Решение комбинированных уравнений i с решением

Комбинированные уравнения

урок обобщения по комбинированным уравнениям

Просмотр содержимого документа
«Комбинированные уравнения»

МБОУ «Песчанская СОШ»

Увельского района , Челябинской области

Составитель: Извекова Татьяна Ивановна, учитель математики, высшая категория.

Конспект урока. Алгебра и начала анализа в 10классе.

Тема: Решение комбинированных уравнений.

Цель: Систематизировать знания учащихся по теме, отработать алгоритм решения комбинированных уравнений вида P(x)·Q(x)=0

— Развивать учащихся мышление, память, внимание, творческие способности учащихся.

— Создать условия здоровьесбережения на уроке.

Оборудование: индивидуальные дощечки, компьютер.

Устный счет. (4 мин.)

а) «Математику я знаю

Очень хорошо считаю».

(с закрытыми глазами):

10+3=13·4=42-20=22:(-11)=-2 и найти половину -1

Число 60 60:(-3)=-20+15=-5-2=-7·5=-35+35=0

б)Ответы на индивидуальных дощечках:

1) Найти ODS выражений:

а)3 х б) в)log₂(5х-4) г)sin2х е)

2) Реши уравнение:

а)3 х =27 б)6 х-4 =-6 в)log₅(х-2)=1 г) =8 д)log₂ х=0

3. Тема: Комбинированные уравнения.

·(3 х + 27·3 -х -12)=0 (Разложение на множители)

х 2 · 4 х+1 – х 2 +36 = 36 · 4 х+1

(sin πх-1)· log(2-х 2 )=0

(cos x·cos 3x + sin x sin3x)=0

(cos 2 x-sin 2 x)=0

2·5 х sin x+1=2sin x+5 х

+3 х+2 =1 (преобразованием)

3 х-1 = (графически)

Используются свойства функций:

log₂ x = если оно имеет корень, то единственный (угадать х=4)

3 ׀ х-2 ׀ = 9 3- ׀ х-2 ׀

1+ =2׀х׀

Мы будем сегодня решать комбинированные уравнения

На доске: Решение уравнений: (на доске – 8 мин.) (в парах- 7 мин.)

2) (4х-5)· =0

4) х 2 ·4 х+1 -х 2 +36 = 36·4 х+1 (с проверкой на доске)

5) (sin 3xcos x-sinx cos3x)=0

Выбирают для решения 2 уравнения на доске, затем два уравнения парами (лишний решает на доске). (25 мин.)

Заполнение кроссворда: (3 мин.)

1)Уравнение, в котором неизвестная переменная входит только в аргументы тригонометрических функций, называется тригонометрическим.

2)Уравнение, в котором неизвестная переменная входит только в показатели степени при постоянных основаниях, называется показательным.

3)Уравнение, в котором неизвестная переменная входит только в аргументы логарифмических, называется логарифмическим.

4)Уравнение, в котором под знаком корня содержится переменная, называется иррациональным.

5)Уравнение смешанного типа, называется комбинированным.

6)Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Корнем.

Слово: чеснок – лекарственное.

(2 мин.) на экране.

Сколько корней? (на экране)

(cos 2 x – sin 2 x)=0

(любые 2 уравнения)

2·5 х sin x+1=2sin x+5 х

2sinx(5 х -1)+(1-5 х )=0 (3 мин.)

2sinx(5 х -1)-( 5 х -1)=0

прав.х=0 5 х -1=0 2sinx-1=0

5 х =1 sinx=

х=1 х=(-1) к +; к € z

Ответ: 1; (-1) к +; к € z

(решение на экране)

1+ =2׀х׀(3 мин.)

на экране решение

показать второй способ

1+ =-2х

1=2x

Домашняя работа: тест. Стр.62 (2 мин.)

3 х-0,5 ·3 х+1 =1 (х=- )

Сумма: 7

Методическая разработка «Решение комбинированных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методическая разработка «Решение комбинированных уравнений»

На вступительных экзаменах, в вариантах ЕГЭ, все чаще предлагаются уравнения с разными функциями: степенными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими, так называемые комбинированные уравнения.

Учащиеся, владеющие только стандартными методами решения уравнений, как правило, попадают в расставляемые экзаменаторами ловушки. “Берясь” за решение уравнения, они концентрируют свое внимание только на поиске преобразований, сводящих исходное уравнение к более простому, забывая при этом, что упрощение полезно и возможно не всегда.

Далее речь пойдет о наиболее общих методах, используемых при решении комбинированных уравнений.

1. Метод разложения на множители. Метод введения новой переменной.

Сначала рассмотрим несколько несложных уравнений, иллюстрирующих наиболее распространенную схему решения.

Пример 1.1 Решить уравнение:

Используем формулу перехода к новому основанию логарифма и выносим за скобку общий множитель.

U U

Выполним отбор корней, учитывая ОДЗ.

U U k I ? , следовательно,

уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Пример 1.2. Решить уравнение:

.

ОДЗ:

Переходя к основанию ( x +1) и преобразуя логарифм степени, имеем

Разделим обе части уравнения на

6— 13+ 6 = 0

Пусть = t, тогда имеем

6t 2 -13t + 6 =0, t> 0

Решая квадратное уравнение, находим ,

Возвращаясь к прежней переменной, получим совокупность

U

Учитывая ОДЗ, имеем x = .Ответ: x = .

2. Использование экстремальных свойств функции. Метод оценок.

Обоснованием метода оценок является

Теорема №1: “Если на промежутке Х наибольшее значение функции равно A и наименьшее значение функции y = g(x) тоже равно A , то уравнение = g(x) равносильно системе уравнений

Применение метода оценок предполагает нахождение наибольшего и наименьшего значений элементарных функций или их “композиций” на заданном множестве, а также использование некоторых “полезных” неравенств:

1. Неравенство Коши. Пусть

Тогда имеет место где k 2

В частности, если k =2, то неравенство Коши принимает вид:

, где (1)

2. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел где а > 0, (2)

которое также является следствием неравенства (1), если допустить, что .

3. Неравенство для разности двух взаимообратных чисел , где а

4. Неравенство а 2 + в 2 2/ав/. (4)

5. Неравенство для суммы синуса и косинуса одного и того же аргумента:

(5)

Пример 2.1. Решить уравнение:

.

О.Д.З.: x — любое, кроме

по свойству (2).

Корень показательного уравнения является также корнем тригонометрического уравнения системы (проверяем подстановкой), следовательно, — решение системы и корень исходного уравнения.

Ответ: .

3. Использование свойства монотонности функций.

Для решения комбинированных уравнений с использованием монотонности функций полезно знать следующую теорему:

Теорема № 2. Если функция — возрастающая на , функция — убывающая на , то уравнение либо не имеет корней, либо имеет единственный корень на .

Пример 3.1. Решить уравнение:

О.Д.З.: .

Выполнив преобразования, получим

,

,

.

Очевидно, что x = 7 — корень уравнения. Докажем, что других корней нет.

Функция — убывает на .

,

Если , то , следовательно возрастает на , тогда по теореме 2 уравнение имеет единственный корень.

Методы, рассмотренные в §2; §3 представляют собой две разновидности функционально-графического метода.

4. Применение производной.

Нахождение области значений элементарных функций, входящих в комбинированное уравнение, не всегда возможно осуществить, используя свойство ограниченности их области значений. В таких случаях бывает полезно применить производную для нахождения экстремумов функций.

Пример 4.1 . Решить уравнение:

Пусть ; .

Найдем — области значений этих функций.

, т.к. графиком функции является парабола с направленными вниз

ветвями и вершиной в точке (0;1).

x = 0 — критическая точка функции

равенство возможно, если

Корень второго уравнения x = 0 подставим в первое уравнение системы, получим верное числовое равенство, следовательно x = 0 — решение системы и корень исходного уравнения.

Решение комбинированных уравнений методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

Пример 1.3 Решить уравнение.

()

ОДЗ  

Задача сводится к решению совокупности трех уравнений:



Учитывая ОДЗ, x =9

Пример 1.4. Решить уравнение.

Решение: ( x 2 — x 2  3 x ) – (9-9  3 x ) = 0;

1-3 x =0 или x 2 -9 = 0;

Пример 1.5 Решить уравнение.

ОДЗ: x  (1;2)  (2;+)

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получим

Учитывая ОДЗ, x = 5.

Пример 1.6. Решить уравнение:

.

ОДЗ:

По формуле перехода к новому основанию логарифма имеем:

Пусть , тогда

Учитывая ОДЗ,

Ответ:

Урок обобщения по теме: «Проценты»

Тип урока: комбинированный урок.

Цель урока: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков.

Сегодня мы будем работать по теме: “Сколько нас было и сколько нас стало?”. Вы все были участниками большого события, произошедшего в апреле 2002 года. По всей стране прошла перепись населения. Цитата из словаря: “ Перепись — это специально организованный периодический или единовременный процесс сбора статистической информации. Проводится одновременно на всей территории по единой программе и методологии. Перепись населения — это получение демографических, экономических, социальных сведений о жителях страны или отдельной территории ”. Демографическими сведениями называются показатели численности, состава, размещения и изменения населения.

Первые сведения о численности якутов можно найти в книге Вацлава Леопольдовича Серошевского “Якуты”. К приходу русских якуты были относительно немногочисленным народом. Вопрос о численности коренных жителей интересовал царское правительство с самого начала. С начала XVIII в. стали появляться расчеты исследователей. Самую кропотливую работу проделал замечательный ученый, этнограф Б. О. Долгих, оставивший фундаментальный труд о расселении и численности всех сибирских народностей XVII в. В основу его расчетов легли подлинные ясачные книги. Вот его данные.

Ко времени прихода русских (условно — середина XVII в.) якутов обоего пола было 28470 человек. Это составляло 58,9% от общего числа жителей Якутии. Сколько людей проживало тогда в Якутии?

В 1897 г. была проведена Всеобщая перепись населения Российской империи. По данным этой переписи якутов стало 221067 человек. На сколько процентов увеличилось количество коренного народа Якутии?

Спустя 30 лет, по Всесоюзной переписи населения 1926 г., было учтено в Якутской АССР 235926 якутов. А численность всего населения составила 287300 человек. Сколько процентов составляли якуты от всего населения?

В 1939 году в Якутии проживало 413800 людей. На сколько процентов возросло население по сравнению с 1926 г.?

По данным переписи 1959 года население Якутии увеличилось на 17,8% с 1939 г. Вычислите, сколько людей проживало?

Вы, наверное, заметили, что за период с 1939 по 1959 гг. прирост населения Якутии меньше, чем за период с 1926 по 1939 гг. Как вы думаете, чем это обусловлено? (В этот период произошли большие демографические потери в годы Великой Отечественной войны).

Следующая перепись проводилась в 1989 году. Ее итоги: в Якутии проживает 1081400 человек, 35,3% составляют якуты, 50,9% — русские. Вычислите, сколько якутов и русских проживало тогда в нашей республике?

В последней переписи вы участвовали. Она проводилась в апреле 2002 года. Она показала, что количество якутов увеличилась на 16,8%, а численность всего населения Якутии — 948100 человек. Вычислите, сколько нас (якутов) стало и на сколько процентов уменьшилось население .

Теперь, домашнее задание. Я вам предлагаю решить три задачи:

Население России по переписи 2002 года составляло 144954200 людей. Только за первое полугодие 2003 года население России уменьшилось на 0,3%. Вычислите, на сколько людей уменьшилось население России.

Численность школьников в Российской Федерации уменьшается с каждым годом: в 2000 г. вас (школьников) было 23505000, по прогнозам в 2004 г. число школьников уменьшится на 18,8%. Сколько вас станет в 2004 году?

В 2002 году в России детей школьного возраста было 21388000 человек. Узнайте, какой процент от общего числа населения России составляют школьники.

Кроме решения этих задач будет еще одно задание: самим составить задачи по этой теме. Для этого я рекомендую книгу “Экология” из серии “Энциклопедия для детей” издательского центра “Аванта +”, том 19. Прочтите внимательно очерки по разделу 3 “Экология человека” и составьте по две задачи.

Учебный проект: экологическое исследование «Автотранспорт и воздух города»

У каждого века вечность вопрошает:
что же свершится в будущем с природой?

Качество воздуха – один из важнейших показателей качества окружающей среды, влияющий на здоровье человека, состояние зеленых насаждений, архитектурных сооружений, памятников. Проект является исследовательской деятельностью и подразумевает использование интерактивных методов. Проектно-исследовательская деятельность позволяет школьникам практически применить знания, полученные на уроках математики, биологии, экологии.

При работе по проекту школьникам предлагается изучить транспортную нагрузку на улицах, оценить количество угарного газа, попадающего в окружающую среду с выхлопными газами автомобилей. Предполагается, что на основе полученных данных участники проекта выработают предложения по улучшению экологической ситуации.

Учащимся предложили разделить машины на четыре группы: легковые; грузовые; автобусы ; микроавтобусы. Так же нами была упрощена формула по расчету выброса до следующего вида: M = m . n, где m – количество угарного газа, выбрасываемого одним автомобилем определенного типа, г/км (в этом коэффициенте мы заранее учли влияние среднего возраста автомобилей и технического состояния машин), n – среднее количество автомобилей определенного типа, проехавших за один час, М – масса угарного газа, выбрасываемого автомобилями определенного типа на протяжении одного километра пути.

Цель: формирование экологического сознания и экологической культуры у школьников.

1.Привлечение внимания детей к проблеме загрязнения атмосферы.
2. Выявление путей решения проблемы загрязнения воздуха.
3. Реализация межпредметных экологических связей.
4. Формирование активной позиции школьников по вопросам защиты окружающей среды.
5. Развитие коммуникативных способностей ребят.
6. Развитие навыков сотрудничества.
7. Закрепление навыков действий с дробными выражениями, применение этих действий при решении практических задач.
8. Формирование навыков чтения и составления столбчатых диаграмм.

Этапы экологического исследования

1.»Погружение» в проблему. На этом этапе учащиеся знакомятся с одной из глобальных экологических проблем – загрязнением атмосферы. Здесь же ребятам зачитывается письмо от … отд. ГИБДД МО с просьбой провести оценку выбросов автотранспорта, распределяются задания между всеми учениками класса.

2. Организация деятельности

1. Подсчитать количество машин, проезжающих в час по проспекту Красной Армии г. Сергиев Посад и поселку Загорские Дали, разделив их на следующие типы: легковые; грузовые; автобусы, микроавтобусы. Подсчет вести два раза за день: с 10 до 11 часов (время затишья) и с 17 до 18 (час пик).

2. Подготовить плакат с девизом урока и плакаты, иллюстрирующие проблему загрязнения атмосферы, сообщение по теме.

3. Подготовить видеосюжет о состоянии воздуха на исследуемых улицах с опросом общественного мнения.

3. Осуществление деятельности и подведение итогов (презентация результатов)

Заключительный этап проводится в форме внеклассных мероприятий (одно или два занятия, по необходимости), в ходе которых учащиеся завершают выполнение заданий в рабочем листе, формулируют выводы, заполняют экспертную справку. Ученики класса делятся на группы: первая – пр. Красной Армии, вторая – Загорские дали. На доске заготовлены ватманы для составления сравнительных диаграмм, начерчены таблицы, которые заполняют представители групп в ходе занятия.

Вступительное слово о целях и задачах. Видеосюжет.

Сообщение о проблемах, связанных с загрязнением атмосферы.

Деятельность по рабочему листу (решение задач, составление диаграмм) .

Подведение итогов, обсуждение данных.

Составление экспертной справки.

Слово в защиту воздуха.

Задания для групп на внеклассном занятии.

Задание 1. Заполнить таблицу (каждая группа по своей улице)

Задание 2. Используя данные таблицы, построить сравнительные диаграммы: выброс угарного газа автомобилями разных типов (для каждой улицы); выброс угарного газа на разных улицах.

Задание 3. Предположить, что весь автотранспорт перевели на газ и любой тип автомобиля выбрасывает в среднем 25 г/км угарного газа. Как изменится состояние воздушной среды? Заполнить таблицу 2 на рабочем листе и достроить диаграммы.

Задание 4 (устно). Ответить на вопросы: на какой из обследованных улиц состояние воздушной среды наиболее благоприятно и почему; сделать вывод об использовании сжатого газа в виде топлива.

Задание 5. Разработать в группах предложения по улучшению качества воздушной среды и заполнить экспертную справку.

Ф. И. заполняющих: ______________________

Рабочая формула: М = m . n, где m – количество угарного газа, выбрасываемого одним автомобилем определенного типа (г/км), n – среднее количество автомобилей определенного типа, проехавших за один час.

Экспертная справка о состоянии воздушной среды проспекта Красной Армии и поселка Загорские дали

__________ 2004 год учащиеся ____ класса школы ___________________

1. Результаты расследования (где n – количество автомобилей определенного типа, m – выброс угарного газа одним автомобилем определенного типа, М = m . n)

2. Предложения по улучшению качества воздушной среды.

Элективный курс «Математика и цветоводство»

В современном мире экология как наука приобретает особое значение в связи с усилением воздействия человека на природу. Она уже не может считаться только наукой об отношениях живых организмов с окружающей средой. Задачами экологии на современном этапе являются поиск новых путей сосуществования человека и природы, изучение философских, социальных, экономических, образовательных и других проблем, стоящих перед обществом.

При преподавании школьных предметов имеется возможность продемонстрировать взаимосвязи между понятиями, принятыми в различных областях знаний, и процессами, протекающими в природной среде, в человеческом обществе.

При изучении геометрии в школе можно установить взаимосвязи между геометрическими понятиями и окружающим миром. С древности, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т. е. пытались вывести “формулу красоты”.

Ряд “формул красоты” известен. Это – правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник и т. д.; это – законы симметрии. Можно привести множество примеров присутствия симметрии в окружающем нас мире. Симметрию легко обнаружить в природных и рукотворных формах. Эстетическое наслаждение, получаемое человеком при наблюдении совершенных форм предмета, объясняется не только выполнением законов симметрии, но и присутствием так называемой “божественной” пропорции, “золотого сечения” в соотношении частей, на которые предмет делится естественным образом. Соблюдение пропорций в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания. “Золотое сечение” являлось критерием гармонии и красоты во времена Пифагора и в эпоху Возрождения. Знания об этом уникальном отношении частей к целому продолжают наполняться новым содержанием, проникая в самые разнообразные области человеческих знаний. Одновременно с этим может быть найден подход к решению одной из задач воспитания экологической культуры – созданию целостной картины мира в сознании школьников.

В связи с вышеизложенным, элективный курс “Математика и цветоводство” ставит следующую цель: показать, как математические понятия взаимосвязаны с окружающей средой, и дать школьникам базовые знания по выращиванию комнатных растений, уходу за ними, по растительному дизайну внутренних помещений.

обеспечить педагогические условия для расцвета личности школьника с учётом его возрастных особенностей; развитие творческих сил, способностей и дарований;

развивать гуманистические субъект субъектные отношения;

формировать основанное на общечеловеческих ценностях и законах красоты мировоззрение учащихся;

формировать устойчивый интерес к дисциплинам естественно-математического цикла.

способствовать формированию интереса к окружающей природе, среде обитания и мотиваций к познанию через использование математических понятий;

способствовать формированию качеств самостоятельности и самоактуализации;

научить выращивать и разводить цветы, разрабатывать и выполнять дизайнерские проекты по озеленению отдельных участков внутреннего пространства помещений;

способствовать развитию интереса к трудовой деятельности как виду творчества, формированию навыков гигиены и охраны труда при работе с растениями;

В процессе педагогической деятельности задействованы следующие виды обучения: традиционное (объяснительно-иллюстративное) обучение, проблемное (самостоятельное добывание знаний в процессе решения учебных проблем, развитие творческого мышления и познавательной активности учащихся) и инновационное (самообразование, самовоспитание, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным и методическим материалами).

Эти виды обучения предполагают следующие формы организации обучения:

Индивидуальные, групповые, коллективные формы обучения.

Взаимного обучения, самообучения и саморазвития.

Массовые мероприятия: экскурсии, творческие отчёты, участие в семинарах, конференциях, выставках и т.п.

Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности, лекции, консультации, лабораторную работу, опытную работу, самостоятельную работу, творческую проектную работу и т.п.

Эффективность обучения будет отслеживаться следующими формами контроля:

срезы знаний, умений в процессе обучения;

Показателем эффективности обучения также будут повышающийся интерес к математике, биологии, черчению, творческая активность и результативность учащихся.

Данный элективный курс “Математика и цветоводство” предназначен для школьников 10-11-х классов и рассчитан на 35 часов.

Итоговый контроль предусматривает:

в конце первого раздела – проверка первоначальных знаний умений и навыков по комнатному цветоводству. Форма контроля – собеседование;

в конце второго раздела – теоретическая подборка материалов по выращиванию цветов одного вида и её защита;

в конце третьего раздела – защита воплощённого растительного дизайн проекта оформления избранного участка интерьера школы.

Учебно-тематическое планирование

Из истории растений. Строение растений. “Золотое сечение”. Практическая работа по определению “золотого сечения” у растений. Как поливать и подкармливать комнатные растения. Световой и температурный режим. Почва и посуда для комнатных растений. Пересадка и размножение комнатных растений. Болезни и вредители.

Знания и умения: Обучающиеся должны знать, как появились растения, как составляются имена того или иного растения; должны знать строение растения и уметь определять “золотое сечение”; должны научится поливать и подкармливать комнатные растения; уметь правильно регулировать световой и температурный режим; должны знать какие почвы и для какого растения применимы; уметь выполнить пересадку растения; знать и уметь определить заболевание и вредителей комнатного растения.

Раздел II. Особенности выращивания и размножения различных групп комнатных растений.

В этом разделе рассматриваются растения, входящие в семейства: акантовые, амариллисовые, аспарагусовые, асфоделовые, бромеливые, кактусовые, коммелиновые. Отличительные признаки этих семейств. Требования к уходу. Цветение, корни, удобрение, свет, размножение.

Знания и умения: Обучающиеся должны знать отличительные признаки растений, входящих в определённое семейство и уметь по этим признакам классифицировать растения по семействам; знать основные требования к уходу за растениями определённого семейства и уметь ухаживать за ними; уметь определять заболевание и вредителей комнатного растения и уметь их устранять и предотвращать; знать, как размножаются растения того или иного семейства, и уметь это делать.

Раздел III. Цветочный дизайн.

Этот раздел знакомит обучающихся с применением геометрических преобразований (симметрия, зеркальное отображение, поворот) в цветочном дизайне. Построение плана комнаты. Основные понятия и виды дизайна. Цвет, освещение. Как подобрать растения для гостиной, детской комнаты, кухни и ванной комнаты. Разработка дизайнерских проектов этих помещений.

Знания и умения: Обучающиеся должны знать, как и где в комнатном цветоводстве можно применить геометрические понятия; уметь выполнять построение плана комнаты с учётом требований ГОСТа; уметь подобрать комнатные растения с учётом расположения и планировки квартиры для того или иного помещения; уметь составлять дизайнерские проекты гостиной, детской комнаты, кухни и ванной комнаты и осуществлять их.

Макровская М.М. Уголок природы в детском саду. Москва, Просвещение, 1989г.

Клинковская Н.И., Пасечник В.В. Комнатные растения в школе. М, Просвещение, 1986г.

Серпухова В.И., Тавлинова Г.К. Комнатные и балконные растения. Ленинградское газетно-журнальное и книжное издательство, 1955г.

Гладкий Н.П. Декоративное цветоводство. Л., Колос 1977г.

Миско Л.А. Розы. М, Наука 1986г.

Степанова И. Лианы. М., “Панорама”, 1991г.

Николаенко Ц.П. Справочник цветовода М., Колос, 1971г.

Горкин А.П., Андреева И.А. Краткая энциклопедия домашнего хозяйства. М., Большая, российская энциклопедия, 1993г.

Ракуленко В.В. Декоративное садоводство, М, Просвещение, 1982г.

Журнал “Растения в интерьере”. М, 2002-2003г.

Балашова Е.В., Тищенко М.Н. Библиотечный дизайн, М., Гадарики, 2004г.

Журнал “Зелёный интерьер”, Издательство Зеркало, 2001г.

Журнал “Цветы в доме”, Издательство Бурда, 2002-2003г.

Чуб В.В., Лезина К.Д. Полная энциклопедия комнатных растений. М.; Изд-во Эксмо, 2002г.

Комнатные растения М.; АСТ: Астрель, 2001г.

Зонхильд Бишофф, Урсула Копп. Зимний сад. Планирование. Строительство. Выбор растений./Пер. с нем. – М.: БММ АО, 2002г.

Журнал “Комнатные и садовые растения” Русское издание итальянского проекта “Verdissimo”, выпуск 1-60, 2003-2004г.

Александров А.Д. и др. Геометрия 10-11. М.; Просвещение, 1994г.

Атанасян Л.С. Геометрия 10-11. М.; Просвещение, 2003г.

Газета “Математика” № 42, 2000г.

Элективный курс «Математическая статистика и теория вероятностей»

Современной России нужны люди, способные принимать нестандартные решения, умеющие творчески мыслить, хорошо ориентироваться в обычных житейских ситуациях и повседневной хозяйственной и производственной деятельности.

Введение элементов статистики и теории вероятностей в содержание математического образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования, так как роль этих знаний в современном мире повышается.

Цель курса «Математическая статистика и теория вероятностей» состоит в ознакомлении учащихся со случайными величинами и числами, столь необычными для школьников и естественными в повседневной жизни; развитие в них стохастического аспекта представлений об окружающем нас мире.

— обеспечить условия для расцвета личности школьника с учетом его возрастных особенностей;

— развитие творческих способностей и дарований;

— формировать устойчивый интерес к изучению математики;

— способствовать формированию качеств самостоятельности и самоактуализации.

В процессе обучения учащиеся узнают:

— место статистики в изучении окружающего мира;

— природу и механизм возникновения случайных величин;

— основные понятия математической статистики;

— суть критериев статистической проверки гипотез.

— строить законы распределения случайных величин;

— вычислять математическое ожидание и дисперсию и их точечные и интервальные оценки;

— проверять гипотезы о среднем и дисперсии;

— решать комбинаторные задачи.

При обучении статистике можно использовать стохастические игры, статистические исследования, эксперименты со случайными исходами, мысленные статистические эксперименты и моделирование.

В процессе изучения материала используются как традиционные формы обучения, так и самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным и методическим материалом.

Предполагаются следующие формы организации обучения:

— индивидуальная, групповая, коллективная;

— взаимное обучение, самообучение, саморазвитие.

Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности — лекции, консультации, самостоятельную работу, творческую проектную работу и т.п.

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:

— срезы знаний, умений в процессе обучения;

Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческую активность и результативность учащихся.

Динамика интереса отслеживается с помощью анкетирования на первом и последнем занятиях, собеседования в процессе работы после выполнения каждого вида обязательных работ.

Итоговый контроль предусматривает:

I раздел – творческая подборка вероятностных задач и их защита.

II раздел – собеседование.

III раздел — написание и защита рефератов.

Данный элективный курс «Математическая статистика и теория вероятностей» составлен на основе программы для школ с углубленным изучением математики, авт. Н.Я. Виленкин.. Предназначен для учащихся 10–11 классов и рассчитан на 34 часа.

«Математическая статистика и теория вероятностей»

Раздел I. Статистика и вероятность (18 ч.).

Табличные и графическое представление информации; гистограммы выборок.

Поочередной и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества; решение комбинаторных задач.

Вероятностное пространство как модель реального эксперимента; элементарные исходы и случайные события; различные определения вероятности; формулы для числа перестановок, размещений и сочетаний; биноминальные коэффициенты, треугольник Паскаля и его свойства.

Классический способ нахождения вероятности случайных событий; правило сложения вероятностей; геометрические вероятности; условная вероятность; два подхода к определению условной вероятности; правила умножения вероятностей.

Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события; вероятность и статистическая частота наступления события; формула полной вероятности.

Раздел II. Основные понятия математической статистики (9 ч.).

Место статистики в изучении окружающего мира.

Случайные величины и их природа.

Выборки и выборные функции.

Числовая выборка как реализация случайной величины.

Представление результатов выборки в частотных таблицах.

Дискретные и непрерывные признаки.

Закон распределения случайной величины. числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, мода, медиана, размах, дисперсия, стандартное отклонение.

Испытания Бернулли. формула Бернулли и биномиальное распределение.

Раздел III. Статистическое оценивание и прогноз (7 ч.) .

Точечные и интервальные оценки характеристик выборки.

Методы построения оценок и вычисления их погрешностей.

Оценка вероятности события по его частоте.

Определение наиболее вероятного исхода случайного эксперимента.

Проверка гипотез: уровень значимости, ошибки первого и второго рода.

Какие события можно считать маловероятными?

В результате прохождения курса обучающиеся умеют:

решать комбинаторные задачи изученных типов;

вычислять вероятность события, пользуясь простейшими свойствами вероятности;

использовать статистические инструменты для анализа данных;

строить законы распределения случайных величин;

проверять гипотезы о среднем и дисперсии;

место статистики в изучении окружающего мира;

природу и механизм возникновения случайных величин;

основные понятия математической статистики;

суть критериев статистической проверки гипотез;

формулы для подсчета числа размещений, перестановок, сочетаний;

Учебно-тематическое планирование материала

Приемы решения некоторых комбинированных уравнений Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кара-Сал Надежда Маасовна

В данной статье рассматриваются некоторые приемы решения комбинированных уравнений , в левой и правой частях которых участвуют тригонометрические функции . Приведены примеры уравнений, классифицированных на шесть типов. Использование комбинированных уравнений на завершающем этапе школьного курса математики способствует систематизации знаний .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кара-Сал Надежда Маасовна

THE TECHNIQUES IN THE SOLUTION OF SOME COMBINED EQUATIONS

Some techniques of combined equation solutions which in the left and right sides have trigonometric functions are reviewed in the article. The examples of equations classified into six types are given in the article. Using combined equations in the final stage of school mathematics contributes to systematize students’ knowledge.

Текст научной работы на тему «Приемы решения некоторых комбинированных уравнений»

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ———

И ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

THEORY AND METHODOLOGY OF TEACHING MATHEMATICAL AND NATURAL SCIENCE DISCIPLINES

ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КОМБИНИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ

Тувинский государственный университет, Кызыл

THE TECHNIQUES IN THE SOLUTION OF SOME COMBINED EQUATIONS

Tuvan State University, Kyzyl

В данной статье рассматриваются некоторые приемы решения комбинированных уравнений, в левой и правой частях которых участвуют тригонометрические функции. Приведены примеры уравнений, классифицированных на шесть типов. Использование комбинированных уравнений на завершающем этапе школьного курса математики способствует систематизации знаний.

Ключевые слова: приемы решения комбинированных уравнений, тригонометрические функции, систематизация знаний.

Some techniques of combined equation solutions which in the left and right sides have trigonometric functions are reviewed in the article. The examples of equations classified into six types are given in the article. Using combined equations in the final stage of school mathematics contributes to systematize students’ knowledge.

Key words: the techniques of solution of combined equations, trigonometric functions, systematization of knowledge.

На завершающем этапе изучения курса «Алгебра и начала анализа» в 11 классе учащиеся, как правило, владеют приемами решения различных классов уравнений и неравенств. Однако часто они затрудняются при решении уравнений и неравенств, в которых участвуют различные функции. Назовем такие уравнения и неравенства комбинированными.

Классифицировать их бывает сложно и не всегда можно подобрать приемы решения комбинированных уравнений и неравенств.

В статье остановимся на некоторых приемах решения комбинированных уравнений, в левой или правой частях которых участвуют тригонометрические функции.

Такие уравнения можно условно разбить на уравнения, в которых участвуют комбинации тригонометрических функций:

1) с линейной и квадратичной функцией;

2) со степенной функцией;

3) с дробно-рациональной функцией;

4) с показательной функцией;

5) с логарифмической функцией;

6) с обратно тригонометрическими функциями.

Тема является одной из сложных, поэтому программой по математике для общеобразовательных школ, как правило, не предусмотрена для обязательного изучения. С другой стороны, задания по данной теме включены в контрольно-измерительные материалы (КИМ) ЕГЭ по математике. Чаще всего такие задания предлагаются на ЕГЭ в части С. Поэтому для овладения навыками решения комбинированных уравнений и неравенств школьнику необходимо владеть приемами решения различных типов уравнений и неравенств.

Остановимся кратко на анализе содержания темы в школьных учебниках и учебных пособиях различных авторов.

Результаты анализа показывают, что прежде всего в комплектах учебников под редакцией А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов [3] имеется достаточно много примеров комбинированных уравнений и неравенств. Следует заметить, что их можно использовать для работы с учащимися, имеющими различный уровень математической подготовки.

Можно выделить следующие виды уравнений, в которых чаще встречаются комбинации тригонометрических функций с другими функциями: (1), (2), (4), (5), реже — вида (3), (6). Например,

(бШ 2х + СОБ2Х)(Х — 8л/2х -15 )= 0

(2л Л 5лх лх 32V* _ 4х + 8) = sin—cos—

Несмотря на разнообразие комбинированных уравнений в данном комплекте учебников, в нем недостаточно уделяется внимания на методику решения таких уравнений для учащихся.

Если обратиться к учебнику Ш.А. Алимова и др. «Алгебра и начала анализа» для 10 — 11 классов [1], то гораздо реже встречаются такие уравнения, за исключением заданий на графическое решение комбинированных уравнений.

Лишь в разделе «Задачи для внеклассной работы» имеется несколько примеров комбинированных уравнений. Например,

log (4cos х + 3) log (4cos х + 3) = log (4 cos х + 3) + log (4 cos х + 3)

Что касается учебника под редакцией А.Н.Колмогорова «Алгебра и начала анализа» [2], то имеем картину аналогичную учебнику А.Ш. Алимова [1].

Гораздо интересней представлен материал по данной теме в учебниках и учебных пособиях для классов с углубленным изучением математики или для профильных классов с математическим или с техническим, экономическим уклоном.

Так, в учебном пособии Н.Я. Виленкина и др. «Алгебра и математический анализ» для 11 класса [5] более подробно представлен как теоретический, так и задачный материал. Рассматриваются все перечисленные выше комбинации функций в уравнениях и неравенствах.

Особого рассмотрения заслуживают учебные пособия Ю.М. Колягина[4], С.М. Саакяна [8], И.Ф. Шарыгина [9].

В учебнике Ю. М. Колягина и др. «Алгебра и начала математического анализа» для 10 и 11 классов [4] достаточно много комбинированных уравнений и неравенств.

В отличие от других учебников в этом учебнике вводится метод оценки левой и правой частей при решении уравнений и неравенств, подробно разобраны образцы решения уравнений.

Кроме того, в учебнике 11 класса имеются простейшие уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, чего нельзя сказать про другие учебники.

В пособии С.М. Саакяна и др. [8] «Задачи по алгебре и началам анализа» для учащихся 10-11 классов наиболее полно представлены типы различных комбинированных уравнений и неравенств.

В этом пособии задачи разделены на три уровня. Третий уровень представляет собой задачи, для решения которых необходимо проявить элементы творчества. Они адресованы учащимся, проявляющим повышенный интерес к изучению математики и могут быть использованы учителем для организации индивидуальной работы на уроках с сильными учащимися, на факультативных занятиях, а так же в работе математического кружка.

Именно в заданиях третьего уровня имеются примеры комбинированных уравнений.

В книге И.Ф. Шарыгина, В.И. Голубева «Факультативный курс по математике» для 11 класса [9], в отличие от рассмотренных выше учебников и учебных пособий, комбинированные уравнения и неравенства представлены достаточно широко. При этом они чаще всего встречаются в параграфе «Нестандартные задачи». При этом авторы в некоторых случаях описывают основные методы, наиболее часто встречающиеся при решении нестандартных задач. Например, метод оценки левой и правой частей уравнения, использование известных неравенств, нестандартные замены, использование монотонности функций и т.д. Естественно, широкий диапазон таких задач преследует цель -подготовить выпускника, владеющего приемами решения нестандартных задач.

Наиболее полно комбинированные уравнения представлены в учебном пособии «Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы » под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова [7].

Данное пособие содержит задания С1, С3 по отдельным темам, включенные в ЕГЭ. Основная цель авторов пособия — выработать навыки решения заданий с развернутым ответом при подготовке к ЕГЭ.

В пособии имеются 12 параграфов по различным темам, включающие по 9 заданий, а один вариант является демонстрационным с решениями.

В связи с тем, что комбинированные уравнения чаще стали включаться в задания ЕГЭ в части С, то некоторые авторы учебных пособий обращают пристальное внимание на такие задачи. В этом плане следует отметить учебное пособие Ф.Ф. Лысенко и др. «Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы» [7]. В пособии имеются достаточно много вариантов различных уравнений, неравенств и их систем без

приведения решений, такое пособие является полезным как для учащихся, готовящимся к ЕГЭ по математике, так и для учителей при организации и контроле индивидуальной, самостоятельной работы школьников.

Таким образом, анализ учебников и учебных пособий позволяет сделать вывод о том, что комбинированные уравнения и неравенства в учебниках для общеобразовательных школ мало представлены, так как их решение является необязательным согласно программе. Лучше они представлены в пособиях и учебниках, предназначенных для профильных классов со специальным уклоном (физико-математическим, техническим и др.). Обратимся к примерам.

т-т , D 4sin х = 4х2 — 4 л х + л2 + 4

Пример 1. Решить уравнение .

П(- f(х) = 4sinх, g(x) = 4х2 — 4лх + л2 + 4

Обозначим и применим прием

v ‘ . Тогда равенство дх) = g(х) возможно

тогда и только тогда, когда fх) = g(х) =4 или

f4sin х = 4 (2х-л)2 + 4 = 4, л

Заметим, что уравнение можно решить и графическим методом. Построив графики функций f (х) = 4sinх и y(х) = (2х л) +4 убедимся, что графики

пересекают в точке с абсциссой 2

2sin— • sin- = x + — Пример 2. Показать, что уравнение 26 x не имеет

Преобразуем правую часть уравнения следующим образом:

X2 +-1 = х2 + Л-2 + 2 = | х —| + 2 I х —| > 0 L — !| + 2 > 2

2 2 . . . . . x x V x J . Так как V x J , то V x

, имеем 3 ^3 > 2. С другой стороны,

— 2 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

f(x) = —x2 + 2 x — 5 = —(x2 — 2 x +1)— 4 Функция J v ‘ v ‘ принимает отрицательные

значения, с другой стороны, функция неотрицательные значения. Значит, уравнение не имеет решений.

1 nncos x _ r3 9

Пример 5. Сколько корней имеет уравнение 100 = x на отрезке [0; 2 ]?

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 10, имеем

cos х lg100 = 3lg| X 2cos x = 3lg| x| 1 1 или 1

Используя свойство монотонности, сделаем выводы о том, что на отрезке

2 функция y = cosx убывает, а функция 1 1 — возрастает. Поэтому

уравнение имеет один корень на отрезке [0; 2 ].

Пример 6. Имеются ли пары чисел (х, у), которые удовлетворяют уравнению tg 4 х + tg4y + 2ctg2 х • ctg2 y = 4 — х2 — y 2?

Используя прием выделения полного квадрата к выражению tg X + tg У ,

tg4 х + tg4 y = (tg2 х)2 + (tg2 y)2 — 2tg2 х • tg2 y + 2tg2 х • tg2 y = (tg2 x — tg2 y)2 + 2tg2 x • tg2 y Тогда левая часть уравнения принимает вид

(tg2х — tg2 y)2 + 2tg2х • tg2 y + 2ctg 2х • ctg 2 y T-T

0.7/ ö & s ö ö s . Применив еще раз прием выделения

полного квадрата ко второму и третьему слагаемым, получим 2х •ctg2y) = 2(g•tgy-cg • ctgv)2 +’. —— исходное

2(tg2 x • tg 2 y + ctg 2 x • ctg 2 y) = 2(tgx • tgy — ctgx • ctgy)2 + 4. Тогда уравнение преобразуем к виду

(/я2 х — гя2у)2 + • гяу — с/ях • с^2 + 4 = 4 — х 2 — у2. 0ценив левую и

правую часть уравнения, приходим к выводу:

2х — я у)2 + • я — аях • с/яу)2 + 4 > 4, а так как х 2 + У -, то

Получим следующую систему

(/Я2х — /я2у)2 + 2(/ях • /ЯУ- с/ях • с/яу)2 + 4 > 4, а так как х2 + у2 > 0 4-(х2 + у2) 0

Заметим, что уравнение имеет смысл, если L , откуда

‘ , где n е Z . Преобразовав левую и правую части уравнения, получим 2 — ^ • sin х = • cosх или ^sin х + cosх = . Применяя метод

2 2 2 введения вспомогательного аргумента, имеем 2 2 2 или

х + — = (-1) — + fk, к е Z

х +— = —+ 2fm х =—+ 2fm

Если k =2m, то 6 4 , где m е Z или -2

, „ „ х + f = -f + (2m — 1)f х = — — + 2mf-f Если k =2m-1> то 6 4 K ‘ или 12 .

Проверкой убеждаемся, что 2 не удовлетворяет

уравнению. Тогда получим решение 12 . Отрезку I- J принадлежит

х = — корень 12 при m = 0.

Пример 8. Найти количество корней уравнения

ж x 2nx 4 ж x 8ж x „„,_Jx

принадлежащие промежутку [-1; 3].

Левая часть уравнения представляет собой произведение косинусов, аргументы которых подчиняются зависимости: каждый следующий аргумент вдвое больше предыдущего. Его можно упростить, используя прием многократного применения формулы синуса двойного аргумента. В данном случае он заключается в

умножении и делении произведения на 15 и применении указанного приема.

Тогда получим уравнение 15 x . Если x>0, то 15 , если

x 4. Так как логарифмическая функция с основанием, равным 2,

log ((x — 2)2 + 4) > log 4 , монотонно возрастает, то 2 2 , т.е. функция в левой части

g(x) = log (x2 — 4x + 8) > 2.

Преобразуем правую часть уравнения следующим образом:

ж жx i . 7жx — 2ж 3жx + 4ж

I*(х)| Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

уравнений ^ решением которой является х = 2.

Пример 10. Решить уравнение

arctg4(x3 + 2×2 -x — 2)+ 6×4 + x3 + 2×2 -x -3 = 0. Выражения, представляющие собой слагаемые в левой части уравнения, являются неотрицательными. Сумма двух неотрицательных выражений равна 0

тогда и только тогда, когда каждое из них равно 0. Поэтому имеем систему уравнений

\arctg4 (х3 + 2X 2 — X — 2) = 0

х4 + х3 + 2х2 — х — 3 = 0,

x3 + 2 x2 — x — 2 = 0

Заметим, что выражение x + 2x — x — 2 разлагается на множители (х+2)(х2-1), тогда первое уравнение системы имеет корни х = -2, х = -1, х = 1.

Проверка показывает, что второму уравнению удовлетворяют значения х = -1,

х = 1. Значит, исходное уравнение имеет корни х = -1, х = 1.

Таким образом, тема является одной из сложных в школьном курсе математики, в учебниках она излагается недостаточно полно. Поэтому учителю необходимо обратить внимание на это «белое пятно».

Надеемся, что наши рекомендации будут полезны для учителей математики при подготовке школьников к ЕГЭ по математике, при организации и контроле индивидуальной, самостоятельной работы, а также для внеклассной работы.

1. Алгебра и начала анализа 10-11класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов и др. М.: Просвещение, 2003.

2. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: учебник / Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2010.

3. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович и др. Под ред. А.Г. Мордковича. М.: Мнемозина, 2010.

4. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /Ю. М. Колягин и др. Под ред. А.Б. Жижченко. М.: Просвещение, 2011.

5. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса. М.: Просвещение,

6. Кара-Сал Н.М. Использование свойств функций при решении математических задач. Учебно-методическое пособие по практикуму решения математических задач. Кызыл: ТГИП и ПКК Правительства РТ, 2007.

7. Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. Ростов-на-Дону: Легион, 2012.

8. Саакян С.М. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/С.М. Саакян, А.М.Гольдман, Д.В.Денисов. 4-е изд. М.: Просвещение, 2003.

9. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие для 11 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1991.

1. Algebra i nachala analiza 10-11klass: uchebnik dlya obscheobrazovatelnykh uchrezhdenij / SH. A. Alimov i dr. M.: Prosveschenie, 2003.

2. Algebra i nachala analiza. 10-11 klassy: uchebnik / Pod red. A.N. Kolmogorova. M.: Prosveschenie, 2010.

x4 + x3 + 2 x¿ — x — 3 = 0.

3. Algebra i nachala analiza. 10-11 kl.: V dvukh chastyakh. Ch.2: Zadachnik dlya obscheobrazovat. Uchrezhdenij / A.G. Mordkovich i dr. Pod red. A.G. Mordkovicha. M.: Mnemozina, 2010.

4. Algebra i nachala matematicheskogo analiza: ucheb. dlya 11 kl. obscheobrazovat. uchrezhdenij: bazovyj i profil. urovni /Yu. M. Kolyagin i dr. Pod red. A.B. Zhizhchenko. M.: Prosveschenie, 2011.

5. Vilenkin N.Ya. i dr. Algebra i matematicheskij analiz dlya 11 klassa. M.: Prosveschenie, 2009.

6. Kara-Sal N.M. Ispolzovanie svojstv funktsij pri reshenii matematicheskikh zadach. uchebno-metodicheskoe posobie po praktikumu resheniya matematicheskikh zadach. Kyzyl: TGIP i PKK Pravitelstva RT, 2007.

7. Matematika. povyshennyj uroven EGE-2012 (S1, S3). Tematicheskie testy. Uravneniya, neravenstva, sistemy. Pod red. F.f. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova. Rostov-na-Donu: Legion, 2012.

8. Saakyan S.M. Zadachi po algebre i nachalam analiza: Posobie dlya uchaschikhsya 10-11 kl. obscheobrazovat. uchrezhdenij/S.M. Saakyan, A.M.Goldman, D.V.Denisov. 4-e izd. M.: Prosveschenie, 2003.

9. Sharygin I.F., Golubev V.I. Fakultativnyj kurs po matematike: Reshenie zadach: Ucheb.posobie dlya 11 kl. sred. shk. M.: Prosveschenie, 1991.

Кара-Сал Надежда Маасовна — к.п.н., доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики Тувинского государственного университета, E-mail: nadya.maas@mail.ru.

Kara-Sal Nadezhda — Cand. Sc. Education, Associate Professor, Department of Mathematical Analysis and Teaching Mathematics, Tuvan State University. E-mail: nadya.maas@mail.ru.

УЯЗВИМЫЕ, РЕДКИЕ И ИСЧЕЗАЮЩИЕ ВИДЫ РАСТЕНИЙ ТУВЫ В КУРСЕ «ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА КРАЕВЕДЧЕСКОЙ РАБОТЫ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ»

Тувинский государственный университет, Кызыл

VULNERABLE, RARE AND ENDANGERED PLANTS OF TUVA IN THE COURSE «THEORY AND METHODOLOGY OF REGIONAL STUDIES IN

Tuvan State University, Kyzyl

На основе инвентаризации 126 видов растений Красной книги Республики Тыва выявлены 34 уязвимые, 88 редкие и 4 исчезающие виды. Определены очаги концентрации уязвимых и редких видов цветковых растений на территории Республики Тыва. Для каждого вида выявлены основные лимитирующие факторы. Для изучения в начальной школе составлен список из 29 потенциально уязвимых видов цветковых растений и отмечены основные мероприятия по их охране.

Ключевые слова: уязвимые, редкие, исчезающие виды, Красная книга, краеведение, начальная школа, Тува.