Решение графически уравнения для 7 класса

Урок математики в 7-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»

Разделы: Математика

Цели: обучить новому способу решения уравнений, развивать умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; формировать аккуратность, внимательность, интерес, культуру математической речи.

1. Организационный момент

Анализ выполнения самостоятельной работы «Квадратичная функция и её график».

2. Актуализация знаний и умений учащихся

Основные определения и понятия темы вспомним, разгадывая кроссворд. (Приложение 1, слайд 2)

1. у = кх + в, у = кх, у = х 2 – всё это функции.
2. График линейной функции – прямая. Сколько точек нужно для построения?
3. График квадратичной функции – парабола? Как построить?
4. Точка (0,0) – для параболы – вершина.
5. Вторая координата точки – ордината.
6. В записи у = кх + вх – аргумент.
7. х + 5 = 0, х = – 5, что такое – 5? Корень.
8. Первая координата точки – абсцисса.
9. Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется – ветвь.

Прочитайте главное слово в кроссворде. Что оно означает? Уравнение – равенство, содержащее неизвестную.

Но разве мы сейчас учимся решать уравнение? Нет, изучаем функции. Наша задача связать два математических понятия – функции и уравнения. Тема сегодняшнего урока – «Графическое решение уравнений».

3. Подготовка к восприятию нового способа действия (Приложение 1, слайд 3)

а) 9 + 13х = 35 + 26х –13х = 26 х = – 2

б) 3х – 2 = 1 3х = 3 х = 1

в) 9х 2 + 0,27х = 0 9х(х + 0,03) = 0 9х = 0 х + 0,03 = 0 х = 0 х = –0,03

г) х 2 – 25 = 0 (х – 5)(х + 5) = 0 х = 5 х = – 5 д) х 2 = х + 2?

Не подходит ни один из известных способов.
А может, попробуем угадать корни?
Рассмотрим внимательно левую и правую части уравнения. Что напоминает? Функции квадратную и линейную. Но, между ними знак равенства.
y = x 2 и y = x + 2. Что одинаково в этих записях? Правые части равны, значит равны и левые. У графиков этих функции есть одинаковые значения y. Как их найти? Построить оба графика в одной системе координат. (Приложение 1, слайд 5)

Сколько таких точек? Назовите их координаты ((–1; 1),(2; 4)) Но каждая точка – (x; у), а в уравнении только – х. Значит в ответе – х.

Таким образом, мы с вами решили уравнение графическим способом. Назовем все этапы. (Приложение 1, слайд 6)

1. Уравнение разбиваем на две функции.
2. Строим графики в одной системе координат.
3. Находим точки пересечения.
4. Ответ – только х.

x 2 = –3x
y = х 2 и у = – 3х

Пауза – сказка. Инсценировка с участием двух учениц. (Приложение 1, слайд 8)
“Жили-были два графика: Парабола и Прямая. Очень они друг друга недолюбливали. Их мамами были квадратичная и линейная функции (двоюродные сестры). Парабола говорила: “Я такая изящная и гибкая! У меня две ветви! А в тебе, Прямая, нет ничего особенного”. А Прямая твердила в ответ: “Нет, я самая стройная, не то, что эта горбатая парабола!”.
В один из теплых осенних дней гуляли графики в системе координат имени Декарта. Долго они гуляли, каждая сама по себе и рассуждали вслух о том, что она самая красивая и умная. Вдруг встретились они в одной общей точке и стали ругаться. Парабола кричит: “Уходи, это моя точка!”. А Прямая в ответ: “ Ты ошиблась, парабола! Эта точка принадлежит мне”. Долго они спорили. Никто из них и не заметил, как теплый день плавно перешел в прохладный вечер. В конце концов, графики поняли, что у них есть что-то общее – ведь точка принадлежала обеим функциям и являлась их точкой пересечения. С тех пор прямая и парабола стали жить, поживать и добра наживать”.

4. Закрепление материала. Самостоятельное решение

Ответ: Нет корней

х 2 + 2х – 3 = 0. Как поступить? Ваше мнение? (Приложение 1, слайд 11)
х 2 = – 2х + 3
у = х 2
у = – 2х +3

– Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? (Функции и уравнения, чтобы решить уравнения)
– Как решить уравнение графическим способом?
– Этот способ будем применять в старших классах по мере изучения новых функций.
– Сложно ли решать уравнение?

Надо же как все просто…
Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного.

Решение графически уравнения для 7 класса

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Презентация по математике на тему «Графическое решение уравнений» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ графическое решение уравнений.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок математики в 7-м классе по теме «Графическое решение уравнений» Составила учитель математики КГКОУ КВСОШ №5 Бойко Татьяна Анатольевна

1. y=kx+b, y=kx, y=x² — все это … ? Ф У Н К Ц И Я 2. График линейной функции — …. П Р Я М А Я 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 3.График квадратичной функции — … ? П А Р А Б О Л А 4. Точка (0,0) – для параболы … ? 5. Вторая координата точки — …? 6. В записи y=kx+b x — …? 7. X+5=0, x=-5, что такое -5? 8. Первая координата точки — …? 9. Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется — …? В Е Р Ш И Н А О Р Д И Н А Т А А Р Г У М Е Н Т К О Р Е Н Ь А Б С Ц И С С А В Е Т В Ь функция и уравнение ?

1) 9 +13x=35+26х 2) 3x²+6х=0 3) x² — 49 =0 4*) x² = x + 2 Х = — 2 Х1 = — 2; Х2 = 0 Х1 = -7; Х2 = 7 Х1 = -1; Х2 = 2

-13x=26 x=-2 (x-7)(x+7)=0 x=7 x=-7 3x(x+2)=0 3x=0 x+2=0 x=0 x=-2 x²- x — 2=0 x²+x – 2x — 2=0 x(x+1)-2(x+1)=0 (x+1)(x-2)=0 x= — 1 x=2

Ответ: х=-1; х=2 y=x² y=x+2 x² = x + 2 y=x+2 функция и уравнение ? (2; 4) (-1; 1) (х; y) Х01 у23

Тема урока Математика

Ответ: х=-1; х=2 y=x² y=x+2 x² = x + 2 y=x+2 (2; 4) (-1; 1) (х; y)

Уравнение разбиваем на 2 функции: y = х2 (или y = -х2 )и y = kx + b. Строим графики функций в одной системе координат. Отмечаем все точки пересечения графиков функций. Находим абсциссы точек пересечения (это и есть корни уравнения). Алгоритм:

Каким может быть взаимное расположение прямой и параболы? Пересекаются в двух точках Не пересекаются Касаются в одной точке

x²=2x-1 x²=2x-3 -x²=-x-2 x²+x-6=0 5) 6) 7) 8*)

Решить графически уравнение x²+x-6=0 1. Перенесем -6 в правую часть уравнения. Получим равносильное данному уравнение x²+x=6 2. Построим графики функций y=x²+x и у=6 ?

Решить графически уравнение x²+x-6=0 1. Перенесем x-6 в правую часть уравнения. Получим равносильное данному уравнение x²=-x+6 2. Построим графики функций у=x² и у=-x+6 ?

Решить уравнение x²=-x+6 у=х² у=-6х-8 Ответ: х=-4;х=-2 -4 -2 X Y -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 Ответ: -3; 2.

Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? Какую цель мы ставили на уроке? Какими умениями вы оперировали? Что получилось, а над чем Вам придется поработать? Как решить уравнение графическим способом? Сложно ли решать уравнение?

Надо же как всё просто… Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного. Р. Бах «Иллюзии»

Выбранный для просмотра документ графическое решение уравнения.docx

Цели: обучить новому способу решения уравнений, развивать умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; формировать аккуратность, внимательность, интерес, культуру математической речи.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только с интересом. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!». Давайте будем следовать совету писателя: будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием. В листе оценивания вы будете выставлять баллы, полученные вами за каждый этап урока. Открываем тетради и записываем число, классная работа. Тему урока сформулируем немного попозже.

2. Актуализация знаний и умений учащихся

На прошлых уроках мы говорили о функции у=х 2 и ее графике. Давайте вспомним основные определения и понятия темы, разгадывая кроссворд. (слайд 2)

График линейной функции – прямая. Сколько точек нужно для построения?

График квадратичной функции – парабола ? Как построить?

Точка (0,0) – для параболы – вершина.

Вторая координата точки – ордината.

х+5=0, х= -5, что такое -5? — к орень.

Первая координата точки – абсцисса.

Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется – ветвь.

Прочитайте главное слово в кроссворде. Что оно означает? Уравнение – равенство, содержащее неизвестную.

Но можно ли связать два математических понятия – функция у=х 2 (с которой мы познакомились) и уравнение? Давайте разбираться. Но для начала предлагаю вам решить самостоятельно несколько уравнений. На эту работу даю вам 7 мин.

3. Подготовка к восприятию нового способа действия (слайд 3)

2) 3х 2 + 6х = 0
3х(х + 2) = 0
0 или х + 2 = 0
х = -2

3) х 2 – 49 = 0 4 * ) х 2 = х + 2
(х – 7)(х + 7) = 0 х 2 — х – 2=0
х = 7 или х = – 7 х 2 + х — 2х – 2=0

Последнее уравнение мы решали способом группировки, такой способ как видно сложен для восприятия, да к тому же не всегда подходит. Как быть? А может, попробуем угадать корни?
Рассмотрим внимательно левую и правую части уравнения. Что напоминает? Функции квадратичную и линейную. Но, между ними знак равенства. y = x 2 и y = x + 2. Что одинаково в этих записях? Правые части равны, значит равны и левые. У графиков этих функции есть одинаковые значения y. Как их найти? Построимь оба графика в одной системе координат. Как мы видим прямая пересекает параболу в 2-х точках. (слайд 5)

Сколько таких точек? Назовите их координаты ((–1; 1),(2; 4)) Но каждая точка – (x; у), а в уравнении только – х. Значит в ответе – х. Это абсциссы точек, в которых пересекаются построенные графики. Ответ: х=–1; х=2

Нашей задачей было выяснить, как связаны понятия – функция у=х 2 и уравнение. Решили уравнение с помощью графиков функций. Таким образом, мы с вами решили уравнение графическим способом. Поэтому темой сегодняшнего урока будет «Графическое решение уравнений». (слайд 6) Какое умение вы будете показывать сегодня? Как бы вы озвучили цель нашего урока? Цель: уметь решать уравнения графическим способом. (слайд 7)

Назовем все этапы алгоритма решения уравнения графическим способом. (слайд 8)

Уравнение разбиваем на 2 функции: y = х 2 (или y = -х 2 ) и y = k x + b .

Строим графики функций в одной системе координат.

Отмечаем все точки пересечения графиков функций.

Находим абсциссы точек пересечения (это и есть корни уравнения). (слайд 9)

Первичное осмысление материала. (слайд 10)

Вчера на уроке мы с вами говорили о взаимном расположении прямой и параболы.

Каким может быть взаимное расположение прямой и параболы?

Пересекаются в двух точках

Касаются в одной точке

А что это нам дает при решении уравнений?

Уравнение имеет 2 корня

Уравнение корней не имеет

Уравнение имеет 1 корень

4. Закрепление материала. Самостоятельная работа с самопроверкой. (10 мин)

x² =2 x -3 Ответ: корней нет

— x² =- x -2 Ответ: х=-1, х=2

8 * ) x²+x -6=0 Ответ: х=-3, х=2

5. Итоги урока (слайд 16) Урок подходит к концу, давайте подведём итоги. Какую цель мы ставили на уроке? Справились мы с поставленными задачами? Какими умениями вы оперировали? (умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; быть внимательным и аккуратным, культуру математической речи) На следующем уроке мы продолжим отработку этих умений.

– Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? (Функции и уравнения, чтобы решить уравнения)
– Как решить уравнение графическим способом?
– Этот способ будем применять в старших классах по мере изучения новых функций.
– Сложно ли решать уравнение?

«Надо же как все просто…Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного».

Что получилось, а н ад чем Вам придется поработать? Показал/ не показал умение

А теперь продолжите предложение:

Сегодня на уроке я научился…

Сегодня на уроке мне понравилось…

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я закрепил…

Сегодня на уроке я поставил себе оценку …

Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…

В каких знаниях уверен…

Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…

Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…

Насколько результативным был урок сегодня…

Оценочные листы сдайте. Спасибо за урок!