru http://abakbot.ru/online-16/281-diofantovoe-uravnenie-s- |