Решение дробных уравнений методом замены

Урок 1. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс.

Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Уравнения, приводящиеся к квадратным путем замены переменной. Квадратные уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

Урок 2. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс.

Биквадратные уравнения. Уравнения 4-й степени. Замена переменной в уравнениях. Решение уравнений, приводящихся к квадратным, путем замены переменной. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

Урок 3. Замена переменной. Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Алгебра 8 класс.

Решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены. Алгебра 8 класс. Замена переменной в уравнениях. Примеры с решением.

Урок 4. Замена переменной в уравнениях, приводящихся к квадратным.

Решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены. Алгебра 8 класс. Замена переменной в уравнениях. Примеры с решением.

Пример 1: Решите уравнение методом замены переменной:

Если необходимо решить уравнение вида (x+A)(x+B)(x+C)(x+D) = m где А, В, С, D и m — некоторые константы, то группируем попарно скобки таким образом, чтобы была равна сумма констант, входящих в эти скобки.

Например, если А+D = В+C, то записываем: (x+A)(x+D)(x+B)(x+C) = m

• Попарно раскрываем скобки: (x2+Ax+Dх + AD)(x2+Bx+Cх +DC) = m (x2+(A+D)х + AD)(x2+(B+C)х + DC) = m
• Делаем замену x2+(A+D)х = t Получаем уравнение (t + AD)(t + DC) = m
• После раскрытия скобок получим обычное квадратное уравнение.

Урок 5. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены.

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Решение рационального уравнения заменой. Обратные числа. Какие числа называются взаимно обратными? Взаимно-обратные дроби. Как правильно сделать замену взаимно-обратных дробей. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Урок 6. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной. Алгебра 8 класс.

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Как правильно возвести в квадрат при замене переменной. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Урок 7. Решение уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную?

Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную? Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в рациональном уравнении? Уравнения 4-й степени. Понизить степень уравнения, сделав замену. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Урок 8. Замена переменной. Решение уравнений. Однородные уравнения.

Однородные уравнения второй степени. Определение однородного уравнения. Методы решения однородных уравнений. Как понять, что уравнение однородное. Решение однородных уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом замены переменной. Решить уравнение. Решить заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением. Алгебра 8 класс.

Решение дробных рациональных уравнений методом введения новой переменной

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Научиться решать дробно-рациональные уравнения методом введения переменной.

Научиться определять ту часть уравнения, которую нужно обозначить через новую переменную.

Решить получившееся дробно-рациональное уравнение.

Отобрать корни, которые не обращают знаменатель в ноль.

Найти корни исходного уравнения, используя значения

Тип урока: урок открытия нового знания.

Познавательные: анализировать, делать выводы, сравнивать объекты по способам действий.

Регулятивные: определять цель, проблему, выдвигать версии, планировать деятельность.

Коммуникативные: излагать свое мнение, использовать речевые средства,

Личностные: осознавать свои эмоции, вырабатывать уважительное отношение к одноклассникам.

Предметные: умение на выполнении задания построить алгоритм для решения уравнений каждого вида.

Метапредметные : умение выдвигать гипотезы, предположения, видеть различные способы решения задачи.

Личностные: умение правильно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи

Учебник, компьютер, проектор, презентация, карточки для творческого задания и самостоятельной работы.

Организационный момент. Приветствие. Проверка наличия всех нужных учебных пособий для урока

Какие дроби называются взаимно обратными?

Что называется уравнением?

Какие уравнения называются целыми?

Какие уравнения называются дробными рациональными?

Что значит решить уравнение?

Составьте алгоритм решения дробного рационального уравнения .

Найдите общий знаменатель дробей

а)

б)

в)

г)

Способы решения дробных рациональных уравнений.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

На основании материала устной работы учащиеся формулируют тему, цель и задачи урока.

Тема урока: Решение дробных рациональных уравнений методом введения новой переменной.

Цель урока: Научиться решать дробные рациональные уравнения методом введения новой переменной.

Научиться определять ту часть уравнения, которую нужно обозначить через новую переменную.

Решить получившееся дробно-рациональное уравнение.

Отобрать корни, которые не обращают знаменатель в ноль.

Найти корни исходного уравнения, используя значения введенной переменной.

Постановка проблемной ситуации.

Решите уравнение:

— Попробуем решить данное уравнение, согласно алгоритма решения дробных рациональных уравнений.

Найдем общий знаменатель;

Найдем дополнительные множители для каждой из дробей;

Попробуем решить получившееся целое уравнение.

Решают уравнение с помощью учебника.

В учебнике рассмотрен способ решения данного уравнения методом введения новой переменной, потому что при решении данного уравнения с помощью общего алгоритма решения дробно-рациональных уравнений получается уравнение высших степеней.

Решение заданий № 297(а) и уравнение вида

1) Решение задания № 297(а).

Введем новую переменную. Пусть .

; (ф. Виета)

После нахождения значения введенной переменной решаем исходное уравнение:

1) — нет корней.

2)

2) Решение уравнения:

Введем новую переменную. Пусть .

; (ф. Виета)

После нахождения значения введенной переменной решаем исходное уравнение:

1)

— нет корней.

Видео для физминутки.

Самостоятельная работа с самопроверкой.

а) ;

б)

а) ;

б)

Ответы к самостоятельной работе.

б) 2; 5; ; .

п. 13; № 297 (в); № 298 (б). Дополнительно: № 300 (б).

Что вы нового узнали на уроке?

Как мы решали поставленные задачи?

Что мы для этого использовали?

Что вы еще хотите для себя узнать нового на следующих уроках?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 592 354 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

13. Дробные рациональные уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 14.12.2019
• 335
• 4

• 27.02.2019
• 1076
• 75

• 06.02.2019
• 603
• 3

• 26.01.2019
• 1551
• 31

• 23.01.2019
• 1528
• 80

• 21.01.2019
• 859
• 18

• 13.01.2019
• 1083
• 8

• 09.01.2019
• 1115
• 8

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.01.2020 1332
• DOCX 142.5 кбайт
• 28 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Федив Юлия Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 8 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 22843
• Всего материалов: 16

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.