Метод вейвлет-коллокаций решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тарасова Елена Сергеевна, Тарасов Дмитрий Викторович
Статья посвящена применению метода вейвлет-коллокации к численному решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Приведены результаты численного эксперимента решения интегральных уравнений Фредгольма с использованием метода вейвлет-коллокаций с материнским вейвлетом Хаара .
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Тарасова Елена Сергеевна, Тарасов Дмитрий Викторович
Текст научной работы на тему «Метод вейвлет-коллокаций решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода»
АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
Е. С. Тарасова, Д. В. Тарасов
МЕТОД ВЕЙВЛЕТ-КОЛЛОКАЦИЙ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА
Аннотация. Статья посвящена применению метода вейвлет-коллокации к численному решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Приведены результаты численного эксперимента решения интегральных уравнений Фредгольма с использованием метода вейвлет-коллокаций с материнским вейвлетом Хаара.
Ключевые слова: метод вейвлет-коллокаций, интегральное уравнение, вейвлет Хаара.
Такие численные методы, как метод коллокаций (совпадения) или метод Галерки-на, можно по праву считать классическими численными методами решения интегральных уравнений [1]. Однако наряду с классическими ортогональными системами функций, которые традиционно применяются в этих методах, можно отметить вейвлетсистемы. Использование в качестве базисных функций вейвлетов приводит к тому, что аппроксимирующая матрица СЛАУ получается псевдоразреженной, т.е., не имея ни одного нулевого элемента, хорошо аппроксимируется по норме разреженными матрицами [2, 3]. Таким образом, использование вейвлет-функций в методах численного решения интегральных уравнений можно считать заслуживающей внимания задачей. Помимо этого стоит отметить, что подобный подход позволит иначе взглянуть на решение и обоснование особого типа уравнений — сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений 7.
Цель данной работы заключается в построении вычислительной схемы, проведении численного эксперимента по применению вейвлетов (вейвлет Хаара) в качестве базисных функций и решении методом коллокаций интегрального уравнения Фредгольма второго рода:
x(t)-Xj K(t,x)x(x)dx = f(t), te (A, B). (1)
Основные понятия и определения вейвлет-преобразования
Вейвлеты (от англ. wavelet — всплеск, маленькая волна) — это семейства базисных функций, которые локальны во времени и по частоте. Все семейство этих базисных функций
Актуальные вопросы естествознания
получается из одной функции y(t), называемой материнским вейвлетом, посредством ее сдвигов во времени (b) и растяжений (масштабирования) по оси времени (a). Множитель гарантирует независимость нормы данных функций от масштабирующего па-ыа
Вейвлет-преобразование сигнала (некоторой функции) — это представление его в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций ¥ab.
В данной работе решение интегрального уравнения осуществляется численно, т.е. проводится его некоторая дискретизация, поэтому нас будет интересовать только дискретное вейвлет-преобразование. Кроме того, это требует и меньших вычислительных затрат. Дискретизацию удобнее выполнять через степени двойки [8, 9], а именно:
а = 2m, b = k • 2m, m, k e Z. С учетом этого соотношение (2) примет вид
где m называют параметром масштаба; к — величиной сдвига.
Таким образом, прямое и обратное диадные вейвлет-преобразования непрерывной функции f (t) примут соответственно вид
f (t) = Z Cmk¥mk(tX (5)
здесь — знак скалярного произведения в пространстве L2( R).
Замечание. Следует отметить, что это еще не дискретное преобразование, поскольку функция f(t) непрерывна. Кроме того, формулы для вейвлетпреобразования дискретных сигналов не могут быть получены простой дискретизацией формул диадного вейвлет-преобразования для непрерывного сигнала.
Для преодоления указанных трудностей, как правило, переходят к крупномасштабному анализу, суть которого состоит в том, что при исследовании функций f (t) (изначально сигналов, например акустических или сейсмических) удобно их представление в виде суммы аппроксимирующей (грубой) Am (t) и детализирующей (уточненной) Dm (t) компонент
f (t) = Am (t) + Z Dj (t) j =1
с дальнейшей их детализацией итерационным методом.
Пусть имеется непрерывная функция (сигнал) f (t) e V0 . Дискретный сигнал интерпретируем как последовательность коэффициентов ak, полученную при масштабирующих функциях 90k (t) (называемых также отцовскими вейвлетами):
f (t) = Ao(t) = Z aok 9ok(t X
где a0k = ak (t) = — коэффициенты аппроксимации на уровне m = о.
Вестник Пензенского государственного университета № 3 (7), 2014
Замечание. Масштабирующая функция ф(£), в отличие от материнского
вейвлета y(t), должна иметь единичную площадь j ф(^)dt = 1. Кроме того, система
функций фтк (t) так же, как уmk (t), образует полную ортонормированную систему.
Согласно теории крупномасштабного анализа функция f (t) раскладывается на две компоненты, принадлежащие подпространствам V1 и W1, причем V0 = V1 ® W1:
f (t) = A(t) + D1(t) = X a1k ф1к (t) + X d1k ¥ 1k (t),
где новые последовательности a^ и dk имеют половинную длину по сравнению с a0k. Далее процесс декомпозиции может быть продолжен по Ax(t) (подпространства V2 и W2, где V1 = V2 ©W2). На уровне декомпозиции m функции f (t) получим соответственно
f (t) = Am (t) + Dm (t) +. + D1(t) = X amkФmk (t) + XXdjk¥jk (t). (6)
Таким образом, при минимальном значении масштаба m = 0 за аппроксимирующие коэффициенты a0k принимается сама дискретная последовательность своих значений fi (i = 0,1. N -1) функции f (t), т.е. a0i = f (i = 0,1. N -1). Максимальное значение масштаба m равно n0 и определяется числом отсчетов сигнала (число отсчетов равно N = 2П0). Величина k для текущего m изменяется в диапазоне от нуля до 2n°-m -1.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода (1) и зафиксируем некоторое натуральное значение n0. Для отрезка [A, B] осуществим разбиение
Семейство базисных вейвлетов ¥mk (t) и соответствующих масштабирующих функций фmk (t) определим таким образом, чтобы вейвлеты при минимальном значении масштаба m = 0 по длине носителя занимали отрезок Ak = [tk, tk+1 ] (k = 0,1. N -1) (рис. 1):
где m = 0,1. нуля до 2П° — m
n0, а значение параметра k для текущего m изменяется в диапазоне от -1.
Актуальные вопросы естествознания
После того как система ортогональных функций ymk (t) и qmk (t) построена, определим текущее значение масштаба m равным некоторому фиксированному значению M (о Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
A + h • 2mk, A + h • 2m(k +1) , m = о, 1. «о, k = о, 1. 2n°-m -1, что также упрощает соотношение (9).
Ф Mk (ti)-X j K (ti, х)ф Mk (x)d X
Vjk (ti) -X j K (ti, x)Vjk (x)d х
= f (ti), i = о, 1. N -1. (1о)
После того, как из системы линейных алгебраических уравнений (1о) будут найдены коэффициенты aMk, k = о, 1. 2″ -M -1 и djk, j = 1,2. M, k = о, 1. 2По -j -1, при* . .
ближенное решение x (t) строится согласно (8).
Вестник Пензенского государственного университета № 3 (7), 2014
В качестве модельного примера было выбрано следующее интегральное уравнение:
x(t)[ (t2 + x)x(x)dx = sint-—(t2 +1), te I 0, — |, 10 J 10 l 2)
точным решением которого является x(t) = sin(t).
Согласно представленной выше вычислительной схеме была построена программная реализация на языке С++ в среде разработки Visual Studio 2010. В табл. 1 приведены результаты численного эксперимента (максимальная абсолютная погрешность в узлах кол-
локаций и норма абсолютной погрешности
при различных значениях
входных параметров M и n0. Стоит заметить, что вариации в выборе параметра M
(0 Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.