Решение иррациональных уравнений методом монотонности

Решение уравнений с помощью монотонности функций

Решение уравнений с помощью монотонности функций позволяет быстро и просто найти корень уравнения (либо доказать, что уравнение корней не имеет).

Использование возрастания и убывания функций при решении уравнений опирается на следующие теоремы.

1) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)).

2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает (либо наоборот), то уравнение f(x)=g(x) на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней.

Доказав, что уравнение имеет на промежутке не более чем один корень, можно попытаться определить его подбором.

Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, каждый из них следует рассмотреть отдельно.

Сумма возрастающих функций — возрастающая функция. Сумма убывающих функций — убывающая функция.

Прибавление или вычитание постоянной величины не влияет на монотонность функции. Если к возрастающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим возрастающую функцию. Если к убывающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим убывающую функцию.

Таким образом, использование монотонности функций при решении уравнений схематически можно изобразить так:

то уравнение имеет единственный корень или не имеет корней.

Разумеется, количество слагаемых может быть больше двух.

Некоторые функции, возрастающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения (k>0, b≥0, n — целое):

1),y = <\log _a>x(a > 1),\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Некоторые функции, убывающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения:

1),y = — <\log _a>x(a > 1),\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Примеры решения уравнений с помощью использования монотонности функций.

Перепишем уравнение в виде

является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

На промежутке (-∞;0) функция

— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x= -1.

Аналогично, на промежутке (0:∞)

— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x=1.

В алгебре решение уравнений с применением возрастания и убывания функций чаше всего используется при решении иррациональных, логарифмических, показательных уравнений. Полезно взять на вооружение этот удобный и быстрый способ.

2 комментария

Добрый день. Вот это схематическое изображение монотонности очень интересно, но там не все понятно. Что вы подразумеваете под знаками равно и минус? И вот это: сумма убывающих_возрастающая? Буду благодарна комментариям

Елена, «=» — знак равенства между левой и правой частями уравнения.
Сумма убывающих функций — убывающая функция. Соответственно, одна часть уравнения — убывающая функция, а другая — возрастающая, то применима вторая теорема.
Аналогично, сумма возрастающих функций есть возрастающая функция. Если с одной стороны — возрастающая функция, с другой — убывающая, можем применить первую теорему.
Если к монотонно возрастающей функции прибавить число (или вычесть), то это никак не повлияет на её монотонность (это наглядно можно продемонстрировать графически: график функции y=f(x)±b получен из графика y=f(x) параллельным переносом на b единиц вверх или вниз вдоль оси Oy). Поэтому, если в одной части уравнения — монотонно возрастающая функция ± число, а в другой — монотонно убывающая функция, можем применить теорему два. И т.д.

Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций 10 класс профиль

Использование свойств функции. Исследование области определения функции. Использование свойства ограниченности функции. Использование свойства монотонности функции.

Исследование области определения функции.

Решение Каждый из корней в правой части уравнения- возрастающая функция , которая не принимает отрицательных значений, значит и сумма этих корней положительна . Значение в правой части отрицательно. Противоречие . Положительное значение в левой части не может быть отрицательным. Ответ: уравнение корней не имеет.

Решение . Для того, чтобы сумма в левой части уравнений бала равна нулю, нужно чтобы сумма корней была равна -3 (-3+3=0) Противоречие. Сумма корней не может быть отрицательна Ответ : уравнение корней не имеет

Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: x=1 . Теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая( перед корнем стоит минус) Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. x=1 – единственный корень. Ответ: x=1.

Краткое описание документа:

Презентация посвящена применению свойств функции для решения иррациональных уравнений.А именно: применение результатов исследования области определения, использование свойств ограниченности функций, их монотонности. Теоретический материал рассматривается как страница учебника Нелина Е. Рассматриваются примеры на каждое из вышеназванных свойств. заканчивается презентация текстом самостоятельной работы, задания которой соответствуют содержимому презентации. презентацией можно пользоваться как на уроке, так и при самостоятельной подготовке.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 305 человек из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 595 644 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 17.12.2014
• 1916
• 1

• 17.12.2014
• 903
• 0

• 17.12.2014
• 1486
• 0

• 17.12.2014
• 637
• 0

• 17.12.2014
• 4232
• 9

• 17.12.2014
• 4232
• 22

• 17.12.2014
• 6064
• 4

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.12.2014 3738
• PPTX 619.7 кбайт
• 34 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бабенко Елена Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 32260
• Всего материалов: 32

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений.

Цели:

Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения. Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления. Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;

2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения;

3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

Тип урока: комбинированный

Методы обучения:

Информационно- иллюстративный; репродуктивный; проблемный диалог; частично-поисковый; системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

Фронтальная, групповая, самопроверка, взаимопроверка, коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность занятия: 2 урока по 45 минут.

План урока:

I. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

II. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.

III. Изучение нового материала.

IV. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

V. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

VI. Задание на дом.

I Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

II Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

· Определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

Назовите иррациональные уравнения:

· Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

· Основные методы решения иррациональных уравнений.

1. Уединение радикала. Возведение в степень.

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

1) использование равносильных преобразований

для уравнения вида

для уравнения вида

2) после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Проверка: x=2 x=5

— посторонний корень

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.

Пример 4:

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:

2. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены

Пример 5:

Сделаем замену причём тогда

не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене:

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6: .

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

, .

Тогда,

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .

Имеем систему уравнений

Т. к. а + в = 4, то

Значит: 9 – x = 8 , х = 1.

3. Метод разложения на множители или расщепления.

· Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7:

III Изучение нового материала.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

4. Умножение на сопряжённое выражение.

5. Переход к модулю.

6. Использование свойств функции:

§ Область определения функции (ОДЗ)

§ Область значения функции

§ Свойство ограниченности функции (метод оценок)

§ Использование суперпозиций функций

· Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой

Пример 8:

Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение:

Проверка показывает, что число является корнем.

Ответ:

· Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством:

Пример 9:

§ Если , то , тогда

тогда

§ Если , тогда ,а

§ Если , тогда , а

· Использование свойств функции:

§ Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10:

ОДЗ: ОДЗ: x=0 и x=1

Проверка показывает, что только x=1 является корнем.

Ответ:

Пример 11:

, тогда

Тогда невозможно.

Ответ: корней нет.

§ Область значений функции

Пример 12:

Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть — функция может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13:

Учитывая то, что левая часть уравнения – функция может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство:

неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

§ Свойство ограниченности функции (метод оценок)

· Если и , то

Пример 14:

Заметим, что , т. е. , а

Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ:

· Пусть — функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I не более одного корня.

· Пусть — функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция — убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15: .

Рассмотрим функции и .

монотонно возрастает, а — убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором:

Ответ:

Пример 16:

Функция возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Так как , то — единственный корень .

Ответ:

§ Использование суперпозиций функций

· Если — монотонно возрастающая функция, то уравнения и равносильны.

Пример 17:

Запишем уравнение в виде

Рассмотрим функцию — монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид . Оно равносильно уравнению

Сделаем замену

не удовлетворяет условию

Ответ:

IV. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

Решение уравнений в группах по 6 человек.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

2 3 4

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.

V. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) *

Используемая литература.

1. Чулков курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.

2. , , Морозова государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2

3. Шарыгин курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989

4. , Якушев : интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.

5. , Голобородько и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.

Задания для работы в группах:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

Проверочная работа по теме: «Методы