Решение гиперболических уравнений методом даламбера

Реферат: Дифференциальные уравнения гиперболического типа

Курсовая работа студента гр. МТ-31 Нургалиев А.

Инновационный евразийский университет

Павлодар 2007 год.

Многие задачи математической физике приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. В настоящей курсовой работе рассмотрены одни из основных уравнений гиперболического типа: 4-го и наиболее часто встречающегося 2-го порядка.

Рассмотрено простейшее уравнение гиперболического типа – волновое уравнение. К исследованию этого уравнения приводят рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Приведена формула Даламбера для решения краевых задач, а также её физическая интерпретация.

Большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка. В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрена задача о собственных колебаниях камертона.

2. Метод распространяющихся волн.

2.1. Вывод уравнения колебаний струны.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси 0x от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси 0x и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t) которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Так как мы рассматриваем малые отклонения точек струны в плоскости (x,u), то будем предполагать, что длина элемента струны M1M2 равняется ее проекции на ось 0x, т.е. M1M2=x2-x1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через T.

Рассмотрим элемент струны MM’.

На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы T. Пусть касательные образуют осью 0x углы и . Тогда проекция на ось 0u сил, действующих на элемент MM’, будет равна . Так как угол мал, то можно положить , и мы будем иметь:

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть масса элемента струны будет . Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Сокращая на и обозначая , получаем уравнение движения

(1)

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебания струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять еще граничным условия, указывающим, что делается на концах струны (x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями:

2.2. Формула Даламбера.

Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны:

(2)

(3)

Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

, ,

интегралами которых являются прямые

, .

Вводя новые переменные

, ,

уравнение колебания струны преобразуем к виду:

. (4)

Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (4)

,

где — некоторая функция только переменного . Интегрируя это равенство по при фиксированном , получим

, (5)

где и являются функциями только переменных и .Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции и , функция , определяемая формулой (5), представляет собой решение уравнения (4). Так как всякое решение уравнения (4)может быть представлено в виде (5) при соответствующем выборе и , то формула (5) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция

(6)

является общим интегралом уравнения (2).

Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует; тогда оно дается формулой (6). Определим функции и таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия:

(7)

. (8)

Интегрируя второе равенство, получим:

где и C – постоянные. Из равенства

(9)

Таким образом, мы определили функции и через заданные функции и , причем равенства (9) должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (6) найденные значения и , получим:

, (10)

Формулу (10), называемую формулой Даламбера, мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (2) – (3), то оно представлялось бы формулой (10) и совпадало бы с первым решением.

Нетрудно проверить, что формула (10) удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции и однократной дифференцируемости функции ) уравнению и начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи.

Функция , определяемая формулой (10), представляет собой процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать , то функция дает профиль струны в момент , фиксируя , получим функцию , дающую процесс движения точки . Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке x=0 в момент t=0, движется со скоростью a в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая , . В этой подвижной системе координат функция будет определятся формулой и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция представляет неизменный профиль f(x), перемещающийся вправо (в положительном направлении оси x) со скоростью a (распространяющуюся или бегущую волну). Функция f(x+at) представляет, очевидно, волну, распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси x) со скоростью a. Таким образом, общее решение (10) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн , одна из которых распространяется направо со скоростью a, а вторая – налево с той же скоростью. При этом

,

где .

Для выяснения характера решения (10) удобно пользоваться плоскостью состояний (x,t) или «фазовой плоскостью». Прямые x-at=const и x+at=const являются характеристиками уравнения (2). Функция вдоль характеристики x-at=const сохраняет постоянное значение, функция постоянна вдоль характеристики x+at=const.

Предположим, что f(x) отлична от нуля только в интервале и равна нулю вне этого интервала. Проведем характеристики и через точки и ; они разбивают полуплоскость (x,t>0) на три области I, II, и III (рис. 3, а).

Функция отлична от нуля только в области II, где и характеристики и представляют передний и задний фронты распространяющейся направо волны.

Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку и приведем из нее обе характеристики и , которые пересекут ось x в точках , t=0 и , t=0. Значение функции в точке равно , т. е. определяется значениями функций и в точках и , являющихся вершинами треугольника MPQ (рис. 3, б), образованного двумя характеристиками и осью x. Этот треугольник называется характеристическим треугольником точки . Из формулы (10) видно, что отклонение точки струны в момент зависит только от значений начального отклонения в вершинах P(x0-at0,0) и Q(x0+at0,0) характеристического треугольника MPQ и от значений начальной скорости на стороне PQ. Это становится особенно ясным, если формулу (10) записать в виде

(11)

Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значения в точке . Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке , то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок .

Решение (10) можно представить в виде суммы , где

(12)

. (13)

Если начальная скорость равна нулю (), то отклонение есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма обеих волн определяется функцией , равной половине начального отклонения. Если же , то представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью.

Рассмотрим распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в середине отрезка . На рис. 4 даны последовательные положения струны через промежутки времени .

Наглядное представление о характере процесса распространения можно получить с помощью фазовой плоскости (x, t). Проведем характеристики через точки и ; они разобьют полуплоскость на шесть областей (рис. 5).

Отклонение в любой точке (x,t) дается формулой (12). Поэтому в областях I, III, V отклонение равно нулю, так как характеристический треугольник любой точки из этих областей не имеет общих точек с отрезком , на котором заданы начальные условия. В области II решением является «правая волна» , в области IV – «левая волна» , а в области VI решение есть сумма «левой» и «правой» волн.

3. О колебании стержней.

В курсах методов математической физики основное место отводится уравнениям второго порядка. Однако большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка.

В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрим задачу о собственных колебаниях камертона, эквивалентную задаче о колебаниях тонкого прямоугольного стержня, зажатого одним концом в массивные тиски. Определение формы колебаний камертона и его частоты сводится к решению «уравнения поперечных колебаний стержня»

(1)

К этому уравнению приходят во многих задачах о колебании стержней, при расчете устойчивости вращающихся валов, а также при изучении вибрации кораблей.

Приведем элементарный вывод уравнения (1). Рассмотрим прямоуголный стержень длиной , высотой h и шириной b. Выделим элемент длины dx. После изгиба торцевые сечения выделенного элемента стержня, предполагаемые плоскими, образуют угол , Если деформации малы, а длина оси стержня при изгибе не меняется (dl=dx), то

.

Слой материала, отстоящий от оси стержня y=0 на расстоянии , изменяет свою длину на величину . По закону Гука сила натяжения, действующая вдоль слоя, равна

,

где E – модуль упругости материала стержня. Полный изгибающий момент сил, действующих на сечение x, равен

, (2)

— момент инерции прямоугольного сечения относительно своей горизонтальной оси. Обозначим через M(x) момент, действующих на правую часть стержня в каждом сечении. В сечении x+dx, очевидно, действует момент сил, равный –(M+dM).

Избыточный момент –dM уравновешивается моментом тангенциальных сил

.

Отсюда в силу равенства (2) получаем величину тангенциальной силы

. (3)

Приравняв действующую на элемент результирующую силу

произведению массы элемента на ускорение

,

где — плотность стержня, S – площадь поперечного сечения (при этом мы пренебрегаем вращательным движением при изгибе), получаем уравнение поперечных колебаний стержня

(). (1)

Граничными условиями для заделанного конца x=0 являются неподвижность стержня и горизонтальность касательной

, . (4)

На свободном конце должны равняться нулю изгибающий момент (2) и тангенциальная сила (3), откуда следует, что

, . (5)

Для того чтобы полностью определить движения стержня, нужно еще задать начальные условия – начальное отклонение и начальную скорость

, (). (6)

Таким образом, задача сводится к решению уравнения (1) с граничными условиями (4), (5) и с начальными условиями (6).

Будем решать задачу методом разделения переменных, полагая

Подставляя предлагаемую форму решения в (1), имеем:

.

Для функции Y(x) получаем задачу о собственных значениях

, (8)

, , , . (9)

Общее решение уравнения (8) представляется в виде

.

Из условий Y(0)=0, Y’(0)=0 находим C=-A, D=-B. Отсюда следует, что

.

Условия Y’’(l)=0 и Y’’’(l)=0 дают:

Эта однородная система имеет нетривиальные решения A и B, если определитель системы равен нулю. Приравнивая этот определитель нулю, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений

.

Так как , то это уравнение можно записать в идее

(). (10)

Корни уравнения (10) без труда вычисляются, например, графически

Последняя формула дает значение с точностью до трех десятичных знаков, начиная с n=3, и с точностью до шестого знака для .

Рассмотрим теперь частоты колебаний камертона. Уравнению

Удовлетворяют тригонометрические функции

,

Частоты собственных колебаний относятся как квадраты . Так как

,

То второй собственный тон выше основного тона более чем на две с половиной октавы, т.е. выше шестой гармоники струны при равном основном тоне, третье же собственное колебание выше основного тона более чем на четыре октавы. Например, если камертон имеет основную частоту в 440 колебаний в секунду (принятый стандарт a’ – ноты ля первой октавы), то следующая собственная частота камертона будет 2757,5 колебания в секунду (между c’’’’ =2637,3 и f’’’’=2794,0 – между нотами ми и фа четвертой октавы равномерно-темперированной гаммы), третья же собственная частота в 7721,1 колебания в секунду уже выходит за пределы шкалы собственно музыкальных звуков.

При возбуждении колебаний камертона ударом присутствует не только первая, но и высшие гармоники, чем и объясняется металлический звук в начальный момент. Однако с течением времени высшие гармоники быстро затухают и камертон издает чистый звук основного тона.

Дифференциальные уравнения с частными производными широко применяются в математической физике. В качестве примера в данной работе рассмотрены два уравнения.

Волновое уравнение с краевыми условиями можно свести к решению формулы Даламбера, задающуюся начальными условиями. И с помощью фазовой плоскости можно отследить характер его решения.

В процессе решения «уравнения поперечных колебаний стержня» получаем задачу о собственных значениях и задачу о нахождение частот собственных колебаний. Причем частоты собственных колебаний относятся как квадраты собственных значений.

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики», Москва, 1966 г.

Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», Москва, 1970 г.

Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов «Уравнения в честных производных математической физики», Москва, 1970 г.

Лекция 6. Метод Даламбера

В этой лекции решение задачи Коши для волнового уравнения

Шаг 1. Заменим переменные (x, t) новыми переменными (ξ,η), в которых волновое уравнение примет другой вид: Такая замена выполняется по формулам

После подстановки этих производных в волновое уравнение, получим:

что и требовалось доказать.

Шаг 2. Преобразованное уравнение легко решается двумя последовательными интегрированиями (сначала по переменной η , а затем по ξ):

где C₁(η) – произвольная функция от η. Так как C(ξ) – произвольная функция, то и – также произвольная функция.

Окончательно, общее решение U(ξ,η) имеет вид

Шаг 3. Для нахождения общего решения первоначального уравнения подставим в (25) вместо ξ и η выражения (24):

Шаг 4. Определим функции C₁ и C₂, используя начальные условия из (23). После подстановки первого условия получим

Найдем производную функции U в (26) по переменной t и подставим второе условие:

В результате будем иметь систему уравнений

Если проинтегрировать второе уравнение системы (27) по x в пределах от x_o до х , то получим следующую систему:

При сложении этих уравнений получим

Если из первого уравнения системы вычесть второе уравнение, то будем иметь

Подставим теперь полученные функции в общее решение (26):

Поменяем местами пределы интегрирования во втором интеграле, стоящем в скобках в (28). В результате получим решение исходной задачи Коши

Формула (29) называется формулой Даламбера.

Далее мы исследуем решение, определяемое по формуле Даламбера.

Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера

При исследовании формулы Даламбера будем исходить из физического смысла волнового уравнения. Рассмотрим уравнение свободных колебаний бесконечной струны

и начальные условия

Такая задача Коши с помощью замены независимой переменной сводится к задаче (23):

Решение преобразованной задачи имеет вид (см. формулу Даламбера (29):

Если теперь в эту формулу вместо τ подставить at, то получится решение исходной задачи

Прежде, чем перейти к физической интерпретации этой формулы, сделаем следующее замечание.

Замечание. Рассмотрим в отдельности функции C₁(x-at) и C₂(x-at), входящие в общее решение (26) (коэффициент а в них появился потому, что нас сейчас интересует более общее уравнение (30)). Начнем с функции C₁(x-at) и построим графики этой функции при возрастающих значениях t: t=t_o, t=t₁, t=t₂ и т.д. (см. рис. 8).

Если по очереди проецировать эти картинки на экран (как в мультфильмах), то они «побегут» вправо. Процесс передвижения отклонения по струне называется волной. При этом коэффициент а является скоростью распространения волны. В самом деле, предположим, что параллельно оси х движется наблюдатель со скоростью а. Пусть в некоторый момент t_o он находился в точке x_o. Тогда за промежуток наблюдатель сместится вправо на величину и окажется в точке Если в точке x_o наблюдатель видел отклонение струны на величину то в момент t величина отклонения – будет точно такой же! То есть наблюдатель будет видеть форму струны не изменяющейся.

Вторая функция C₂(x-at) тоже представляет собой волну, но только она будет распространяться со скоростью а влево. Часто функции C₁(x-at) и C₂(x-at) называют, соответственно, прямой и обратной волной. Таким образом, общее решение U(x,t) (формула (26)) волнового уравнения является суперпозицией прямой и обратной волны.

Теперь дадим интерпретацию формулы Даламбера для двух частных случаев.

СЛУЧАЙ 1. Предположим, что начальное отклонение отлично от нуля, а начальная скорость равна нулю. Это означает, что начальные условия имеют вид

При таких начальных условиях получается решение задачи Коши, которое называется волной отклонения. Уравнение волны отклонения определяется формулой Даламбера

то есть решение U в некоторой точке x_o в момент времени t_o зависит от значений начальной функции φ в двух точках на оси х: в точке (x_o — at_o) и в точке (x_o + at_o) (см. рис. 9).

Значение U равно среднему арифметическому значений начальной функции φ в точках (x_o — at_o) и (x_o + at_o). На рис. 9 изображена плоскость xOt, которая называется фазовой плоскостью. На оси х указаны точки (x_o — at_o, 0) и (x_o + at_o, 0), в которых начальные отклонения струны определяют величину отклонения струны в точке x_o в момент времени t_o. Эти точки являются точками пересечения прямых x — at = x_o — at_o и x + at = x_o + at_o с осью х. Указанные прямые называются характеристиками волнового уравнения. Треугольник с вершиной в точке (х_o, t_o) и основанием, которое получается при пересечении характеристик с осью х (см. рис. 9), называется характеристическим треугольником.

Используя такую интерпретацию формулы Даламбера, изобразим фазовую картину решения следующей задачи:

Замечание. На самом деле начальные отклонения струны не могут быть разрывными в точках х = -1 и х = 1, ведь струна не разрывается. Однако мы не слишком сильно погрешим против истинной картины распространения колебаний, если будем считать их кусочно постоянными. Дело в том, что, во-первых, рассматриваются очень малые колебания струны, и, во-вторых, малые изменения начальных значений незначительно влияют на решение задачи.

На рисунке 10 изображена фазовая плоскость x0t. Решение U(x,t) задачи отлично от нуля только в заштрихованных областях, причем начальное отклонение распространяется с одинаковой скоростью в двух противоположных направлениях – возникает прямая и обратная волны. Границы этих областей – это характеристики волнового уравнения: x — at = -1, x — at = 1, x + at = -1, x + at = 1.

Если рассмотреть процесс колебания некоторой фиксированной точки струны x = x_o, то нетрудно заметить, что она колеблется только в конечный промежуток времени: от момента до момента , то есть В остальное время точка x_o находится в покое. Говорят, что в момент t₁ через точку x = x_o проходит передний фронт волны, а в момент t₂ — задний фронт волны. Вообще, фронтом волны называется граница между возмущенной (колеблющейся) и невозмущенной областями среды (точками струны). Для прямой волны уравнение переднего фронта x — at = 1, а заднего фронта x — at = -1. Для обратной волны, соответственно, x + at = -1 — уравнение переднего фронта, а x + at = 1 — заднего фронта.

СЛУЧАЙ 2. Пусть начальное отклонение равно нулю, а начальная скорость отлична от нуля. Это означает, что начальные условия имеют вид

В этом случае решение задачи Коши называют волной импульса. Оно имеет вид (см. формулу Даламбера)

то есть решение U в некоторой точке x_o в момент времени t_o зависит от начальных скоростей ψ во всех точках отрезка [x_o — at_o , x_o + at_o] (см. рис 11). Значение U равно (интегральному) среднему значению начальной скорости на отрезке [x_o — at_o , x_o + at_o], умноженному на промежуток времени t.

На рис. 11 изображена фазовая плоскость x0t. Точки (x_o — at_o, 0) и (x_o + at_o, 0) являются точками пересечения характеристик x — at = x_o — at_o и x + at = x_o + at_o с осью х. В качестве примера приведем фазовую картину решения следующей задачи:

Рис. 12 описывает процесс колебания струны, которой сообщается начальная единичная скорость на отрезке -1

При вычислении интеграла всегда удобно представить себе характеристический треугольник с вершиной в точке, лежащей в соответствующей области (см. рис 12). Тогда значение U(x,t) будет определяться значениями начальной функции ψ(x) в основании характеристического треугольника.

2. В области 2 функция

3. В области 3 функция

4. В области 4 функция

5. В области 6 функция

Это решение в различные моменты времени можно изобразить на плоскости x0U (см. рис 13). Здесь для простоты положим a=1.

Графики функции U(x,t), изображенные на рис. 13, задают форму струны в различные моменты времени.