Решение и исследование квадратных уравнений

Исследование квадратного уравнения

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЕРТИКОССКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

Зам. директора по учебно-воспитательной работе

«_____» _______________ 2006

Программа элективного курса по математике

«Исследование квадратного уравнения»

Автор: – учитель математики Вертикосской СОШ

Программа обсуждена и принята за основу на заседании МО учителей математики

Вертикосской СОШ, протокол №_1_ от 01.01.01 г.

Квадратные уравнения занимают особое место в курсе изучения математики. Ни один вид уравнений не находит столь широкого применения, как квадратные уравнения. Квадратные уравнения применяются при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств, при исследовании квадратичной функции, при построении графика данной функции, при решении ряда геометрических и физических задач. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решить любое квадратное уравнение. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально их решать. Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы диагностики знаний, а также тем, что очень часто квадратные уравнения являются лишь промежуточным этапом в решении более серьезного задания.

Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах квадратного трёхчлена при решении заданий, связанных с исследованием квадратного уравнения. К таким задачам относятся: задачи на применение теоремы Виета, на соотношения между корнями квадратного уравнения, на взаимное расположение корней квадратного уравнения и решение квадратных уравнений с параметром. При решении таких задач школьники учатся мыслить логически, творчески. Это хороший материал для учебно-исследовательской работы, что является пропедевтикой научно-исследовательской работы.

Курс рассчитан на 18 часов для учащихся 9 классов.

Цель: Освоить новые методы и способы решений квадратных уравнений. Научить применять знания свойств квадратного трёхчлена при выполнении нестандартных заданий.

В процессе реализации данного проекта решаются следующие задачи:

· Выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения;

· Перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения квадратных уравнений и задач на их составление) к творческому.

· Формирование теоретических знаний исторического аспекта (история возникновения квадратных уравнений);

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ.»

Весь курс элементарной математики, изучаемой в средней школе, пронизан квадратными уравнениями. Многочисленные задачи явно несвязанные с квадратными уравнениями, в ходе их решения сводятся, в конечном итоге, либо к исследованию квадратного трехчлена, либо к нахождению его корней. Таким образом, каждый выпускник обязан уметь решать все виды квадратных уравнений (полные или неполные).

Конечно «квадратные уравнения» применяется во многих разделах школьного курса математики, например, при решении задач на составление уравнений, алгебраическое и графическое решение уравнений. Очень большое применение методов решения квадратных уравнений нашло свое отражение в заданиях ОГЭ и ЕГЭ (во всех модулях). Но зачастую обучающиеся запоминают одну единственную формулу (основную с помощью дискриминанта) для решения квадратных уравнений. Зачастую эта формула очень громоздка и занимает много времени.

Исходя из всего вышесказанного, у меня возникла проблема: можно ли найти такие способы решения квадратных уравнений, чтобы можно было это сделать быстро и самое главное правильно.

Указанные обстоятельства обусловили мой выбор темы исследовательской работы.

Основной целью работы считаю расширенное изучение различных методов решения квадратных уравнений.

Цель моей исследовательской работы определяет следующие задачи:

— повторить основные методы решения квадратных уравнений: алгебраических и графических;

— изучить различные частные случаи решения квадратных уравнений;

— применить изученные способы при решении квадратных уравнений на практике.

Я предположила, что в результате исследования я смогу показать своим одноклассникам и друзьям, что решение квадратных уравнений не является одним из сложнейших заданий.

Формулирование цели исследовательской работы определяет:

объект исследования – квадратные уравнения;

предмет исследования – частные методы решения квадратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Чибитская средняя общеобразовательная школа»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ:

«РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ.»

Выполнила: Тойлонова Айрура, 8 класс

Руководитель: Тойлонова Н. В.

Чибит 2016 г.

2. Методы решения квадратных уравнений ………………………..

2.1. Графический метод решения квадратных уравнений ………..

2.2. Методы решения неполных квадратных уравнений ………….

2.3. Основные методы решения полных квадратных уравнений .

2.4.Частные методы решения квадратных уравнений …………….

Список использованной литературы ………………………….. …..

Весь курс элементарной математики, изучаемой в средней школе, пронизан квадратными уравнениями. Многочисленные задачи явно несвязанные с квадратными уравнениями, в ходе их решения сводятся, в конечном итоге, либо к исследованию квадратного трехчлена, либо к нахождению его корней. Таким образом, каждый выпускник обязан уметь решать все виды квадратных уравнений (полные или неполные).

Конечно «квадратные уравнения» применяется во многих разделах школьного курса математики, например, при решении задач на составление уравнений, алгебраическое и графическое решение уравнений. Очень большое применение методов решения квадратных уравнений нашло свое отражение в заданиях ОГЭ и ЕГЭ (во всех модулях). Но зачастую обучающиеся запоминают одну единственную формулу (основную с помощью дискриминанта) для решения квадратных уравнений. Зачастую эта формула очень громоздка и занимает много времени.

Исходя из всего вышесказанного, у меня возникла проблема : можно ли найти такие способы решения квадратных уравнений, чтобы можно было это сделать быстро и самое главное правильно.

Указанные обстоятельства обусловили мой выбор темы исследовательской работы.

Основной целью работы считаю расширенное изучение различных методов решения квадратных уравнений.

Цель моей исследовательской работы определяет следующие задачи :

— повторить основные методы решения квадратных уравнений: алгебраических и графических;

— изучить различные частные случаи решения квадратных уравнений;

— применить изученные способы при решении квадратных уравнений на практике.

Я предположила, что в результате исследования я смогу показать своим одноклассникам и друзьям, что решение квадратных уравнений не является одним из сложнейших заданий.

Формулирование цели исследовательской работы определяет:

объект исследования – квадратные уравнения;

предмет исследования – частные методы решения квадратных уравнений.

Глава 1. Основные понятия

Сначала мы разберем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим связанные определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения. Дальше перейдем к решению полных уравнений, получим формулу корней, познакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассмотрим решения характерных примеров. Наконец, проследим связи между корнями и коэффициентами.

Что такое квадратное уравнение? Виды квадратных уравнений.

Для начала надо отчетливо понимать, что такое квадратное уравнение. Поэтому разговор о квадратных уравнениях логично начать с определения квадратного уравнения, а также связанных с ним определений.

Определение и примеры квадратных уравнений

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax 2 +bx+c=0 , где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени. Это связано с тем, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Так 2x 2 +6x+1=0 , 0,2x 2 +2,5x+0,03=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Числа a , b и c называют коэффициентами квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 , причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x 2 , b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x , а c – свободным членом.

Для примера возьмем квадратное уравнение вида 5x 2 −2x−3=0 , здесь старший коэффициент есть 5 , второй коэффициент равен −2 , а свободный член равен −3 . Обратите внимание, когда коэффициенты b и/или c отрицательные, как в только что приведенном примере, то используется краткая форма записи квадратного уравнения вида 5x 2 −2x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2)·x+(−3)=0 .

Стоит отметить, что когда коэффициенты a и/или b равны 1 или −1 , то они в записи квадратного уравнения обычно не присутствуют явно, что связано с особенностями записи алгебраических выражений. Например, в квадратном уравнении y 2 −y+3=0 старший коэффициент есть единица, а коэффициент при y равен −1 .

Упрощение вида квадратных уравнений

Порой, прежде чем пускаться в вычисление корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задаться вопросом: «А нельзя ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане вычислений проще будет решить квадратное уравнение 11x 2 −4x−6=0 , чем 1100x 2 −400x−600=0 .

Обычно упрощение вида квадратного уравнения достигается путем умножения или деления его обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце удалось достичь упрощения уравнения 1100x 2 −400x−600=0 , разделив обе его части на 100 .

Подобное преобразование проводят с квадратными уравнениями, коэффициенты которого не являются коэффициентами абсолютных величин. Для примера возьмем квадратное уравнение 12x 2 −42x+48=0 . НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6 . Разделив обе части исходного квадратного уравнения на 6 , мы придем к равносильному ему квадратному уравнению 2x 2 −7x+8=0 .

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно производится для избавления от дробных коэффициентов. При этом умножение проводят на общий знаменатель его коэффициентов. Например, если в уравнении обе части квадратного уравнения умножить на НОК(6, 3, 1)=6 , то оно примет более простой вид x 2 +4x−18=0 .

В заключение этого пункта заметим, что почти всегда избавляются от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1 . Например, обычно от квадратного уравнения −2x 2 −3x+7=0 переходят к решению 2x 2 +3x−7=0 .

Виды квадратных уравнений.

1) Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1 , называют приведенным квадратным уравнением . В противном случае квадратное уравнение является неприведенным .

Согласно данному определению, квадратные уравнения x 2 −3x+1=0 , x 2 − x− =0 и т.п. – приведенные, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5x 2 −x−1=0 , и т.п. — неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1 .

От любого неприведенного квадратного уравнения с помощью деления его обеих частей на старший коэффициент можно перейти к приведенному. Это действие является деление то есть, полученное таким способом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, так же как оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как выполняется переход от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

От уравнения 3x 2 +12x−7=0 перейдите к соответствующему приведенному квадратному уравнению.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3 , он отличен от нуля, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3x 2 +12x−7):3=0:3 , что то же самое, (3·x 2 ):3+(12·x):3−7:3=0 , и дальше (3:3)·x 2 +(12:3)·x−7:3=0 , откуда . Так мы получили приведенное квадратное уравнение, равносильное исходному .

2) Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения присутствует условие a≠0 . Это условие нужно для того, чтобы уравнение ax 2 +bx+c=0 было именно квадратным, так как при a=0 оно фактически становится линейным уравнением вида bx+c=0 .

Что касается коэффициентов b и c , то они могут быть равны нулю, причем как по отдельности, так и вместе. В этих случаях квадратное уравнение называют неполным.

Квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов b , c равен нулю.

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие названия даны не случайно. Из следующих рассуждений это станет понятно.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 +0x+c=0 , и оно равносильно уравнению ax 2 +c=0 . Если c=0 , то есть, квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+0=0 , то его можно переписать как ax 2 +bx=0 . А при b=0 и c=0 мы получим квадратное уравнение ax 2 =0 . Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название – неполные квадратные уравнения.

Так уравнения x 2 +x+1=0 и −2x 2 −5x+0,2=0 – это примеры полных квадратных уравнений, а x 2 =0 , −2x 2 =0 , 5x 2 +3=0 , −x 2 −5x=0 – это неполные квадратные уравнения.

Исследовательская работа «Способы решения квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Очень полезно решать одну и ту же задачу различными способами. Так мы нарабатываем опыт, умение сравнивать и выбирать рациональные решения, подойти к решению с разных сторон. Квадратные уравнения нам приходится решать очень часто. И это одна из основных тем ОГЭ. В школьной программе нам дают только несколько способов. Стало интересно, какие еще способы есть, какой из способов самый легкий и рациональный. Чем можно заинтересовать одноклассников? Какие способы появились первыми? Изучить и обобщить материал.

Гипотеза : Я предположил, что есть способы рациональнее, чем нам дают в школьном курсе. Мне хочется узнать, какие еще есть способы решения и нужно ли их включить в программу школьного курса .

Цель исследования: Изучить различные способы решения квадратных уравнений и научиться их применять на практике. Сколькими способами можно решить одно квадратное уравнение. Изучить и познакомить одноклассников.

собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений;

разобрать на примерах;

вывести плюсы и минусы данного способа;

познакомить одноклассников с большим выбором способов.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования: сбор и изучение информации, анализ, сравнение и проверка на практике разных способов.

Научиться решать одно и то же квадратное уравнение разными способами.

Определение квадратного уравнения и его виды

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0,

где х — переменная , а, b и с -некоторые числа, причем, а ≠ 0.

а – первый или старший коэффициент при ; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член от переменной х .

Если старший коэффициент равен 1 , то квадратное уравнение приведенным .

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю.

Коэффициент а всегда присутствует в квадратном уравнении, а ≠ 0.

Корнем квадратного уравненияax 2 + bx + c = 0, называют всякое значение переменной х , при котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c обращается в нуль.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Я рассмотрел много уравнений. В данной работе представлю приведенное уравнение решенное разными способами.

Способы решения квадратных уравнений

1способ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Уравнение вида: ax 2 + bx + c = 0, можно решить по формулам. Число действительных корней уравнения зависит от знака дискриминанта D = b 2 − 4ac

2способ: Решение квадратного уравнения графическим способом.

1)Перенести в уравнении aх 2 + bx + c = 0 второй и третий члены в правую часть, получим aх 2 = — bx — c .

2)Разделим обе части уравнения на коэффициент а ≠ 0.

3)Получаем уравнение: х 2 = — px – q, где p=b/a и q=c/a .

4)Построим в одной системе координат графики зависимости:

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

3 способ : Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета .

4 способ : Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, , где а ≠ 0.

1 0 Если а + b + с = 0 ( т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х ₁ = 1, х ₂ = с/а.

2 0 Если а + с = b ( т.е. сумма крайних коэффициентов равна среднему коэффициенту), то х ₁ = -1, х ₂ = — с/а.

3 0 Если дано уравнение вида: ax 2 + (а 2 + 1)x + а = 0, то х ₁ = -а, х ₂ = — 1/а.

5 способ: Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки.

6 способ : Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата .

Применяя формулы сокращенного умножения

7способ: Решение квадратных уравнений геометрическим способом

Площади

1) Квадрат со стороной х

2) 2х четыре прямоугольника (х*0,5)

3) достроили до большого квадрата со стороной (1+х) т.е. 0,5+х+0,5

Общая площадь равна +4*0,25=

8 способ : Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки .

Построим точки S( (центр окружности) и A(0; 1) .

Проведем окружность с радиусом SA ;

Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

9 способ : Решение квадратных уравнений с помощью номограммы .

Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0.

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

10 способ : Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.

Теорема Безу: Остаток при делении многочлена P( x ) на многочлен х – а равен значению этого многочлена при х = а , то есть P (а).

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена и искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0 , то Р(х)= (x — а)Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0 .

Делители с это 3 и -3

В ходе исследовательской работы была проведена работа среди моих одноклассников. В моем классе 22 человека, я познакомил их с презентацией по решению квадратных уравнений разными способами. Мне нужно было выяснить интерес к моей теме, понятность изложения способов и применение в дальнейшем. Большей части класса было сложно понять и закреплять способы на практике они не стали.

Пять одноклассников решились принять участие в тестирование, целью которой было привлечь к изучению математики и выявить, какой способ решения квадратного уравнения рациональнее. С помощью всех методов предложено было решить два уравнения (приведенное и не приведенное). Результаты проверки в таблице.

Решение квадратных уравнений по формуле. Можно применять ко всем квадратным уравнениям, только знать формулы.

Решение квадратного уравнения графическим способом. Наглядный способ, легко увидеть количество корней. Минус способа, когда корни дробные или слишком большие не показать точки пересечения из-за масштаба.

Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета. Легко решаются только приведенные уравнения с целыми корнями. Хороший способ для проверки.

Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов. Не все уравнения решаются данным способом.

Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки. Необходимо правильно увидеть как разложить вх на два слагаемых. Развивает логику.

Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата. Необходимо помнить формулы сокращенного умножения. Способ поможет при построение графика квадратичной функции.

Решение квадратных уравнений геометрическим способом. Хороший способ, с помощью площадей. Находим положительные корни.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Знание формулы нахождения центра. Иметь циркуль. Наглядный способ если корни целые, могут быть неточности.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Нужно иметь при себе номограмму. Мы находили только положительные корни.

Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу. Хороший способ на будущее при решение уравнений высших степеней. Трудоемкий. Хороший способ для целых корней.

В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить изученный материал, провести урок для своих одноклассников. Найти новые способы для себя. Для меня эта работа открыла возможности применять полученные знания и делится со своими сверстниками. Моих одноклассников, пусть и не многих, заинтересовали эти способы. Мне стало понятно почему в школьной программе дают основные способы. Я получил и хорошую практику в наборе математических формул и практику работы в программе Excel по созданию формул. Мне понравился способ выделение полного квадрата и способ используя теорему Безу, эти знания я буду применять не только для решения квадратных уравнений.

Алгебра: 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., издательский центр «Вентана_Граф», 2015

Алгебра: 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., издательский центр «Вентана_Граф», 2014