Решение дробно рациональных уравнений с заменой

2 .

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение:

Ответ:

3 .

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

Ответ:

4 .

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .

Чтобы его решить,

1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену:

5. Выразим через t выражение :

Отсюда

Получим уравнение относительно t:

Ответ:

5. Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

В этом равенстве А, В и С — числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень ( в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на

Или на

Или на

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

Сократим дроби, получим:

Теперь мы вводим замену переменной:

И решаем квадратное уравнение относительно замены:

.

При решении уравнения я обычно придерживаюсь такой тактики: нужно уменьшить количество различных выражений, в состав которых входит неизвестное ( принцип «бритвы Оккама» — не нужно множить сущности без нужды), а для этого помогает разложить выражения с неизвестным на множители. Разложим выражение, стоящее в правой части уравнения на множители.

Перенесем все влево, получим:

Теперь мы видим, что перед нами однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на , предварительно проверив, что х=1 не является корнем исходного уравнения.

Теперь самое время ввести замену переменной:

Получим квадратное уравнение:

Ответ:

6 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Решается с помощью введения вот такой замены переменной:

В нашем уравнении ,тогда . Введем замену:

Теперь возведем каждую скобку в четвертую степень, используя треугольник Паскаля:

Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:

Ответ: или

7 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.

Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно

Теперь прикинем, что нам удобнее иметь — квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:

Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:

[/pmath]

Введем замену:

Получим квадратное уравнение:

Ответ:

Урок 1. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс.

Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Уравнения, приводящиеся к квадратным путем замены переменной. Квадратные уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

Урок 2. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс.

Биквадратные уравнения. Уравнения 4-й степени. Замена переменной в уравнениях. Решение уравнений, приводящихся к квадратным, путем замены переменной. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

Урок 3. Замена переменной. Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Алгебра 8 класс.

Решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены. Алгебра 8 класс. Замена переменной в уравнениях. Примеры с решением.

Урок 4. Замена переменной в уравнениях, приводящихся к квадратным.

Решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены. Алгебра 8 класс. Замена переменной в уравнениях. Примеры с решением.

Пример 1: Решите уравнение методом замены переменной:

Если необходимо решить уравнение вида (x+A)(x+B)(x+C)(x+D) = m где А, В, С, D и m — некоторые константы, то группируем попарно скобки таким образом, чтобы была равна сумма констант, входящих в эти скобки.

Например, если А+D = В+C, то записываем: (x+A)(x+D)(x+B)(x+C) = m

• Попарно раскрываем скобки: (x2+Ax+Dх + AD)(x2+Bx+Cх +DC) = m (x2+(A+D)х + AD)(x2+(B+C)х + DC) = m
• Делаем замену x2+(A+D)х = t Получаем уравнение (t + AD)(t + DC) = m
• После раскрытия скобок получим обычное квадратное уравнение.

Урок 5. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены.

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Решение рационального уравнения заменой. Обратные числа. Какие числа называются взаимно обратными? Взаимно-обратные дроби. Как правильно сделать замену взаимно-обратных дробей. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Урок 6. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной. Алгебра 8 класс.

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Как правильно возвести в квадрат при замене переменной. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Урок 7. Решение уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную?

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную? Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в рациональном уравнении? Уравнения 4-й степени. Понизить степень уравнения, сделав замену. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Урок 8. Замена переменной. Решение уравнений. Однородные уравнения.

Однородные уравнения второй степени. Определение однородного уравнения. Методы решения однородных уравнений. Как понять, что уравнение однородное. Решение однородных уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом замены переменной. Решить уравнение. Решить заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением. Алгебра 8 класс.

Решение дробно рациональных уравнений с заменой

Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.

Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.

Замена ( степенная замена )

В частности, с помощью замены так называемое биквадратное уравнение приводится к квадратному.

Замена или ( замена многочлена )

Чаще всего встречается замена или

Замена ( дробно-рациональная замена ). Здесь, как и всегда, и − многочлены степеней и соответственно.

В частности, с помощью широко распространённой замены решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида

Покажем, как это делается. Так как , то число не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на , получим

А так как то после замены уравнение сводится к квадратному

Дадим два практических совета.

Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Сделаем замену переменных В терминах новой неизвестной уравнение имеет вид Корни этого квадратного уравнения и . Имеем два случая.

1) Значит, это уравнение корней не имеет.

2) Корни этого уравнения и .

Решите уравнение

Непосредственной проверкой убеждаемся, что не является корнем этого уравнения. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на . Имеем

Теперь очевидна замена переменной: В терминах новой переменной имеем уравнение

Корни этого уравнения и . Имеем два случая:

1) Следовательно, это уравнение корней не имеет.

2) Корни этого уравнения и

Ответ. и