Решение дробных уравнений со степенями 7 класс

Тема урока: «Решение уравнений, содержащих степени с натуральным показателем»

Разделы: Математика

В седьмом классе при изучении темы «Степень и ее свойства» можно один из уроков посвятить изучению показательных уравнений. Задания в учебнике, несмотря на их разнообразие, направлены в основном на механическую отработку свойств степени и о практическом применении нет речи. Познавательная активность в этом возрасте достаточно высока, и поэтому тема вводится легко. Разумеется, мы не будем называть уравнения показательными, а назовем урок «Решение уравнений, содержащих степени с натуральным показателем».

Ход урока

I. Ребята, сегодня вы сами определите тему урока, а для этого выполним следующее задание:

На доске записаны следующие степени:

Ребята, ответьте на вопрос: Какие свойства степени здесь перечислены?

Ученики называют свойства, которые параллельно оформляются на доске.

На доске появляется следующая таблица:

А теперь внимательно посмотрите на первую и вторую строку каждого столбца и назовите сходства и различия этих выражений.

Общее: в каждом из столбцов записано одно и то же свойство степени.

Различия: в первых строках переменная находится в показатели степени, во-вторых — в основании.

Вывод: при записи степени неизвестное может находиться как в показателе степени, так и в основании.

Ребята, ответьте на вопрос: что произойдет, если степень, содержащую переменную, прировнять к числу?

Получим равенство, содержащее переменную.

А как называют равенство, содержащее переменную?

Рассмотрим следующие уравнения:

Какое условие необходимо, чтобы равенство стало верным?

Чтобы показатели степени были равны.

Следовательно, х = 2.

Когда такое равенство будет верным?

Когда основания степени равны.

Следовательно, х = 7.

На основании данных примеров, мы можем сделать вывод, что степени а m = b n , при условии, что основания этих степеней равны, т.е. a = b и показатели их тоже равны, т.е. m = n.

Ребята, открывайте тетради, записывайте число и оставьте строчку для записи темы.

Продолжаем работать с таблицей.

Используя свойства степени, решим каждое уравнение.

Решение уравнений происходит в форме соревнования: первый, правильно решивший уравнение, записывает его решение на доске.

Итак, ребята, чем мы занимались на этом уроке?

Решали уравнения, содержащие степень.

А теперь, давайте попробуем сформулировать тему сегодняшнего урока.

Запишем ее в тетрадь.

Решим следующие уравнения (с последующей проверкой на доске):

1. 2.

Ответ х=3; Ответ х=36.

Уравнения для самостоятельной работы учащихся:

Подводится итог урока.

Домашнее задание дается в следующей форме: ребята получают работу с готовым решением и оценкой, они должны самостоятельно найти ошибку и исправить ее. Примеры заданий:

а)81к 4 =3 8
3 4 ·к 4 =3 4
(3к) 4 =(3 4 ) 4
3к=3 4
к=3 4 :3
к=3
Ответ: 3

а)120·5 n -100·5 n =500
5 n ·(120-100)=500
5 n ·20=500
5 n =500:20
5 n =125
5 n =5 3
n=3
Ответ: 3

б)х 3 ·х 2 =32
х 3 ·х 2 =2 5
х 5 =2 5
х=5
Ответ: 5

оценка 3

в) 2 n+7 :2 n+3 =(2 n+1 ) 2
2 n+7 :2 n+3 =2 2n+2
2 10 =2 2n+2
2 n+2 =10
2 n =8
n=4
Ответ: 4

Степенные или показательные уравнения.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=a n

3. a n • a m = a n + m

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n ) m = a nm .

Получим 9 х+8 =(3 2 ) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10•4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n ) m = a nm .

4 х = (2 2 ) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n • a m = a n + m :

2 2х+4 = 2 2х •2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х •2 4 — 10•2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х ,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2 :

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12•3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х ) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t₁ = 9
t₂ = 3

Возвращаемся к переменной x.

3 х = 9
3 х = 3 2
х₁ = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:
t₂ = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х₂ = 1
Ответ: х₁ = 2; х₂ = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Решить уравнение со степенями онлайн

Калькулятор поможет вам решить уравнения, где есть любые степени. Всё что нужно – это ввести нужные значения и вы получите довольно-таки развёрнутое решение. В дальнейшем вы сможете решать такие уравнения без помощи калькулятора.

Калькулятор

Инструкция

Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().

Шаг 1. Введите заданное уравнение в поле.

Шаг 2. Нажмите кнопку “Решить”.

Шаг 3. Получите развёрнутый ответ.

Вводить можно любые цифры при помощи клавиатуры. А чтобы показать степень, применяется знак – ^.

Уравнение со степенями

Уравнение со степенями – это уравнение, в котором над число стоит определённая степень. Если у вас квадратное уравнение, его можно решить через дискриминант. Чем больше степеней в уравнении, тем сложнее оно решается. Однако, так кажется только на первый взгляд. Кубическое уравнение можно решать по формуле Виета. Калькулятор справится с этими уравнениями быстро и легко.

Средняя оценка 1.7 / 5. Количество оценок: 16