Решение и уравнения содержащие степень

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Тема урока: «Решение уравнений, содержащих степени с натуральным показателем»

Разделы: Математика

В седьмом классе при изучении темы «Степень и ее свойства» можно один из уроков посвятить изучению показательных уравнений. Задания в учебнике, несмотря на их разнообразие, направлены в основном на механическую отработку свойств степени и о практическом применении нет речи. Познавательная активность в этом возрасте достаточно высока, и поэтому тема вводится легко. Разумеется, мы не будем называть уравнения показательными, а назовем урок «Решение уравнений, содержащих степени с натуральным показателем».

Ход урока

I. Ребята, сегодня вы сами определите тему урока, а для этого выполним следующее задание:

На доске записаны следующие степени:

Ребята, ответьте на вопрос: Какие свойства степени здесь перечислены?

Ученики называют свойства, которые параллельно оформляются на доске.

На доске появляется следующая таблица:

А теперь внимательно посмотрите на первую и вторую строку каждого столбца и назовите сходства и различия этих выражений.

Общее: в каждом из столбцов записано одно и то же свойство степени.

Различия: в первых строках переменная находится в показатели степени, во-вторых — в основании.

Вывод: при записи степени неизвестное может находиться как в показателе степени, так и в основании.

Ребята, ответьте на вопрос: что произойдет, если степень, содержащую переменную, прировнять к числу?

Получим равенство, содержащее переменную.

А как называют равенство, содержащее переменную?

Рассмотрим следующие уравнения:

Какое условие необходимо, чтобы равенство стало верным?

Чтобы показатели степени были равны.

Следовательно, х = 2.

Когда такое равенство будет верным?

Когда основания степени равны.

Следовательно, х = 7.

На основании данных примеров, мы можем сделать вывод, что степени а m = b n , при условии, что основания этих степеней равны, т.е. a = b и показатели их тоже равны, т.е. m = n.

Ребята, открывайте тетради, записывайте число и оставьте строчку для записи темы.

Продолжаем работать с таблицей.

Используя свойства степени, решим каждое уравнение.

Решение уравнений происходит в форме соревнования: первый, правильно решивший уравнение, записывает его решение на доске.

Итак, ребята, чем мы занимались на этом уроке?

Решали уравнения, содержащие степень.

А теперь, давайте попробуем сформулировать тему сегодняшнего урока.

Запишем ее в тетрадь.

Решим следующие уравнения (с последующей проверкой на доске):

1. 2.

Ответ х=3; Ответ х=36.

Уравнения для самостоятельной работы учащихся:

Подводится итог урока.

Домашнее задание дается в следующей форме: ребята получают работу с готовым решением и оценкой, они должны самостоятельно найти ошибку и исправить ее. Примеры заданий:

а)81к 4 =3 8
3 4 ·к 4 =3 4
(3к) 4 =(3 4 ) 4
3к=3 4
к=3 4 :3
к=3
Ответ: 3

а)120·5 n -100·5 n =500
5 n ·(120-100)=500
5 n ·20=500
5 n =500:20
5 n =125
5 n =5 3
n=3
Ответ: 3

б)х 3 ·х 2 =32
х 3 ·х 2 =2 5
х 5 =2 5
х=5
Ответ: 5

оценка 3

в) 2 n+7 :2 n+3 =(2 n+1 ) 2
2 n+7 :2 n+3 =2 2n+2
2 10 =2 2n+2
2 n+2 =10
2 n =8
n=4
Ответ: 4

Показательные уравнения. Как решать показательные уравнения?

Показательное уравнение – это уравнение c переменной в показателе степени.

Как решать показательные уравнения

При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду \(a^=a^\), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:

Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
— число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;
— степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов , умножений, делений и т.д.

В этом показательном уравнении переход к \(x+2= 8-x\) невозможен, так как в основаниях разные числа

Здесь переход к \(x+3x=2x\) также невозможен, так как слева стоит сумма.

И в этом случае перейти к \(5-x=7x\) нельзя, ведь справа есть минус.

Мы знаем, что \(27 = 3^3\). С учетом этого преобразуем уравнение.

Теперь вспомним, что: \(a^<-n>=\frac<1>\). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: \(\frac<1> =a^<-n>\). Тогда \(\frac<1><3>=\frac<1> <3^1>=3^<-1>\).

Применив свойство \((a^b )^c=a^\) к правой части, получим: \((3^ <-1>)^<2x>=3^<(-1)·2x>=3^<-2x>\).

И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход.

Решаем получившееся линейное уравнение и пишем ответ.

Воспользуемся свойством степени \(a^b \cdot a^c=a^\) в обратном направлении.

\(2^x \cdot 2^3+2^x \cdot 2^2-2^x \cdot 2^1=160\)

Теперь в левой части выносим за скобку общий множитель \(2^x\) …

…и вычисляем содержимое в скобке.

Делим на \(10\) обе части уравнения…

…и дорешиваем до ответа.

Иногда одних только свойств степеней оказывается недостаточно, и приходиться применять стандартные приемы для решения более сложных уравнений – замену переменной , расщепление уравнения и т.д.

Вновь пользуемся свойством степени \(a^b \cdot a^c=a^\) в обратном направлении.

Теперь вспоминаем, что \(4=2^2\).

Смотрим внимательно на уравнение, и видим, что тут напрашивается замена \(t=2^x\).

Однако мы нашли значения \(t\), а нам нужны \(x\). Возвращаемся к иксам, делая обратную замену.

Преобразовываем второе уравнение, используя свойство отрицательной степени…

…и дорешиваем до ответа.

Остается вопрос — как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом. А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь». То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования.

Показательные уравнения, не имеющие решений

Разберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников:
— положительное число в степени равно нулю, например, \(2^x=0\);
— положительное число в степени равно отрицательному числу, например, \(2^x=-4\).

Давайте попробуем решить перебором. Если икс — положительное число, то с ростом икса вся степень \(2^x\) будет только расти:

И так далее. Очевидно, что дальше увеличивать икс нет смысла, будет только «хуже» (т.е. мы будем удаляться от нуля и минус четверки).
Может быть нам поможет \(x=0\)? Проверяем:

Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство \(a^<-n>=\frac<1>\), проверяем:

Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу:

Положительное число в любой степени останется положительным числом.

Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений.

Показательные уравнения с разными основаниями

В практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: \(a^=b^\), где \(a\) и \(b\) – положительные числа.

Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на \(b^\). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем:

Дальше решаем с помощью свойств степени.

Здесь у нас не получиться ни пятерку превратить в тройку, ни наоборот (по крайней мере, без использования логарифмов ). А значит мы не можем прийти к виду \(a^=a^\). При этом показатели одинаковы.
Давайте поделим уравнение на правую часть, то есть на \(3^\) (мы можем это делать, так как знаем, что тройка ни в какой степени не будет нулем).

Казалось бы, лучше не стало. Но вспомните еще одно свойство степени: \(a^0=1\), иначе говоря: «любое число в нулевой степени равно \(1\)». Верно и обратное: «единица может быть представлена как любое число в нулевой степени». Используем это, делая основание справа таким же как слева.

Вуаля! Избавляемся от оснований.

Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос.

Уравнение выглядит совсем печально… Мало того, что основания нельзя свести к одинаковому числу (семерка ни в какой степени не будет равна \(\frac<1><3>\)), так еще и показатели разные… Однако давайте в показателе левой степени вынесем за скобку двойку.

Аллилуйя! Показатели стали одинаковы!
Действуя по уже знакомой нам схеме, решаем до ответа.