Решение функциональных уравнений методом итераций

Метод итераций

Правила ввода функции

2. Примеры
   ≡ x^2/(1+x)
   cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
   ≡ x+(x-1)^(2/3)

На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).

Достаточные условия сходимости метода итерации

Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:

1. Получить шаблон с омощью этого сервиса.
2. Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
3. Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).

Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .

Метод итераций (метод последовательных приближений)

Отыскание корней функциональных уравнений методом итераций (последовательных приближений).

Метод итераций (метод последовательных приближений) применяется для отыскания корней функциональных уравнений вида

Собственно, сам метод применяется очень просто — выбирается некоторое начальное приближение и строится итерационная последовательность вида

При определенных условиях эта итерационная последовательность сходится к корню уравнения и поэтому ее элементы могут быть взяты за приближенные значения этого корня. Если операция, задаваемая функцией F, удовлетворяет этим условия, то эта операция называется сжатием. Теорию могу порекомендовать посмотреть здесь

Калькулятор ниже просто выполняет итеративное вычисление x по заданной формуле и останавливается, когда достигнута необходимая точность, то есть значения, полученные двумя последовательными итерациями, отличаются на величину, меньшую заданной.

Кстати сказать, в качестве примера взята функция
,
которая на самом деле является итерационной функцией для вычисления квадратного корня числа а, первым алгоритмом для приближенного вычисления квадратного корня, известным из истории. Его еще называют «вавилонским методом», так как его применяли еще в древнем Вавилоне, или «методом Герона», так как греческий математик Герон был первым, кто явно описал этот способ.

Решение функциональных уравнений методом итераций

Итерационные методы решения функциональных уравнений (Ильин В.А. , 2001), МАТЕМАТИКА

Изложен итерационный метод решения функционального уравнения вида x = F(x) и на его базе метод касательных отыскания корней уравнения f (x) = 0.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Главная цель статьи — познакомить читателя с итерационным методом отыскания корней функционального уравнения x = F (x), и особенно со случаем, когда оператор, задаваемый функцией F (x), является оператором сжатия. На базе рассмотрения этого метода излагается метод касательных, являющийся одним из наиболее распространенных методов решения функционального уравнения f (x) = 0.

Для чтения статьи не требуется ничего выходящего за рамки программы средней школы. Некоторые предположения из математического анализа, носящие вспомогательный характер и вместе с тем имеющие самостоятельный общематематический интерес, мы приводим с доказательствами, вполне доступными школьникам.

Докажем несколько вспомогательных утверждений, имеющих в курсе математического анализа большой самостоятельный интерес.

1. Будем говорить, что определенная в некоторой окрестности точки x = x0 функция f (x) возрастает (соответственно убывает) в точке x0 , если существует такая достаточно малая окрестность точки x0 , в пределах которой f (x) > f (x0) при x > x0 , f (x) x0 , f (x) > f (x0) при x 0 (соответственно f ‘(x0) 0 (случай f ‘(x0) 0, то в достаточно малой окрестности точки x0 разностное отношение (1) положительно. Это означает, что в указанной достаточно малой окрестности этой точки f (x) — f (x0) > 0 при x — x0 > 0 и f (x) — f (x0) f (x0) при x > x0 и f (x) f (a). Тогда максимальное значение функции f (x) на сегменте a # x # b достигается в некоторой внутренней точке x этого сегмента и функция f (x) имеет в этой точке x локальный максимум. По теореме 2 f ‘(x) = 0.

4. Теорема 4 (теорема Лагранжа). Если функция f (x) непрерывна в каждой точке сегмента a # x # b и имеет производную во всех внутренних точках этого сегмента, то внутри этого сегмента найдется точка x, такая, что справедливо равенство

f (b) — f (a) = f ‘(x)(b — a),

называемое формулой Лагранжа.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим на сегменте a # x # b вспомогательную функцию

и заметим, что для этой функции выполнены на сегменте a # x # b все условия теоремы 3. Действительно, функция F (x) непрерывна на сегменте a # x # b (как разность непрерывной функции f (x) и линейной функции) и имеет во внутренних точках этого сегмента производную

Из равенства (3) очевидно, что F (a) = F (b) = 0. В силу теоремы 3 внутри сегмента a # x # b найдется точка x, такая, что

ОТЫСКАНИЕ КОРНЕЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ (ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ)

Этот метод мы применим для отыскания корня функционального уравнения

Введем для этого уравнения понятие итерационной последовательности.

Последовательность чисел x0 , x1 , _, xn _, коротко обозначаемую символом , будем называть итерационной, если для любого номера n $ 1 элемент xn выражается через элемент xn — 1 по рекуррентной формуле xn = = F (xn — 1), а в качестве x0 взято любое число из области задания функции F (x).

Мы установим, что при определенных условиях итерационная последовательность сходится к корню уравнения (4) и поэтому ее элементы могут быть взяты за приближенные значения этого корня.

Теорема 5. Если функция F (x) непрерывна в каждой точке сегмента a # x # b, все элементы итерационной последовательности лежат на этом сегменте и итерационная последовательность сходится к некоторому пределу «c», то «c» является корнем уравнения (4).

Доказательству теоремы 5 предпошлем следующее вспомогательное утверждение.

Лемма. Если последовательность сходится к пределу «c» и все элементы этой последовательности лежат на сегменте a # x # b, то и предел «c» лежит на этом сегменте.

Пусть сходится к пределу c и все элементы xn удовлетворяют неравенству xn # b (соответственно xn $ $ a). Требуется доказать, что и предел c удовлетворяет неравенству c # b (соответственно c $ a).

Остановимся на случае xn # b, ибо случай xn $ a рассматривается аналогично. Положим yn = xn — b и заметим, что последовательность состоит из неположительных чисел и сходится к пределу d = c — b. Достаточно доказать, что этот предел d неположителен. Предположение о том, что этот предел положителен, приводит к противоречию с тем, что все yn неположительны, ибо в силу сходимости к d все элементы yn , начиная с некоторого номера, будут как угодно мало отличаться от d и поэтому будут положительны.

Переходя к доказательству теоремы 5, мы теперь в силу леммы можем утверждать, что предел c итерационной последовательности лежит на сегменте a # x # b. Отсюда следует, что функция F (x), по условию непрерывная в каждой точке этого сегмента, является непрерывной в точке c. Так как последовательность сходится к c, то, по определению непрерывности функции,

Переходя теперь к пределу при n ? в равенстве xn = F (xn — 1), мы получим в пределе из этого равенства, что c = F (c), то есть c является корнем уравнения (4).

Теорема 5 доказана.

Теорема 6. Пусть число «c» является корнем уравнения (4) и пусть в каждой точке некоторого симметричного относительно «c» сегмента [c — e, c + e], где e > 0, функция F (x) имеет производную F ‘(x) и эта производная всюду на этом сегменте удовлетворяет условию

| F ‘(x) | # a 0) первую производную и ограниченную (то есть удовлетворяющую условию | f «(x) | # M ) вторую производную, то существует e > 0, такое, что итерационная последовательность (11), в котором за нулевое приближение x0 взята любая точка сегмента [c — e, c + e], сходится со скоростью геометрической прогрессии к корню x = c уравнения f (x) = 0.

В силу теоремы 6 достаточно доказать, что для функции F (x), определяемой равенством (12), при достаточно малом e > 0 всюду на сегменте [c — e, c + e] справедливо неравенство (5). Так как в силу (12)

то всюду в достаточно малой окрестности точки c

Далее так как f (c) = 0 и функция f (x) непрерывна в точке c, то можно фиксировать e > 0 настолько малым, что при c — e # x # c + e функция f (x) будет удовлетворять неравенству Из последнего неравенства и (13) следует, что при c — e # x # c + e

Теорема 7 доказана.

В заключение применим метод касательных для приближенного вычисления корня целой степени k из числа a > 0. Заметим, что вычисляемый корень совпадает с корнем функции f (x) = xk — a.

Искомый корень заведомо является положительным, а в малой окрестности любого положительного числа выполнены все условия теоремы 7. Далее в силу того, что f ‘(x) = kxk — 1, рекуррентная формула (11) принимает вид

и после элементарных преобразований приводится к равенству

Любое число a > 0 можно представить в виде a = 2lx, где l — целое число, а x удовлетворяет неравенству Взяв за нулевое приближение x0 число 2[l / k], где символ [l / k] обозначает наибольшее целое число, содержащееся в дроби l / k, и сделав с помощью формулы (14) всего четыре итерации, мы получим:

В качестве литературы рекомендуются ╕ 1 главы 12 книги [1] и введение и глава 11 книги [2].

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1998. Т. 1. 616 с.

2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ I: (Начальный курс). М.: Изд-во МГУ, 1985. 660 с.

Рецензент статьи В.Б. Колмановский

Владимир Александрович Ильин, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой общей математики ВМК МГУ, главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН, лауреат Государственной премии СССР, действительный член РАН. Автор более 250 научных публикаций по теории функций, теории дифференциальных уравнений и математической физике, университетских учебников по математическому анализу, аналитической геометрии и линейной алгебре и монографии по спектральной теории дифференциальных операторов.