Решение графически уравнение 8 класс

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»

Разделы: Математика

Всякое учение и всякое обучение основано на некотором уже ранее имеющемся знании.

Цели:

• обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения;
• научить решать уравнения графическим способом, в частности используя возможности компьютерных программ;
• учить анализировать, выделять главное, сравнивать.

Формирование компетенций: компетенции самосовершенствования – саморегулирование и саморазвитие, речевое развитие (через устную и самостоятельную работу, формулировка выводов); компетенции социального взаимодействия – сотрудничество; компетенции в общении – устном, письменном; компетенции познавательной деятельности – постановка и решение познавательных задач, проблемные ситуации (их создание и разрешение), прогнозирование деятельности; компетенции информационных технологий – приём, переработка и выдача информации, компьютерная грамотность.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Средства обучения: компьютер, медиапроектор, презентация (Приложение 1).

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная, диалог, работа с текстом слайда, работа в тетради, парная.

Методы: наглядный, словесный, графический (практический).

Методы мотивации: поощрение, порицание; создание проблемной ситуации, побуждение к поиску решения; предъявление учебных требований, прогнозирование будущей деятельности, самооценка деятельности; создание ситуации взаимопомощи, заинтересованность в результатах коллективной работы.

1. Оргмомент (1 мин.)

2. Актуализация знаний (12 мин.)

А). По карточкам (на доске):

№1. Решите уравнение 4х + 8 = –17 + 9х.
№2. Решите уравнение х 2 + х – 2 = 0.
№3. Решите уравнение х 2 = .
№4. Заполните таблицу:

(На этом этапе можно организовать взаимопроверку и взаимопомощь, если возникнет такая необходимость).

Б). Устная фронтальная работа. (Здесь и далее: подчёркивание – моменты управления презентацией)

Что называется функцией?

С какими функциями уже знакомы? (На партах – памятка, по которой учащиеся вспоминают связь между графиком и формулой, задающих функцию: Приложение 2).

Я предлагаю вашему вниманию формулы, задающие некоторые функции. Из этих функций нужно выбрать линейные. Но перед этим давайте вспомним определение линейной функции. (Работаем со слайдом 2).

Давайте вспомним, что является графиком (гиперссылка) линейной функции.

Среди выбранных нами линейных функций есть особенные. Что это за функции? Чем отличаются графики? (Разбейте линейные функции на две группы). (Работаем со слайдом 3).

Остались функции, о которых мы ничего ещё не сказали. Давайте дадим им название, и название их графикам. (Работаем со слайдом 4).

Что называется уравнением? Корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие уравнения мы уже можем решать?

В) Проверяется работа по карточкам №1; №2; №3.

1) 4х + 8 = –17 + 9х,
4х – 9х = – 17 – 8,
– 5х = – 25,
х = 5.
Ответ: 5.

2) х 3 + х – 2 = 0,
D = в 3 – 4ас = 12 – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0, уравнение имеет два корня.
х₁ = 1;
х₂ = – 2.
Ответ: 1; – 2. (Могут решать по свойству корней: а + в + с = 0).

3) х 2 = ,
х 3 = 6,
х 3 – 6 = 0. – Мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени. Как быть?

Значит, нужен другой способ решения таких уравнений. Как вы думаете, что это может быть за способ (исходя из устной работы). Одним из способов является графический способ. Записывается тема урока, (слайд 5).

Г). Давайте поставим цель урока. (Научиться решать уравнения с помощью графиков, слайд 6).

3. Изучение новой темы и первичное закрепление (15 мин.)

Мы получили уравнение х 3 – 6 = 0. Но строить график функции у = х 3 – 6 мы ещё не умеем. Т.е., что получается: это уравнение и графическим способом мы не можем решить? А может быть, нужно вернуться к первоначальному уравнению: х 2 = (слайд 7). Что мы видим внутри этого уравнения? Есть ли выражения, из которых мы можем составить знакомые нам функции? (Да: у = х 2 и у = ). Что нужно сделать?
– Построить их графики.

– В одной координатной плоскости.

– Дальше найдём координаты точки пересечения.

– Нет, только значение х.

Итак, давайте ещё раз выработаем алгоритм решения уравнений графическим способом (каждый этап подтверждается показом в «Живой геометрии», Приложение 3). Используются результаты индивидуальной работы по заполнению таблицы (карточка №4). Учащиеся работают в тетрадях. Некоторые этапы в тетради записываются подробно, (слайд 7).

• Из уравнения выделяем знакомые нам функции.
• Строим графики функций в одной координатной плоскости.
• Находим координаты точек пересечения графиков.
• Из найденных координат выбираем значение абсциссы, т.е. х.
• Записываем ответ.

4. Физминутка (1 мин.)

5. Закрепление (5 мин.)

• Сколько корней имеет уравнение? (Гиперссылка – слайд 8, в «Живую геометрию», 3 страницы. Приложение 4). а) б) х + 2 = х 2 ; в) = х 2 .
• Попади в цель! (Слайд 9. Работа со слайдом показана на рисунке 1)

6. Домакшнее задание (слайд 10): (1 мин)

• п.26;
• № 623 (а), № 624(а);
• №4.10 на стр.117 (сборник Л.В.Кузнецовой): Наташа, Настя, Кирилл, Сергей.

7. Применение в образовательной области (1 мин)

Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, н-р, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках информатики, работая в электронных таблицах Excel, вы будете учиться строить графики, решать уравнения. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, удоя молока; в инженерных специальностях это умение очень важно.

8. Проверочная работа в виде теста (6 мин)

В – 1:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = – 2; б) у = х – 2; в) у = х 2 – 2.

2. График функции у = называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = ; 2) у = 2х 2 ; 3) у = х – 2; 4) у = 2х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 3 изображены графики функций у = х 3 и у = –2 х – 3. Используя графики, решите уравнение: х 3 = – 2х – 3.

В – 2:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = + 1; б) у = + 1; в) у = х 5 + 1.

2. График функции у = 3х 2 называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = – ; 2) у = х 2 – 1; 3) у = – х; 4) у = 1 – х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 5 изображены графики функций у = – х 2 + 2 и у = . Используя графики, решите уравнение: – х 2 + 2 = .

Ответы:

В – 1: 1. б 2. б 3. 1 – Б; 2 – А; 3 – В; 4 – Г 4. б
В – 2: 1. а 2. в 3. 1 – В; 2 – Г; 3 – А; 4 – Б 4. а

9. Рефлексивно-оценочный этап (отвечают письменно в тетради после выполнения теста) (2 мин.) (Слайд 11)

а) за теоретический опрос;
б) за фронтальную работу;
в) за самостоятельную работу.

Алгебра. 8 класс

Тема: Решение уравнений графическим способом

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Решим графическим способом уравнение:

Решить уравнение – значит найти такие значения x, при которых выполняется равенство x 2 = −3x
Построим в одной системе координат два графика:
график функции y = x 2 и график функции y = −3x.
Для каждого графика составим таблицы значений
y = x 2 – на рисунке синий график

y = −3x – на рисунке красный график

Заметим, что графики пересекаются в двух точках: точке с координатами (0 ; 0) и в точке с координатами (–3 ; 9). Это значит, что при x = 0 и при x = –3 функции y = x 2 и y = −3x имеют одинаковые значения.
Таким образом получаем, что при x = 0 и при x = –3 выполняется равенство x 2 = −3x.
Значит значения x = 0 и x = –3 являются корнями уравнения x 2 = −3x.
Корни, найденные графическим способом – приближённые. Чтобы доказать точность значений корней, надо каждый из них подставить в решаемое уравнение и проверить: выполняется ли полученное равенство.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = 0.

0 = 0 – верное равенство, значит x = 0 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = –3.

9 = 9 – верное равенство, значит x = −3 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подведём итог.
Чтобы решить уравнение f₁(x) = f₂(x) графическим способом, необходимо:
1) Построить в одной системе координат графики функций y = f₁(x) и y = f₂(x). Абсциссы точек пересечения – это приближённые корни уравнения f₁(x) = f₂(x).
2) Необходимо подставить каждый приближённый корень в уравнение f₁(x) = f₂(x). Те корни, при которых получается верное равенство будут являться точными корнями уравнения f₁(x) = f₂(x).

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Открытый урок по алгебре 8 класс «Графическое решение уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Графическое решение уравнений.pptm

Описание презентации по отдельным слайдам:

Выбранный для просмотра документ Открытый урок по теме Графическое решение уравнений. Алгебра 8 класс..docx

План-конспект открытого урока

ФИО учителя, школа

Лобачева Татьяна Валентиновна, ГБОУ СОШ с. Озерки

Графическое решение уравнений

21 января 2019 года

Урок «открытия» новых знаний

Создать ситуацию, при которой обучающиеся смогут вывести алгоритм графического решения уравнений. Сформировать умение решать уравнения графическим способом.

Личностные результаты(Л) :установление учащимся значения результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, жизненных интересов

Коммуникативные УУД (К): строить монологические высказывания в устной форме (достаточно полно и точно выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации); слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказанные в устной и письменной формах); владеть монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами русского языка.

Регулятивные (Р): соотнесение выявленной учебной информации с собственными знаниями и умениями; принятие решения об использовании помощи; составление и реализация плана деятельности при освоении учебной информации; контроль усвоения учебной информации;

оценивание результатов выполненной деятельности.

Познавательные (П): формулирование проблемы; выдвижение гипотез и их обоснование;

самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Предметные результаты: ученики должны знать алгоритм графического способа решения уравнений, уметь решать уравнения графическим способом, использовать приёмы саморегуляции для выполнения заданий типа «построить графики функций».

Формы работы учащихся

Фронтальная, индивидуальная, работа в группе.

Необходимое техническое оборудование

Мультимедийный проектор, компьютер, экран, раздаточный материал.

Структура и ход урока

1. Деятельность учителя

3. Деятельность учащихся

(осуществляется через действия)

ЭТАП I . Мотивация к учебной деятельности (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только с интересом. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!». Давайте будем следовать совету писателя: будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием. В листе оценивания вы будете выставлять оценки, полученные вами за каждый этап урока.

-Открываем тетради и записываем число, классная работа.

Тему урока сформулируем позже.

Учащиеся готовы к началу работы

— Принятие и сохранение познавательной цели (учебной задачи);

— Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели (учебной задачи)

ЭТАП II . Повторение и актуализация необходимых знаний (5 мин)

Начнем урок с устного задания «Установите соответствие между графиком функции и уравнением» (на партах карточки с ответами и таблицы соответствия):

Выберите правильные ответы и получите фамилию математика, который внес вклад в развитие учения о функциях (См приложение 1)

Леонард Эйлер (1707-1783) (см. резерв к уроку)

Электронная презентация Слайд 3(2 мин)

Работая индивидуально, устно выполняют предложенные задания.

— Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности;

— Анализ объектов для выделения свойств и признаков объектов;

— Строить монологические высказывания в устной форме (достаточно полно и точно выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации);

— Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказанные в устной и письменной формах);

ЭТАП III . Создание проблемной ситуации и формулирование проблемы (5 мин)

а) 9х 2 + 0,27х = 0

В случае затруднения.

Правая часть равна 0. Как можно преобразовать левую часть?

Теперь решим уравнение

Какие трудности возникли? Чем отличается 3-е уравнение от первых двух?

Что напоминают вам левая и правая части уравнения?

Какая функция стоит в левой части? В правой части??

-Что является графиком функции у=х 2 ? Что является графиком функции у=х+2?

Тема нашего урока «Графическое решение уравнений». Запишите в тетрадях тему урока

Какова цель работы на уроке?

Электронная презентация Слайд 4 (2 мин)

Отвечают на поставленные вопросы.

Левую часть можно разложить на множители и воспользоваться условием равенства нулю произведения

Отвечают на поставленные вопросы.

Формулируют тему и цель урока. Записывают в тетради дату и тему урока.

Сформулировать правило решения уравнений графическим способом и научиться его применять

— Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности формулирование проблемы;

— Выдвижение гипотез и их обоснование;

самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера;

— Выбор эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; —

— Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

ЭТАП IV . Выдвижение гипотез, составление плана действий для решения проблемы, её решение (создание эталона) (6 мин)

Есть ли какие-нибудь предложения?

В случае затруднения

Рассмотреть пример 1 в учебнике

Как вы считаете, решили мы поставленную задачу?

Электронная презентация 5 слайд (3 мин)

Учащиеся формулируют алгоритм.

Предполагаемый ответ: Да, решили.

-Выдвижение гипотез и их обоснование;

-Самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера

— Построение речевых высказываний в устной и письменной формах;

— Анализ объектов для выделения свойств и признаков объектов;

— Синтез (в т.ч. самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов);

— Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других

Физкультминутка (2мин )Давайте немного отдохнем.

Пауза – сказка.(См приложение 3)

Установление учащимся значения результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, жизненных интересов;

ЭТАП V . Первичное закрепление (действие в форме громкой, внешней речи) (7 мин)

Давайте выполним задание

Решить уравнения х 2 = 2х

Какой вывод можно сделать о количестве корней уравнения?

Электронная презентация (4 мин)

Выполняют решение, проговаривая правило вслух.

Учащихся работают в группах, комментируя решение,

Сличают результат с эталоном

Учащиеся делают вывод.

— Построение речевых высказываний в устной и письменной формах;

— Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности

— Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других

— Соотнесение выявленной учебной информации с собственными знаниями и умениями;

— Анализ объектов для выделения свойств и признаков объектов;

— Синтез (в т.ч. самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов);

ЭТАП VI . Самостоятельная работа (действие в форме внутренней речи)(11 мин)

1. Карточка для работы в паре «Найди ошибку» (Приложение 4)

а) ошибка в построении графика

б) ошибка в записи ответа

Что вы посоветуете своему однокласснику, на что обратить внимание при решении уравнений графическим способом?

2. Приступаем к выполнению самостоятельной работы. Раздаются задания на карточках в двух вариантах, выполнив которую, ученики

I вариант. 38.2 (б), 38.3 (б)

II вариант. 38.4 (а), 38.5 (г)

Электронная презентация (4 мин)

Работают в группе.

Проверка выполняется фронтально.

Надо знать графики функций, помнить, что в ответе записываются только абсциссы точек пересечения.

Выполняют самостоятельную работу.

Выполняют самопроверку по эталону. Если допущена ошибка, то проговаривается шаг алгоритма, в котором она допущена.

— Анализ объектов для выделения свойств и признаков объектов;

— Самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов);

— Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности

установление причинно-следственных связей;

— Выбор эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

— Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;

— Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других

— Контроль усвоения учебной информации;

— Оценивание результатов выполненной деятельности;

ЭТАП VII . Включение изученной учебной информации в систему известных знаний (4 мин)

Молодцы! Итак, «момент истины»

Графический способ решения уравнений занимает важное место в курсе математики.

Такого рода задания развивают , мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

Электронная презентация (4 мин)

Обучающиеся дают ответы.

— Сериация и классификация;

— Установление причинно-следственных связей;

Структурирование информации и знаний (в т.ч. составление текстов) и её понимание;

— Построение речевых высказываний в устной и письменной формах

— Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других

— Соотнесение выявленной учебной информации с собственными знаниями и умениями;

— Составление и реализация плана деятельности при освоении учебной информации;

— Оценивание результатов выполненной деятельности;

ЭТАП VIII . Рефлексия деятельности (соотнесение результатов с поставленными целями урока).Домашнее задание (5\мин)

Наш урок подходит к концу. Давайте обсудим: какие задания

вызвали у вас затруднения и почему?

Сегодня на уроке я узнал……..
Было интересно……….
Теперь я могу……………
Полученные знания мне пригодятся ………

Оцените свою деятельность на уроке

«3» — на этом уроке не ставится).

(см приложение 2)

Учащиеся анализируют свою

работу, выражают вслух

свои затруднения, оценивают свою деятельность

— Построение речевых высказываний в устной и письменной формах;

— Рефлексия способов и условий действия;

— Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности;

— Строить монологические высказывания в устной форме (достаточно полно и точно выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации);

— Слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других

Выучить алгоритм решения уравнений графическим способом

Записывают домашнее задание в дневник

Резерв. Историческая справка.

Идеальный математик 18 века — так часто называют Эйлера(1707-1783). Он родился в маленькой тихой Швейцарии. Примерно в то же время переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию. Но когда ребята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не хватит места для их умов. Зато в России была учреждена в 1725 году Академия Наук. Русских ученых не хватало, и тройка друзей отправилась туда. Поначалу Эйлер расшифровывал дипломатические депеши, обучал молодых моряков высшей математике и астрономии, составлял таблицы для артиллерийской стрельбы и таблицы движения Луны. В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через 8 лет он переехал из Петербурга в Берлин. Там «король математиков» работал с 1741 по 1766 год; потом он покинул Берлин и вернулся в Россию. Удивительно: слава Эйлера не закатилась и после того, как ученого поразила слепота (вскоре после переезда в Петербург). В 1770-е годы вокруг Эйлера выросла Петербургская математическая школа, более чем наполовину состоявшая из русских ученых. Тогда же завершилась публикация главной его книги — «Основ дифференциального и интегрального исчисления». В начале сентября 1783 Эйлер почувствовал легкое недомогание. 18 сентября он еще занимался математическими исследованиями, но неожиданно потерял сознание и «прекратил вычислять и жить». Похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге, откуда его прах перенесен осенью 1956 в некрополь Александро-Невской лавры. Л. Эйлер.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Лист самооценки

Жили-были два графика: Парабола и Прямая. Очень они друг друга недолюбливали. Их мамами были квадратичная и линейная функции (двоюродные сестры).

Парабола говорила : “Я такая изящная и гибкая! У меня две ветви! А в тебе, Прямая, нет ничего особенного”.

А Прямая твердила в ответ : “Нет, я самая стройная, не то, что эта горбатая парабола!”.

В один из теплых осенних дней гуляли графики в системе координат имени Декарта. Долго они гуляли, каждая сама по себе и рассуждали вслух о том, что она самая красивая и умная. Вдруг встретились они в одной общей точке.

Парабола кричит : “Уходи, это моя точка!”.

А Прямая в ответ : “ Ты ошиблась, парабола! Эта точка принадлежит мне”.

Долго они спорили. Никто из них и не заметил, как теплый день плавно перешел в прохладный вечер.

В конце концов, графики поняли, что у них есть что-то общее – ведь точка принадлежала обеим функциям и являлась их точкой пересечения. А абсцисса этой точки — не что иное, как значение аргумента, при котором функции принимают одно и то же значение.

С тех пор прямая и парабола стали жить, поживать и добра наживать, да квадратные уравнения помогать решать ”.