Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области и его применения Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Энбом Екатерина Александровна
Статья посвящена исследованию краевых задач с локальными и интегральными условиями для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида. Доказана однозначная разрешимость этих задач, приведены явные представления решений.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Энбом Екатерина Александровна
SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A HYPERBOLIC EQUATION OF THE THIRD ORDER IN THREE-DIMENSIONAL APPLICATION FIELD
The article deals with solution of boundary value problems with local and integral conditions for hyperbolic equation of the third order in three-dimensional field of a particular type. It proves the unique solvability of these problems, gives the solutions.
Текст научной работы на тему «Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области и его применения»
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИДАКТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА .
EMPLOYING DIDACTIC POTENTIAL OF INTERACTIVE WHITEBOARDS IN HIGHER MATHEMATICS CLASSES AS A WAY OF EDUCATIONAL PROCESS MODERNIZATION
E.A. Enbom, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of Department
of Higher Mathematics
Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara (Russia)
Abstract. The article dwells upon the example of employing didactic potential of interactive whiteboards in teaching higher mathematics, unit «Numerical and Functional Series» in particular. It highlights the options of improving the quality of teaching through a combination of traditional and innovative IT-methods in the educational process at the university. Keywords: interactive whiteboard; the optimization of the educational process; computer technologies in education.
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ТРЕХМЕРНОЙ ОБЛАСТИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Е.А. Энбом, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Самара (Россия)
Аннотация. Статья посвящена исследованию краевых задач с локальными и интегральными условиями для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида. Доказана однозначная разрешимость этих задач, приведены явные представления решений.
Ключевые слова: уравнение в частных производных; уравнение гиперболического типа; краевая задача; интегральные условия.
Исследование краевых задач с интегральными условиями является перспективным направлением в современной теории дифференциальных уравнений в частных производных [1]. Возникновение нелокальных условий объясняется тем, что на практике часто бывает возможным измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Задачи с интегральными условиями могут служить математическими моделями реальных физических явлений, связанных, например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы. А. А. Самарский приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из таких задач [2]. А. М. Нахушев указал примеры практического применения результатов исследования краевых задач с нелокальными условиями в математической биологии и при изучении процессов влагопереноса в пористых средах [3].
В данной работе исследованы задачи Б1, Б 2, Б 3
для модельного уравнения третьего порядка гиперболического типа, в которых искомая функция, наряду с обычными граничными условиями, удовлетворяет и интегральному условию.
Рассмотрим задачу Б , представление решения которой будет использовано затем для исследования задач А, Б2, Бз.
Уравнение иху2 = 0 (1) будем рассматривать в области О = <(г, у, 2): 0 0>трехмерного евклидова пространства. Введем обозначения:
Непосредственной проверкой убеждаемся, что она обладает свойствами, указанными в теореме 1. Подставляя выражение для функции т(х, у) в формулу (5), получим решение задачи Б 2 в следующем виде:
и (х, У, г) = ф( х, г )-ф( х, У) -ф( г, у) +у у (х, У) +
где g ( х, г ) = 2 у( х, г )- 2 г ф( х, г )-<т( х, у) d у -
по х, а затем по г , получим: ю(х, г) = -gxг (х, г), или, вычислив gxг (х, г), будем иметь:
ю(х, г) = 2ф(х, г) + 2г фхг (х, г) + ту (х, г) — 2у хг (х, г). Подставив последнее выражение в формулу (5) вместо ю ^, у), после преобразований получим следующее представление решения задачи Б 3: и (х, У, г) = ф(х, г) + ф(г, У) -ф(х, У) +т(г, У) +
+ У У (X У) — У У (г У) +
+ У ‘[фу (г У) — фу (X у)] . (11) Теорема 4. Если функции т(х, у) и ф(х, г) удовлетворяют требованиям, указанным в теореме 1, а функция у(х, г) удовлетворяет условиям теоремы 3, то
функция, определяемая формулой (11), является единственным решением задачи Б3.
1. Энбом Е. А. Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Самара. 2003.
2. Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений.//Дифференци-альные уравнения, 1980. Т 16.-Минск, № 11. С. 1925-1935.
3. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. — М.: Высшая школа, 1995.-301 с._
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . _
SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A HYPERBOLIC EQUATION OF THE THIRD ORDER IN THREE-DIMENSIONAL APPLICATION FIELD
E.A. Enbom, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of Department
of Higher Mathematics
Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara (Russia)
Abstract. The article deals with solution of boundary value problems with local and integral conditions for hyperbolic equation of the third order in three-dimensional field of a particular type. It proves the unique solvability of these problems, gives the solutions.
Keywords: partial differential equation; hyperbolic equation; boundary value problem; integral conditions.
СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СОДЕРЖАНИИ ПОНЯТИЯ «ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОРАЗВИТИЕ ЛИЧНОСТИ»
А.Е. Эстерле, начальник лаборатории социальной психологии ГБОУДПО Региональный социопсихологический центр, Самара (Россия)
Аннотация. В статье приводится обзор подходов к содержанию понятия «профессиональное саморазвитие личности», по результатам анализа выделяются основные признаки, дается интегральное определение понятия «профессиональное саморазвитие личности».
Ключевые слова: Развитие личности; саморазвитие; профессиональное саморазвитие.
Профессиональному саморазвитию личности в последние годы уделяется большое внимание. Эта проблема представлена широким спектром разновекторных исследований (Даудова Д.М., 2005; Кряхтунов М.И., 2002; Ахмедова А.М., 2007; Квашко Л.П., 2000; Гуч О.Э., 2006; Воронова Е.Н., 2005, и др.) и имеет большое значение, так как практическая деятельность в современных условиях предъявляет специфические требования к профессионалу. От него требуется не только воспроизведение полученных знаний, но и творческий подход к решению профессиональных задач, способность к постоянному самообразованию, личностному и профессиональному самосовершенствованию. Необходимым качеством профессионала, а, по мнению Н.С. Пряжни-кова [1, с. 77-78], еще и отличающим его от любителя, становится способность к саморазвитию.
В словарях и энциклопедиях можно встретить ряд определений понятия «саморазвитие». В частности, в толковом словаре русского языка С.А. Кузнецова, саморазвитие понимается как развитие собственными силами, без влияния каких либо внешних сил [2]. Современный толковый словарь русского языка Т.Ф. Ефремовой трактует саморазвитие как умственное или физическое развитие человека путем самостоятельных занятий, упражнений [3]. В большой энциклопедии по психиатрии [4] саморазвитие понимается как развитие, обусловленное внутренней активностью личности, как характеристика внутренней способности личности к работе над собой, росту, развитию.
Саморазвитие личности изучалось многими отечественными и зарубежными исследователями: А. Маслоу, И.А. Ильиным, Л.С. Выготским, П.Я. Гальпериным, В.В. Давыдовым, А.Н. Леонтьевым, С.Л. Рубинштейном, В.И. Сло-бодчиковым, Д.Б. Элькониным, Б.Г. Ананьевым, Т.Н. Березиной, Р. Бернсом, Е.Д. Божович, Е.И. Исаевым, Н.А. Логиновой, В.Г. Мараловым, Е.П. Никитиным, Н.Е. Харла-менковой, Ю.М. Орловым, Г.К. Селевко, А.О. Сурожским, Г.А. Цукерманом, Б.М. Мастеровым, И.И. Чесноковой и др.
Понятие профессионального саморазвития в современной науке основывается на идее детерминации развития личности деятельностью, в связи с чем появляется возможность изучения личности с точки зрения соответствия человека профессии и успешной деятель-
В литературе выделяется ряд методологических подходов к проблеме профессионального саморазвития, основанных на исследованиях отечественных психологов.
Так, субъектный подход, разрабатываемый Л.И. Анциферовой, А.К. Марковой, Л.М. Митиной, рассматривает человека как субъекта профессиональной деятельности, способного творчески самосовершенствоваться, стремиться к саморазвитию, самоактуализации в своей профессиональной сфере. Л.М. Митина определяет взаимосвязь профессионального и личностного развития через принцип саморазвития, детерминирующий способность личности превращать собственную жизнедеятельность в предмет практического преобразования, приводящий к творческой самореализации [5, с.123]. Важнейшим условием развития интегральных характеристик личности профессионала, по мнению Л.М. Ми-тиной, является осознание им необходимости изменения, преобразования своего внутреннего мира и поиск новых возможностей самоосуществления в профессиональном труде, а также запуск механизмов саморазвития — саморегуляции и самообразования. Л.И. Анциферова под личностно-профессиональным развитием понимает процесс развития личности, ориентированный на высокий уровень профессиональных достижений [6, с.431].
С точки зрения синергетического подхода, профессиональное развитие рассматривается как открытая, нелинейная и неравновесная система. Этот подход получил свое отражение в работах Э.Ф. Зеера, И.А. Шар-шова и др. Под профессиональным развитием Э.Ф. Зеер понимает процесс прогрессивного изменения личности под влиянием социальных воздействий, профессиональной деятельности и собственной активности, направленной на самосовершенствование и самоосуществление [7, с.20]. Профессиональное становление, по его мнению, обязательно предполагает потребность в развитии и саморазвитии, возможность и реальность ее удовлетворения, а также потребность в профессиональном самосохранении.
В рамках акмеологического подхода личностно-про-фессиональное саморазвитие рассматривается как достижение высших стандартов в профессиональном развитии (А.А. Бодалев, А.А. Деркач, В.Г. Зазыкин и др.). Под про-
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский
Уравнения математической физики
Глава I. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. 2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными. 3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Задачи к главе I
Глава II. Уравнения гиперболического типа
1. Уравнение малых поперечных колебаний струны. Уравнение продольных колебаний стержней и струн. 3. Энергия колебания струны. 4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах. 5. Поперечные колебания мембраны. 6. Уравнения гидродинамики и акустики. 7. Граничные и начальные условия. 8. Редукция общей задачи. 9. Постановка краевых задач для случая многих переменных. 10. Теорема единственности. Задачи.
1. Формула Даламбера. 2. Физическая интерпретация. 3. Примеры. 4. Неоднородное уравнение. Устойчивость решении. 6. Полуограниченная прямая и метод продолжений. 7. Задачи для ограниченного отрезка. 8. Дисперсия волн. 9. Интегральное уравнение колебаний. 10. Распространение разрывов вдоль характеристик. Задачи.
1. Уравнение свободных колебаний струны. 2. Интерпретация решения. 3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих воли. 4. Неоднородные уравнения. 5. Общая первая краевая задача. 6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями. 7. Задачи без начальных условий. 8. Сосредоточенная Сила. 9. Общая схема метода разделения переменных. Задачи.
1. Постановка задачи. 2. Метод последовательных приближений дли задачи Гурса. Задачи.
1. Сопряженные дифференциальные операторы. 2. Интегральная форма решения. 3. Физическая интерпретации функции Римана. 4. Уравнения с постоянными коэффициентами. Задачи к главе II
Приложения к главе II
1. Постановка задачи. 2. Собственные колебания нагруженной струны. 3. Струна с грузом на конце. 4. Поправки для собственных значений.
1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии. 2. Ударные волны. Условия динамической совместности. 3. Слабые разрывы.
1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа. 2. Асимптотическое решение.
Глава III. Уравнения параболического типа
1. Линейная задача о распространении тепла. 2. Уравнение диффузии. 3. Распространение тепла в пространстве. 4. Постановка краевых задач. 5. Принцип максимального значения. 6. Теорема единственности. 7. Теорема единственности для бесконечной прямой.
1. Однородная краевая задача. 2. Функция источника. 3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями. 4. Неоднородное уравнение теплопроводности. 5. Общая первая краевая задача. Задачи.
1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области. 2. Краевые задачи для полуограниченной прямой.
Задачи к главе III
Приложения к главе III
1. Функция источника для бесконечной прямой. 2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности.
1. Определение d -функции. 2. Разложение d -фикции в ряд Фурье. 3. Применение d -функции к построению функции источника.
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач. 2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля. 3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат. 4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа. 5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного. 6. Преобразование обратных радиусов-векторов.
1. Формулы Грина. Интегральное представление решения. 2. Некоторые основные свойства гармонических функций. 3. Единственность и устойчивость первой краевой задачи. 4. Задачи с разрывными граничными условиями. 5. Изолированные особые точки. 6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности. 7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для двух- и трехмерных задач. 8. Вторая краевая задача. Теорема единственности.
1. Первая краевая задача для круга. 2. Интеграл Пуассона. 3. Случай разрывных граничных значений.
1. Функция источника для уравнения D u=0 и ее основные свойства. 2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы. 3. Функция источника для круга. 4. Функция источника для полупространства.
1. Объемный потенциал. 2. Плоская задача. Логарифмический потенциал. Несобственные интегралы. 4. Первые производные объемного потенциала. 5. Вторые производные объемного потенциала. 6. Поверхностные потенциалы. 7. Поверхности и кривые Ляпунова. 8. Разрыв потенциала двойного слоя. 9. Свойства потенциала простого слоя. 10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач. 11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам. Задачи к главе IV
Приложения к главе IV
1. Единственность решения. 2. Представление бигармонических функций через гармонические функции. 3. Решение бигармонического уравнения для круга.
Глава V. Распространение волн в пространстве
1. Уравнение колебаний в пространстве. 2. Метод усреднения. 3. Формула Пуассона. 4. Метод спуска. 5. Физическая интерпретация. 6. Метод отражения.
1. Вывод интегральной формулы. 2. Следствия из интегральной формулы.
1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны. 2. Колебания прямоугольной мембраны. 3. Колебания круглой мембраны. Задачи к главе V
Приложения к главе V
1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия. 2. Потенциалы электромагнитного поля. 3. Электромагнитное поле осциллятора.
Глава VI. Распространение тепла в пространстве
1. Функция температурного влияния. 2. Распространение тепла в неограниченном пространстве.
1. Схема метода разделения переменных. 2. Остывание круглого цилиндра. 3. Определение критических размеров.
1. Формула Грина дли уравнения теплопроводности и функция источника. 2. Решение краевой задачи. 3. Функция источника для отрезка.
1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя. 2. Решение краевых задач. Задачи к главе VI
Приложения к главе VI
Глава VII. Уравнения эллиптического типа (продолжение)
1. Установившиеся колебания. 2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях. 3. Диффузия в движущейся среде. 4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения D v + cv=0.
1. Функции влияния точечных источников. 2. Интегральное представление решения. 3. Потенциалы.
1. Уравнение D v + cv =-f в неограниченном пространстве. 2. Принцип предельного поглощения. 3. Принцип предельной амплитуды. 4. Условия излучения.
1. Постановка задачи. 2. Единственность решения задачи дифракции. 3. Дифракция на сфере. Задачи к главе VII
Приложения к главе VII
1. Собственные колебания цилиндрического эндовибратора. 2. Электромагнитная энергия собственных колебаний. 3. Возбуждение колебаний в эндовибраторе.
Дополнение I. Метод конечных разностей
1. Сетки и сеточные функции. 2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. 3. Разностная задача. 4. Устойчивость.
1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами. 2. Погрешность аппроксимации. 3. Энергетическое тождество. 4. Устойчивость. 5. Сходимость и точность. 6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами. 7. Метод баланса. Консервативные схемы. 8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. 9. Трехслойные схемы. 10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки. 11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений.
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. 2. Принцип максимума. 3. Оценка решения неоднородного уравнения. 4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле. 5. Решение разностных уравнений методом простой итерации.
1. Многомерные схемы. 2. Экономичные схемы. 3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле.
Дополнение II. Специальные функции
1. Введение. 2. Общее уравнение теории специальных функций. 3. Поведение решений в окрестности х=а, если k(а)=0. 4. Постановка краевых задач.
Часть I. Цилиндрические функции
1. Степенные ряды. 2. Рекуррентные формулы. 3. Функции полуцелого порядка. 4. Асимптотический порядок цилиндрических функций.
1. Функции Ханкеля. 2. Функции Ханкеля и Неймана. 3. Функции мнимого аргумента. 4. Функция K 0 (х).
1. Контурные интегралы. 2. функции Ханкеля. 3. Некоторые свойства гамма-функции. 4. Интегральное представление функции Бесселя. 5. Интегральное представление K n (х). 6, Асимптотические формулы для цилиндрических функций.
1. Многомерные схемы. 2. Экономичные схемы. 3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле.
Часть II. Сферические функции
1. Производящая функция и полиномы Лежандра. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Лежандра. 4. Ортогональность полиномов Лежандра. 5. Норма полиномов Лежандра. 6. Нули полиномов Лежандра. 7. Ограниченность полиномов Лежандра.
1. Присоединенные функции. 2. Норма присоединенных функций. 3. Замкнутость системы присоединенных функций.
1. Гармонические полиномы. 2. Сферические функции. 3. Ортогональность системы сферических функции. 4. Полнота системы сферических функций. 5. Разложение по сферическим функциям.
1. Задача Дирихле для сферы. 2. Проводящая сфера в поле точечного заряда. 3. Поляризация шара в однородном поле. 4. Собственные колебания сферы. 5. Внешняя краевая задача для сферы.
Часть III. Полиномы Чебышева — Эрмита и Чебышева — Лагерра
1. Дифференциальная формула. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Чебышева — Эрмита. 4. Норма полиномов Нn(x). 5. Функции Чебышева — Эрмита.
1. Дифференциальная формула. 2. Рекуррентные формулы. 3. Уравнение Чебышева —Лагерра. 4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева—Лагерра. 5. Обобщенные полиномы Чебышева —Лагерра.
1. Уравнение Шредингера. 2. Гармонический осциллятор. 3. Ротатор. 4. Движение электрона в кулоновом поле.
http://alexandr4784.narod.ru/tihonov.html