Решение дробных уравнений методом интервалов 9 класс

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим решение рациональных неравенств методом интервалов для более сложных неравенств. Рассмотрим решение дробно-линейных и дробно-квадратичных неравенств и сопутствующие задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Метод интервалов

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим, например, такое неравенство

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида .

, где и — корни квадратного уравнения .

Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя и — выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и — закрашены, так как неравенство нестрогое. При и наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось на промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из «скобок» отрицательная. Левая часть имеет знак .

Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .

. Возьмем . При выражение положительно — следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .

При левая часть неравенства отрицательна.

И, наконец, 7′ alt=’x>7′ /> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая «скобочка» положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .

Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

(в левой части — дробно-рациональная функция, в правой — нуль).

Затем — отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого — записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

2. Рассмотрим еще одно неравенство.

Снова расставляем точки на оси . Точки и — выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка — тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :

При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :

При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :

Наконец, при 3′ alt=’x>3′ /> все множители положительны, и левая часть имеет знак :

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку «ответственный» за неё множитель не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю — следовательно, эта точка является решением.

В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

Квадратный трехчлен на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно — положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:

— которое легко решается методом интервалов.

Обратите внимание — мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину — знак неравенства меняется.

Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

И после этого — применим метод интервалов.

Методическая разработка урока алгебры в 9 классе. Тема: Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

урока алгебры в 9 классе (2).

Тема: Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов

-закрепить навыки решения квадратных неравенств

-сформировать умения решать дробно-рациональных неравенства методом интервалов.

— сформировать понятие множества решений; выработать у учащихся культуру оформления геометрической интерпретации к решению неравенств.

— актуализировать знания о методах решения квадратичных неравенств, основанных на наглядно-геометрических интерпретациях;

— выработать умения самостоятельно применять знания в комплексе в новых условиях.

Образовательные : углубленное изучение темы на основе имеющихся знаний, закрепление практических умений и навыков решений задач повышенной сложности в результате самостоятельной работы учащихся и лекционно-консультативной деятельности наиболее подготовленных из них.

Развивающие : развитие познавательного интереса, самостоятельности мышления, памяти, инициативы учащихся через использование коммуникативно — деятельностной методики и элементов проблемного обучения.

Воспитательные : формирование коммуникативных умений, культуры общения, сотрудничества.

— лекция с элементами беседы и проблемного обучения;

— лекционно-консультативная деятельность группы учащихся, имеющих высокий уровень мастерства в решении задач повышенной сложности ;

-самостоятельная работа учащихся;

-Выработка культуры оформления решения квадратичных неравенств.

Информационно-познавательные: умение работать с конспектом, умение слушать решение, представляемое одноклассником, выбирать в решении главное, делать выводы и обобщать.

Коммуникативные: умение вести диалог, доказывать свою точку зрения.

Предметные: умение исследовать квадратичную функцию на отрезке, используя знакопостоянство функции на определенном интервале; использовать графо-аналитический метод в решении уравнений и неравенств .

К моменту проведения урока учащиеся должны уметь:

— с помощью числовой прямой находить пересечение и объединение числовых множеств

— используя формулу дискриминанта и теорему Виета находить корни квадратного трехчлена

-преобразовывать квадратный трехчлен в произведение линейных множителей

2. Проверка знаний :

1) Проверка домашнего задания №№ 333;334;( сверка ответов с обсуждением моментов ,вызвавших затруднения при выполнении домашнего задания)

2) Актуализация опорных знаний .

(слайды) с обсуждением и геометрической интерпретацией на доске :

1) Разложить на множители

2) Решить неравенство

3) Найти решение неравенства

4)

5)

Ответы: 1) (х+3) 2 ;2) ( -∞;-3) U (-3;+ ∞); 3)( -∞;-1) U (1;+ ∞);4)(0;2);5)(-4;-2)

3. Мотивация применения алгоритма решения

Решение дробно-рациональных неравенств

а.

б.

а)

решения дробно-рациональных неравенств

1. Найти область допустимых значений аргумента (ОДЗ) .

2. Найти нули числителя и знаменателя.

3. Найти нули на ОДЗ.

4. Отметить нули и выколотые точки на числовой прямой.

5. Определить знак дробно-рационального выражения на каждом интервале, на которые разбита область допустимых значений.

Решения дробно-рациональных неравенств по алгоритму(работа в группах)

1)

2)

3)

4)

1) а)

б)

(-3;4]

(-2;1]

3) а)

б )

4) а)

б )

x

Работа в группах проводится по уровням. Каждая группа защищает свое решение у доски. Остальные группы выступают как оппоненты. Оценки за работу выставляются коллегиально путем голосования.

Решение неравенств и систем неравенств методом интервалов.

а) x

x

4. Самостоятельная работа

1) Решить методом интервалов

2) Решить методом интервалов

1) Достигли ли мы поставленной цели?

2) Какие знания, полученные на уроке,

3) понадобятся тебе в будущем?

4) Где ты применишь полученные знания?

5) С кем тебе было интересно работать в паре?

6) За что бы ты себя похвалил на уроке?

7) Что тебе понравилось на уроке больше всего?

8) Кого бы хотели поблагодарить за урок?

Домашнее заданиеГлава III ,пункт 6

III уровень- №№ 336, 339,379

Краткое описание документа:

Методическая разработкаурока алгебры в 9 классе (2).Тема: Решение дробно-рациональных неравенств методом интерваловЦели:-закрепить навыки решения квадратных неравенств -сформировать умения решать дробно-рациональных неравенства методом интервалов.- сформировать понятие множества решений; выработать у учащихся культуру оформления геометрической интерпретации к решению неравенств. — актуализировать знания о методах решения квадратичных неравенств, основанных на наглядно-геометрических интерпретациях; — выработать умения самостоятельно применять знания в комплексе в новых условиях. Задачи:Образовательные: углубленное изучение темы на основе имеющихся знаний, закрепление практических умений и навыков решений задач повышенной сложности в результате самостоятельной работы учащихся и лекционно-консультативной деятельности наиболее подготовленных из них.Развивающие: развитие познавательного интереса, самостоятельности мышления, памяти, инициативы учащихся через использование коммуникативно — деятельностной методики и элементов проблемного обучения.Воспитательные: формирование коммуникативных умений, культуры общения, сотрудничества.Методы проведения: — лекция с элементами беседы и проблемного обучения;- лекционно-консультативная деятельность группы учащихся, имеющих высокий уровень мастерства в решении задач повышенной сложности ;-самостоятельная работа учащихся;-Выработка культуры оформления решения квадратичных неравенств. Ключевые компетенции:Информационно-познавательные: умение работать с конспектом, умение слушать решение, представляемое одноклассником, выбирать в решении главное, делать выводы и обобщать.Коммуникативные: умение вести диалог, доказывать свою точку зрения.Предметные: умение исследовать квадратичную функцию на отрезке, используя знакопостоянство функции на определенном интервале; использовать графо-аналитический метод в решении уравнений и неравенств .К моменту проведения урока учащиеся должны уметь: — с помощью числовой прямой находить пересечение и объединение числовых множеств- используя формулу дискриминанта и теорему Виета находить корни квадратного трехчлена -преобразовывать квадратный трехчлен в произведение линейных множителей