Решение иррациональных уравнений 8 класс мерзляк

Конспект урока и презентация на тему: «Иррациональные уравнения» 8 класс
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Конспект урока и презентация на тему: «Иррациональные уравнения» 8 класс

Скачать:

Предварительный просмотр:

Учитель: (на экране Слай д 1.)

Альберт Эйнштейн сказал замечательные слова, вслушайтесь в них: “Ощущение тайны – наиболее прекрасное из доступных нам переживаний. Именно это чувство стоит у колыбели истинного искусства и настоящей науки”.

Вот и мы сегодня с вами в очередной раз попытаемся приоткрыть одну из тайн, которую дарит нам наука. Тема нашего сегодняшнего урока: учитель зачитывает тему и цель урока.

1. Познакомиться с понятием иррациональные уравнения и некоторыми методами их решения.
2. Развивать умение выделять главное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия.

– Чтобы лучше усвоить новую тему, вспомним пройденный материал.
– Сегодня на уроке мы работаем, разбившись на группы (класс делится на 4 группы по 6-7 человек, на столе у каждой группы флажок с номером).

I. Устная работа.

Учитель дает задание:

Разложить на множители: ( Cлайд 3).

Затем даются ответы на экране.
Для последней из группы учитель просит разложить разность (х – у), используя формулу сокращенного умножения: разность квадратов.
Далее на слайде появляется дополнительный вопрос:
Доп. Вопрос (√16) 2 = ? (16)
Отвечает любой учащийся.

Учитель озвучивает следующее задание: Найти область определения. (Слайд 4).

После ответов учащихся высвечиваются ответы на слайде.
Дополнительный вопрос на слайде появляется последним, один из учеников его зачитывает:
Доп. Вопрос: Из последнего промежутка найти наименьшее положительное целое число (1)

Учитель: В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений:

Каждая из групп выбирает нужное уравнение. После ответов высвечиваются уравнения.

Доп. Вопрос: Является ли число 3 решением вашего уравнения?
В чью группу войдет уравнение х 2 = 4. Решите его.

Учитель: Является ли число Хо – корнем вашего уравнения?

Учитель: А сейчас небольшая историческая справка, (выходит учащийся и рассказывает наизусть):

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию Пифагорийцев ещё в VI веке до н.э. А началось все с простого, казалось бы вопроса – каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Пифагорийцы доказали, что √2 – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. √2 – по их мнению вообще не было числом. Открыв новый математический объект они пришли в полное замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они, должны лежать целые числа и их отношения. Никаких других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится – существуют величины, которые отношением целых чисел, в принципе – не являются.

В переводе с латыни “irrationalis” – “неразумный”. Любопытно, что в средневековой Европе наряду с “irrationalis” в ходу был еще и другой термин “surdus” – “глухой” или “немой”. Судя по такому названию, математикам средневековья иррациональные числа представлялись чем-то настолько “неразумным”, что “ни высказать, ни выслушать”. Удивление и досада, с которыми древние математики в начале восприняли иррациональные числа, впоследствии, сменились интересом и пристальным вниманием к новым математическим объектам.

“История иррациональных чисел”. (Слайд 7).

В переводе с латыни “irrationalis” – “неразумный”.
“surdus” – “глухой” или “немой”. “ни высказать, ни выслушать”.

Учитель: Вот и мы сейчас с таким же интересом и вниманием обратимся не к иррациональным числам, но к иррациональным уравнениям. Открываем тетради, записываем тему урока: “Иррациональные уравнения”.

Высвечивается определение: Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня называются иррациональными .

Записать в тетрадь последнее уравнение: √х = х – 2
Оно же и на доске.
Один из учащихся выходит его решать.

Учитель: Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности перехода от иррационального к рациональному уравнению. Рассмотрим один из методов: возведение в степень обеих частей уравнения.

Ребята, т.к. мы с вами выпускной класс и впереди предстоит сдача ЕГЭ, наша задача подготовиться к нему. Поэтому те уравнения, которые мы будем разбирать на уроке, взяты из разных сборников для подготовки к ЕГЭ.

II. Работа в тетрадях.

а) Решить уравнение: Вопросы к учащемуся, который решает это уравнение:

Оба корня проверяем, подставляя в исходное уравнение. Видим, что х 1 = 1 – не является корнем исходного уравнения, закрываем его магнитом на доске [посторонний корень].

Возведя обе части уравнения в нечетную степень, перешли к равносильному уравнению.
– Нужна ли проверка в данном случае?
– Может ли появиться посторонний корень?
– Корень проверяется, чтобы исключить арифметическую ошибку.

При возведении обеих частей уравнения:

• в четную степень (показатель корня – четное число), возможно появление постороннего корня ( проверка необходима );
• в нечетную степень (показатель корня – нечетное число), получается уравнение, равносильное исходящему, ( проверка не нужна ).

Учитель: Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные преобразования, определить ОД3. (В этом случае проверку делать не надо).

На доске: Вопрос к учащемуся у доски:

г) = х – 1 – Вспомнить определение арифметического корня n-ой степени.

X 2 = 0 посторонний корень.

Ответ: Решений нет.

Решая иррациональные уравнения, используя равносильные преобразования – проверка не нужна.

е) Уравнение, предлагаемое к самостоятельному решению.

Проверка: Подходят оба.

Один ученик вызывается к доске для проверки, рассказывает ход решения.

III. Самостоятельная работа.

После решения и сдачи самостоятельных работ на слайде появляются ответы.

При возведении обеих частей уравнения:

• в четную степень (показатель корня – четное число), возможно появление постороннего корня ( проверка необходима );
• в нечетную степень (показатель корня – нечетное число), получается уравнение, равносильное исходящему, ( проверка не нужна ).

Учитель: Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные преобразования, определить ОД3. (В этом случае проверку делать не надо).

Решая иррациональные уравнения, используя равносильные преобразования – проверка не нужна.

Учитель подводит итог урока глядя на слайд, опрашивая учащихся, благодарит за урок и говорит о том, что на следующем уроке познакомит ребят с другими методами решения замены переменной.

Домашнее задание на доске.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Ощущение тайны – наиболее прекрасное из доступных нам переживаний. Именно это чувство стоит у колыбели истинного искусства и настоящей науки. А .Э й нштейн

Тема: Иррациональные уравнения Цель: Познакомиться с понятием иррациональные уравнения и некоторыми методами их решений. Развивать умение выделять главное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия.

( √16) ² = ? I группа Х² + 10 XY+ 25 Y ² = II группа 36 Х² — 0 ,81 = III группа 9Х² — 6 XY + Y ² = IV группа X-Y= (X+5Y) ² (6x-0 ,9 )(6X+0 , 9 ) (3 X-Y) ² ( √ x- √ y)( √ x+ √ y)

Из последнего промежутка найти наименьшее положительное целое число. I г Y= II г Y= III г Y= IV г Y= X ≥ 6 X > 0 X > -2 X ≥ 0

-5 b⁴-4b²-6=0 , 10=6 y – 8 , , 5а²-4а=33 I г Линейные II г Квадратные III г Дробно- рациональные IV г Биквадратные 10=6 y – 8 5а²-4а=33 -5 b⁴-4b²-6=0 Является ли 3 корнем вашего уравнения x ² =-4

— какое число? I г II г III г IV г 2=x² X 0 =27 X 0 = 36 X 0 =8 X 0 = Избавьтесь от иррациональности

Удивительное открытие пифагорийцев. Каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1 ? С латыни слово « irrationalis » означает «неразумный». « surdus » — «глухой» или «немой»

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными . Выбрать иррациональное уравнение:

При возведении обеих частей уравнения • в четную степень (показатель корня – четное число) – возможно появление постороннего корня • в нечетную степень (показатель корня – нечетное число) – получается уравнение, равносильное исходному ( проверка необходима ). ( проверка не нужна ).

Решая иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований – проверка не нужна .

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными . При возведении обеих частей уравнения • в четную степень (показатель корня – четное число) – возможно появление постороннего корня ( проверка необходима ). • в нечетную степень (показатель корня – нечетное число) – получается уравнение, равносильное исходному ( проверка не нужна ). Решая иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований – проверка не нужна .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока и презентация по теме «Кислоты» 8 класс

Конспект урока и презентация по теме «Кислоты» 8 класс, автор учебника О.С.Габриелян, 2 часа в неделю по учебному плану.

Конспект урока и презентация по теме «Еда». 3 класс. УМК М.З.Биболетова «Enjoy English 1»

Здесь представлен конспект урока и презентация по теме «Еда». Урок рассчитан для 3 класса. УМК М.З.Биболетова «Enjoy English 1».

Конспект урока и презентация по теме «Растения» 5 класс

В рамках реализации ФГОС процесс преподавания претерпевает существенные изменения. Конструируя учебное занятие изучения и первичного закрепления новых знаний и способов деятельности, особо.

Конспект урока с презентацией по теме «Ориентирование» 5 класс

Открытый урок в 5 классе по теме «Ориентирование» по ФГОС.

Конспект урока и презентация на тему: «Пирамида» 10 класс

Конспект урока и презентация на тему: «Пирамида» 10 класс.

Конспект урока и презентация на тему: «Треугольники» 7 класс

Конспект урока и презентация на тему: «Треугольники» 7 класс.

Конспект урока с презентацией по теме «Логарифмические уравнения»

Тема: “Логарифмическая функция” в курсе «Алгебры и начала анализа» включает изучение вопросов: понятие логарифма, логарифмическая функция, свойства логарифмов, логарифмические .

Урок алгебры в 8-м классе на тему «Иррациональные уравнения»

Разделы: Математика

Цель:

• Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений.
• Решение более сложных типов иррациональных уравнений и уравнения с параметром.

Оборудование:

• компьютер,
• мультимедийный проектор,
• экран.

Ход урока

На предыдущем уроке вы рассмотрели решение некоторых иррациональных уравнений.

А сегодня мы научимся решать более сложные иррациональные уравнения.

1) Какие из следующих уравнений являются иррациональными:

2) Является ли число корнем уравнения

3) Назовите корни уравнений:

4) Возведите в квадрат выражение:

5) Решите приведенные квадратные уравнения методом подбора корней:

Вывод: Итак, мы повторили, какие уравнения являются иррациональными, научились проверять корни уравнений, устно решали простейшие иррациональные уравнения, повторили материал, который нам пригодится сегодня на уроке.

Какие из предложенных иррациональных уравнений вы умеете решать?

Задание по рядам. Трое разбирают уравнения на доске уравнения (1-3).

Ребята, а вы знаете, что возведение в квадрат не является равносильным преобразованием. Поэтому необходима проверка корней, что отсеивает посторонние корни.

Золотое правило решения иррациональных уравнений.

1) Возвести обе части в квадрат.

2) Решить полученное рациональное уравнение.

3) Обязательно сделать проверку, отсекая возможные посторонние корни.

А сейчас рассмотрим 4 уравнение. Как его можно решать?

Воспользуемся золотым правилом.

На слайде вы видите иррациональные уравнения, которые предлагались на ЕГЭ по математике в разные годы. Умеете ли вы их решать? Объясните шаги решений этих уравнений.

Разбор задания №1028(в) из учебника.

Как называется знак корня в математике?

Радикал от латинского слова. Радикс — корень. В математике означает извлечение корня.

Вы изучаете такие дисциплины, как обществознание, история, там встречаются словосочетания «радикальные изменения», что означает коренные изменения.

Перейдем к цветным заданиям. Приложение2.ppt

• Легкое задание — на зеленой дорожке.
• Средней сложности — на желтой дорожке.
• Более сложное задание — на красной дорожке.

Каждый может выбрать себе задание по свом способностям.

Они составлены в виде тестов ЕГЭ.

Решения задания зеленой дорожки.

Решения задания желтой дорожки.

Решения задания красной дорожки

Взаимопроверка по готовым ответам. Разбор заданий по готовым решениям.

Те, кто справился с заданием, выбрал правильную траекторию своей деятельности. У вас ребята была правильная самооценка. Молодцы!

У кого были затруднения, стоит еще поработать дома самостоятельно и у вас всё получится!

Домашнее задание: №1028(б, г), №1029(б ,г).

У нас осталось немного времени, и хочу вам предложить очень интересную задачу.

При каких разность корней уравнения равна 6?

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3