Решение кубического уравнения с комплексными корнями

Примеры решений кубических уравнений

Обзор методов решения кубических уравнений приведен на странице “Решение кубических уравнений”. Здесь мы приводим два примера, используя формулы Кардано и Виета.

Пример решения кубического уравнения с комплексными корнями

Решить кубическое уравнение:
(1.1) .

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (1.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, не содержит ли это уравнение целых корней. Член без – это 1. У числа 1 есть два делителя: 1 и – 1 . Подставим в уравнение (1.1) и . Ни для одного из этих чисел уравнение не выполняется. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

Пусть обозначают коэффициенты при , и свободный член. Делаем подстановку
(1.2) .
В результате получаем уравнение приведенного вида:
(1.3) ,
где
;
.

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Для этого находим дискриминант:
.
Дискриминант положителен. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных.

Нахождение корней по формуле Кардано

Поскольку дискриминант положителен, то находим корни по формуле Кардано:
, ,
где
; ; .
При , для величин и , можно взять действительные значения корней. Тогда соотношение выполняется автоматически.

Итак, мы нашли корни неполного кубического уравнения. По формуле (1.2) находим корни исходного уравнения:
.

Ответ

Пример с действительными корнями

Решить кубическое уравнение:
(2.1) .

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (2.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, нет ли у этого уравнения целых корней. Свободный член – это 1. У него есть два делителя: 1 и – 1 . Подставим в уравнение (2.1) и . Уравнение не выполняется ни для одного из этих чисел. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

В исходном уравнении (2.1),
.
Делаем подстановку
(2.2)
и приводим уравнение (2.1) к приведенному (неполному) виду:
(2.3) ,
где
;
.

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен. Следовательно, уравнение имеет три действительных корня.

Нахождение корней по формуле Виета

Итак, мы нашли корни приведенного кубического уравнения. По формуле (2.2) находим корни исходного уравнения:
.

Ответ

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 02-10-2016

Корни кубического комплексного уравнения

Мы добрались до возможности решать кубические уравнения общего вида, имеющего комплексные коэффиценты.

Использовать будем методику которая называется подстановкой Виета.

Итак, когда мы из общего уравнения третьей степени

мы можем получить уравнение

Фактически, это квадратное уравнение. Решив которое мы получим корни w.

Удивительно, но нам совершенно не важно какой корень мы возьмем от этого квадратного уравнения. Окончательный вариант все равно будет правильный.

А через них мы узнаем корни приведенного уравнения.

Чем удобен такой подход, от например решения уравнения по методу Кардано?

Он алгоритмически понятен и нагляден. И это главное.

Бот корректно вычисляет корни кубического комплексного уравнения, даже в том случае, если коэффициентами являются какие либо выражения ( с вещественными и/или мнимыми значениями)

Пишем коэффиценты слева направо (через пробел)

Корни его будут равны

А вот корни обычного уравнения с вещественными числами.

«Это легкотня» — говорит моя дочь, складывая два плюс два.

Кубические уравнения. Формула Кардано для решения кубических уравнений.

Формула Кардано — методика определения корней кубического уравнения в поле комплексных чисел.

Впервые была опубликована в 1545 году итальянским математиком Джероламо Кардано.

Кубическое уравнение, выраженное в общем виде, как ах 3 +b х 2 +cx+d =0 в результате подстановки переменной:

приводится к виду неполного кубического уравнения, в котором не присутствует слагаемое, содержащее вторую степень: y 3 +b y +q=0,

где члены p и q приведены ниже:

Когда члены кубического уравнения вещественны, то и Q вещественное число, а по его знаку можно установить тип корней кубического уравнения.

Когда Q > 0 у кубического уравнения будет один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.

Когда Q = 0 у уравнения один однократный вещественный корень и один двукратный корень, или, в случае если p = q = 0, то получаем один трёхкратный вещественный корень.

Когда Q 3 + py + q в этом случае будет равняться:

.

Используя формулы Кардано, для всех найденных значений нужно выбрать такое , для которого осуществляется необходимое требование (такое значение всегда есть).

Когда искомое решение кубического уравнения вещественное число, то желательно отдавать преимущество вещественным значениям .