Решение дробных уравнений методом подстановки

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Немного теории.

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end \right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin y = 7—3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end \right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) — решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end \right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin 3x=33 \\ x-3y=38 \end \right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Метод подстановки»

Разделы: Математика

Образовательная: формирование навыков решения дробно-рациональных уравнений методом подстановки.

Развивающая: развитие памяти, любознательности, познавательного интереса учащихся, умения преодолевать трудности при решении задач.

Воспитательная: воспитание аккуратности, наблюдательности, настойчивости в учёбе, умения видеть красивое и удивительное вокруг нас.

1) таблицы «Этапы решения уравнения»; «Схема решения биквадратного уравнения»;
2) плакат со словами В. Гюго о математике и поэзии: «Дух человеческий открывается тремя ключами: это – число, буква, нота»;
3) карточки с заданием для самостоятельной работы;
4) карточки для блиц-опроса;
5) ключи из картона, на которых написаны методы решения дробно-рациональных уравнений.

I. Ознакомление с темой урока, постановка цели.

— Сегодня на уроке мы продолжаем знакомиться с техникой решения дробных рациональных уравнений. Какие методы решения дробных рациональных уравнений вам известны?

— Итак, ребята, в наших руках теперь есть «связка ключей» к решению уравнений, содержащих переменную в знаменателе [1].

Ключ 1. Условие равенства дроби нулю.

Ключ 2. Условие равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями.

Ключ 3. Критерий равенства двух дробей или основное свойство пропорции.

Ключ 4. Свойство равенства.

— У кого любимый «ключ» 1, 2, 3, 4?

А кто применяет разные «ключи» в зависимости от ситуации?

II. Проверка домашнего задания.

— Проверим домашнее задание. Дома необходимо было решить уравнение, используя все названные методы. Ответ: х=0.

— Прежде, чем расстаться с данным уравнением, хочу обратить внимание на одну его особенность. При любом способе решения вы переходили от дробного уравнения к целому уравнению . Как вы считаете, равносильны ли данные уравнения? (Нет!)

— Почему? (Корни целого уравнения х=0 и х=2. Но х=2 не является корнем дробного уравнения).

— То есть, дробные уравнения надо решать с осторожностью.

III. Изучение нового материала.

Напомню, что, как и решение любой задачи, решение уравнения состоит из ряда этапов.

Этапы решения уравнения.

1. Анализ уравнения.
2. Составление плана решения.
3. Реализация этого плана.
4. Проверка решения.
5. Анализ метода решения и систематизация опыта.

— Итак, проанализируем уравнение. Прежде всего, отвечаем на вопрос, встречались ли мы с уравнениями такого вида ранее? (Да! Встречались! Это дробное рациональное уравнение).

— Известны ли методы решения дробно-рациональных уравнений? (Да! Известны! У нас есть связка ключей).

— Какой ключ надо использовать?

— Вывод! Если перебрать все ключи к решению дробно-рациональных уравнений, то окажется, что все они приведут к достаточно громоздкому целому уравнению. В нём будут слагаемые, содержащие от первой до четвёртой степени х! Такие громоздкие уравнения мы пока не решали. Можно попытаться всё-таки найти решение этого «тяжёлого» уравнения, а можно вернуться к исходному уравнению и ещё раз проанализировать его.

Попытайтесь выделить некоторые элементы уравнения, установить общие свойства у этих элементов, т. е. найти ещё один «ключ» к решению дробно-рациональных уравнений.

— Верно! Числители и знаменатели содержат выражение . Чтобы сделать структуру уравнения более обозримой, заменим выражение одной буквой, например, буквой t.

— Говорят, что произведена замена переменной.

Как вы считаете, целесообразна ли такая замена? Удастся ли решить новое уравнение? Удастся ли найти х по t? Попробуйте решить это уравнение (желающий ученик работает у доски).

или

Вернёмся к исходной переменной.

— Итак, мы решили уравнение методом замены переменной. В нашей связке появился ещё один «ключ». При этом мы действовали так:

1. Выделили выражение в уравнении и обозначили его буквой t.
2. Выполнили подстановку, получив при этом более простое уравнение относительно t.
3. Нашли корни нового уравнения.
4. Вернулись к «старой» переменной и получили два уравнения, решив которые нашли корни исходного уравнения.

— Нет ли других замен переменных, позволяющих решить данное уравнение? (Есть).

IV. Домашнее задание:

1) решить уравнение, используя метод подстановки:

Решить уравнение с помощью той подстановки, которая вам представляется более рациональной.

2) А можете ли вы подобрать замену в решении такого уравнения?

V. «Пора отвлечься!»

(решение нестандартной задачи «Замок с секретом» объясняет заранее подготовленный ученик).

Замок с секретом.

В одном учреждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскивался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться, нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определённое слово. Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробовать все комбинации букв в кружках. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени. Можно ли надеться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробовать. Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36х36=36І.

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую букву из третьего кружка. Поэтому трёхбуквенных комбинаций возможно 36Іх36=36і. Таким же образом определяем, что четырёхбуквенных комбинаций может быть 36іх36 , а пятибуквенных 36іх36І. , или 60466176, чтобы составить эти 60.000.000 с лишним комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3х60.466.176=181.398.328 секунд. Это составляет более 50.000 часов, или почти 6.300 восьмичасовых рабочих дней–более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6.300, или 1 из 630. Эта очень малая вероятность.

VI. Обобщение нового материала.

— Ребята! Мы рассмотрели, как применяется метод замены переменной на примере решения конкретного уравнения.

В математике существуют целые классы уравнений, которые можно решать с помощью данного метода [2].

Например: биквадратные уравнения.

При анализе выделяются 2 элемента и . Связь между ними проста: . Поэтому напрашивается замена .

Уравнение после замены принимает вид .

Изобразим схематично этапы решения такого уравнения

Можно ли решить уравнение , применяя подстановку ?

Самостоятельная работа на карточках с заданием.

VIII. Итоги урока.

Блиц-опрос. Ученики по очереди подходят к столу учителя, берут карточку и отвечают на вопрос.

IX. Заключительное слово учителя.

Спасибо за урок! Желаю, чтобы связка «ключей» пополнялась по мере изучения математики! Как сказал В. Гюго, «дух человеческий открывается тремя ключами: это – число, буква, нота».

1. Алгебраические дроби/ Э.Г. Гельфман, Л.М. Алфутова, М.С. Бухтяк и др. – Томск: Изд-во Томского университета, 2000. – 240 с.
2. Квадратные уравнения/ Э.Г. Гельфман, Ю.Ю. Вольфенгаут, И.Э. Гриншпон и др. – Томск: Изд-во Томского университета, 1999. – 248 с.
3. Ю.Н. Макарычев и др. Алгебра, 8 кл. – М.: Просвещение, 2001-2004.

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.