Решение дробно рациональных уравнений егэ

Рациональные уравнения

Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

$<2>/+5x=7$ – рациональное уравнение

$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)

Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4. Решить получившееся целое уравнение;
5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Решить уравнение: $4x+1-<3>/=0$

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

3. решаем полученное уравнение

Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

Воспользуемся основным свойством пропорции

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$

В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

«Решение целых и дробно рациональных уравнений.»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Использованный материал можно применять для подготовки к ЕГЭ в 11 классе

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема «Решение целых и дробно рациональных уравнений.»

Учитель: Незнамова Н.И

( Использовать при подготовке к ЕГЭ в 11 классе)

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения.

Этапы решения рационального уравнения.

1. Определить ОДЗ (ни один знаменатель не может равняться нулю).
2. Найти наименьший общий знаменатель всех дробей.
3. Умножить уравнение на этот знаменатель и решить полученное целое уравнение.
4. Включить в ответ только те корни, которые входят в ОДЗ.

Решение целых уравнений

Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

• сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
• затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы – это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы – это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один – 3.

Раскрыв скобки в знаменателях, получаем уравнение:

Полагая, что x 2 + 3х + 2 = t ,приходим к системе уравнений

Решив первое уравнение системы, получаем корни t 1 = 2, t 2 = 18. Далее, из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения: .

Прибавим к числителю второй дроби выражение 2 х — 2 х , тождественно равное нулю:

Решив первое уравнение системы, получаем корни: t 1 = -1, t 2 = 2. Из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры 8 класс «Решение дробно-рациональных уравнений»

Приводится конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение дробно-рациональных уравнений».

Решение дробных рациональных уравнений

Презентация содержит демонстрационный материал к обяснению нового материала по теме «Решение дробных рациональных уравнений». Учебник Макарычева Ю.Н. и др. «Алгебра 8».

Решение дробно — рациональных уравнений с модулем.

Данная презентация разработана для подготовки учащихся 10 классса к КДР, может быть полезна для подготовки учащихся 11 класса к ЕГЭ.

Урок алгебры в 8-м классе «Решение дробно-рациональных уравнений»

Урок закрепления изученного материала проводится в форме игры «Лабиринт». Задания в лабиринте дифференцированы по уровням сложности, что позволяет учащимся выбрать наиболее походящий для себя режим ра.

Урок в 8 классе»Решение дробных рациональных уравнений»

Урок формирования умений и навыков.

урок алгебры в 8 классе по теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений»

урок — путешествие по городам Белгородской области (с презентацией).

Алгебра. 8 класс. Решение задач с дробно рациональными уравнениями, которые сводятся к квадратным уравнениям.

Алгебра. 8 класс. Решение задач с дробно рациональными уравнениями, которые сводятся к квадратным уравнениям.

Задания по теме «Рациональные уравнения»

Открытый банк заданий по теме рациональные уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №883

Условие

Найдите корень уравнения x=\frac<3x-8>. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение

\frac<1>=\frac<3x-8>, при x\neq-9 получим x(x+9)=3x-8,

Больший из корней −2 .

Ответ

Задание №880

Условие

Найдите корень уравнения \frac<16>=1. Если уравнение имеет более одного корня, запишите меньший из корней.

Решение

Уравнения \frac<16>=1 и x^2-48=16 равносильны x^2-48\neq0. Из последнего уравнения x^2=64,

x_1=-8, x_2=8. Меньший из корней равен −8 .