Характеристический многочлен онлайн
Характеристический полином матрицы A , вычисляется следующим образом:
| A − λ E |
где E — единичная матрица, размеры которой совпадают с размерами исходной матрицы A .
Разберем подробнее приведенную выше формулу. Если матрица A задана в виде:
тогда выражение A − λ E имеет вид:
Наконец, нам нужно найти определитель:
Раскрыв этот определитель, мы получим полином n -ой степени ( n — порядок исходной матрицы), зависящий от λ :
P   ( λ ) = c n λ   n + c n − 1 λ   n − 1 + . + c i λ   i + . + c 1 λ   + c 0
Поскольку для вычисления характеристического полинома, требуется нахождение определителя матрицы, то характеристический полином может быть найден только для квадратной матрицы.
Наш онлайн калькулятор находит характеристический полином матрицы, причем в качестве элементов матрицы, можно вводить не только числа и дроби, но и параметры.
Корни характеристического уравнения
Исходная матрица |
Характеристическая матрица |
Характеристический полином |
Его корни |
По заданным элементам матрицы вычисляется его характеристическое уравнение, и находятся его корни. Ограничение сверху — матрица не больше 4 на 4, так как только для уравнения 4 степени, создан калькулятор.
Чем хорош данный калькулятор? Тем что работает в поле комплексных чисел, то есть исходные данные могут быть и вещественными и мнимыми.
Кроме этого, кроме значений можно писать любое математическое уравнение, которое корректно вычислется универсальным калькулятором комплексных чисел, что очень упрощает работу
Для чего нужны характеристические уравнения?
— Приведение поверхности или кривой 2 порядка в канонический вид
— Исследование дифференциальных уравнений на устойчивость
— Определение Жордановой формы матрицы
и многое другое.
Рассмотрим несколько примеров:
Найти общее характеристическое уравнение и его корни, если дана матрица
Введя данные слева направо, сверху снизу мы получим следующий результат
Исходная матрица |
Характеристическая матрица |
Характеристический полином |
Его корни |
Корни полинома 2, 3 и 6. Идет небольшая погрешность, в 15 знаке, но я считаю что это некритично.
Калькулятор матриц — действия с матрицами онлайн
С помощью калькулятора матриц вы сможете выполнять различные преобразования матриц, решать СЛАУ, а также находить некоторые характеристики, как, например, определитель, след и ранг. Подробнее о функционале и использовании калькулятора смотрите после блока с самим калькулятором.
Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: a T ij = aji
Как пользоваться калькулятором матриц
- Выберите матрицу (или матрицы) с помощью переключателей ( )
- Укажите размер с помощью выпадающих списков под матрицей ( × )
- Заполните элементы (нулевые элементы можно не заполнять.)
- Выберите в выпадающем списке требуемую функцию и, если требуется, введите дополнительные параметры.
- Нажмите кнопку .
- Если вывод чисел не устраивает, просто поменяйте его — доступны три варианта представления: правильные дроби (2
Ввод данных и функционал
- В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби ( 1/2 , 29/7 , -1/125 ), десятичные дроби ( 12 , -0.01 , 3.14 ), а также числа в экспоненциальной форме ( 2.5e3 , 1e-2 ).
- Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
- Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
- Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок «Вставить в A» и «Вставить в B».
- Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
- Используйте стрелки ( ← , ↑ , → , ↓ ) для перемещения по элементам
Что умеет наш калькулятор матриц?
Вычисление выражений с матрицами
Вы можете вычислять различные арифметические выражения с матрицами, а также с результатами некоторых преобразований этих матриц.
Из чего могут состоять выражения?
- Целые и дробные числа
- Матрицы A, B
- Знаки арифметических действий: + — * /
- Круглые скобки для изменения приоритета операций: ( )
- Транспонирование: ^T
- Возведение в целую степень: ^
Примеры корректных выражений
- Cложение двух матриц: A+B , (A)+(B) , ((A) + B)
- Возведение линейной комбинации матриц в степень: (3A — 0.5B)^5
- Произведение транспонированной матрицы на исходную: A^TA
- Обратная матрица в квадрате для B: B^-2
Что такое матрица?
Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: An×m .
Примеры матриц
1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 | 1 |
2 | -1 | 0 | 0 |
-3 | 2 | 0 | 0 |
31 | -19 | 3 | -4 |
-23 | 14 | -2 | 3 |
Элементы матрицы
Элементы A обозначаются aij , где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.
Некоторые теоретические сведения
Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: a T ij = aji
Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали — aii
Единичная матрица En×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.
Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение: rank(A)
След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)
Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.
Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение: A n
Обратная матрица A −1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A -1 ×A = A×A -1 = E
Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.
LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. A = L·U
Сложение матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij
Разность матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij-bij
Умножение матриц An×k и Bk×m — матрица Cn×m, у которой элемент (cij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: cij = ai1·b1j + ai2·b2j + . + aik·bkj
Programforyou — это сообщество, в котором Вы можете подтянуть свои знания по программированию, узнать, как эффективно решать те или иные задачи, а также воспользоваться нашими онлайн сервисами.
http://abakbot.ru/online-16/478-char
http://programforyou.ru/calculators/calculator-matric