Тема урока: «Рациональные решения квадратных уравнений». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели:
- образовательная: обобщить и систематизировать знания и умения решения квадратных уравнений;
- развивающая: формировать умения определять тип квадратного уравнения и выбирать рациональное решение по его коэффициентам;
- воспитательная: воспитывать внимательность и краткость изложения решений.
Тип урока: обобщение знаний и умений решения квадратных уравнений.
Оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки с заданиями, доска.
Эпиграф
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г.Лейбниц)
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Учитель настраивает учащихся на урок и даёт установку на внимательность в подходе к решению квадратных уравнений.
2. Проверка домашнего задания.
Учащиеся сдают тетради на проверку. Учитель отвечает на возникшие вопросы у учащихся.
3. Формулирование цели и задачи урока.
Рассмотрим несколько вариантов решения квадратных уравнений, сравним их и научимся выбирать рациональное решение.
4. Классификация квадратных уравнений.
На интерактивной доске учащимся представляется таблица классификации квадратных уравнений и предлагается её прокомментировать.
| Полное квадратное уравнение | Частные случаи полного квадратного уравнения | ||
| ax 2 + bx + c = 0, где х – переменная, |
a, b, c – некоторые числа, причем a 
0.
D = b 2 – 4ac (дискриминант);
если D > 0, то уравнение имеет два корня
х1 
; х2 
;
если D = 0, то уравнение имеет один корень (или ещё говорят, имеет два равных корня)
х 
(х1
х2 = 
);
если D 2 +2kx + c =0,
D = 4(k 2 –ac) = 4D1 (дискриминант), где D1 = k 2 –ac;
если D1 >0, то D >0, уравнение имеет два корня
х1 
; х2
;
если D1 = 0, то D = 0, уравнение имеет один корень х 
;
б) D > 0, если a+b+c=0, то
х1 = 1; х2 = 
;
D = 0, если a+b+c=0, то
в) D > 0, если a-b+c=0, то
х1 = -1; х2 = 
;
D = 0, если a-b+c=0, то
х = -1.
– q)= 4D2 (дискриминант),где D2 = (– q);
D2 > 0, то D > 0, уравнение имеет два корня
х1 
+ 
, х2 — .
Неполное квадратное уравнение
0;если — > 0, то
х1 — 
, х2 = ;
если — 2 + bx = 0, где b0; уравнение имеет два корня
х1 = 0, х2 = — 
.
х = 0.
ax 2 + bx + c = 0, для решения данного квадратного уравнения составим и решим вспомогательное квадратное уравнение путём умножения свободного члена на первый коэффициент и запишем это произведение в новом уравнении свободным членом, т.е. получим квадратное уравнение вида
у 2 + by + ac = 0. Полученное квадратное уравнение можно решать любым рациональным способом (как правило, по теореме, обратной теореме Виета). Его корни — у1 и у2. Корни исходного квадратного уравнения:
х1 = 
и х2 = 
.
5. Ознакомившись с таблицей классификации, трём учащимся предлагается составить свои уравнения для каждого случая и решить их на доске с последующими комментариями.
1. 5х 2 – 11х + 2 = 0;
D = b 2 – 4ac = (-11) 2 — 4
5·2 = 81; D > 0, уравнение имеет два корня;
х1 = 
= 
= 0,2;
х2 = 
= 
= 2.
2. 3х 2 – 14х + 16 = 0;
D1 = k 2 –ac = (-7) 2 — 316 = 1; D > 0, уравнение имеет два корня;
х1 = 
= 
= 2;
х2 = 
= 
= 2
.
Ответ: 2; 2.
3. 15х 2 +22х — 37 = 0;
D > 0, уравнение имеет два корня;
Так как 15 + 22 – 37 = 0, то х1 = 1, х2 = 
= — 2 
.
Ответ: 1; — 2 .
Следующим трём учащимся предлагается аналогичное задание, но для других случаев.
4. -15х 2 + 22х + 37 = 0;
D > 0, уравнение имеет два корня;
Так как -15– 22 + 37 = 0, то х1 = -1 , х2 = 
= 2 .
Ответ: -1; 2 .
5. х 2 – 5х + 6 = 0;
D > 0, уравнение имеет два корня;
по теореме, обратной теореме Виета х1+х2 = 5, х1·х2 = 6.
6. х 2 – 6х + 7 = 0;
D > 0, уравнение имеет два корня;
по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом имеем
х1
+ 
, х2 — .
Ответ: 
— , + .
Следующему учащемуся предлагается решить квадратное уравнение методом “переброски”.
7. 5х 2 + 37х — 24 = 0;
D > 0, уравнение имеет два корня;
составим вспомогательное уравнение
у 2 + 37y – 120 = 0; по теореме, обратной теореме Виета у1+ у2 = -37, у1·у2 = -120.
Значит, у1 = -40, у2 = 3, тогда корни исходного уравнения
х1 = — 8, х2 = 
.
Ответ: — 8, .
6. Устные упражнения:
(учащимся предлагается прокомментировать возможные способы рационального решения квадратного уравнения).
1. 2х 2 + 3х + 1 = 0; (D > 0, a – b + c = 0);
2. х 2 + 5х — 6 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);
3. 3х 2 — 7х + 4 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);
4. 5х 2 + 8х + 3 = 0; (D1 > 0, значит, D > 0, a – b + c = 0);
5. у 2 — 10y – 24 = 0; (D2 > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);
6. у 2 + y – 90 = 0; (D > 0, по теореме, обратной теореме Виета);
7. у 2 — 8y – 84 = 0; (D2 > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);
8. 3х 2 — 8х + 5 = 0; (D1 > 0, значит, D > 0, a + b + c = 0);
9. 3х 2 + 6х = 0; (неполное квадратное уравнение; случай б));
10. 4х 2 — 16 = 0; (неполное квадратное уравнение; случай а));
11. 3у 2 — 3y + 1 = 0; (D 2 — 5х — 1 = 0; (D > 0, метод “переброски”).
7. Творческая самостоятельная работа
(по карточкам; в двух вариантах; с последующей устной проверкой).
8. Домашнее задание.
1. Повторите таблицу классификации квадратных уравнений.
2. Решите квадратные уравнения наиболее рациональным способом:
3. Составить пять квадратных уравнений с недостающими коэффициентами.
Квадратные и рациональные уравнения(8 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Квадратные и рациональные уравнения
№ 1. Найдите корни уравнения.
А) 
Б) 
В) 
Г) 
Д) 
№ 2. Решите уравнения.
А) 
б) 
в) 
Г) 
д) 
№ 3. Решите задачу.
Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?
Два автомата должны были изготовить по 180 деталей. Первый автомат изготовлял в час на 2 детали больше, чем второй, и поэтому закончил работу на 3 часа раньше. Сколько деталей изготовлял в час каждый автомат?
Рациональные уравнения. Семь типов рациональных уравнений, сводящихся к квадратным
В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений, которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.
Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.
У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой — число.
1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.
2. Перемножим их.
3. Введем замену переменной.
В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:
В этом месте замена переменной становится очевидной: 
Получаем уравнение 
Ответ: 
2 . 
Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на 
. И решается оно совсем по-другому:
1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.
2. Перемножаем каждую пару скобок.
3. Из каждого множителя выносим за скобку х.
4. Делим обе части уравнения на .
5. Вводим замену переменной.
В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как 
:
Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель 
:
Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на 
. Получим:
Теперь можем ввести замену переменной: 
Получим уравнение: 
Ответ: 
3 . 
Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:
Теперь можем ввести замену переменной:
Получим уравнение относительно переменной t:
Ответ: 
4 . 
Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .
Чтобы его решить,
1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:
2. Сгруппируем слагаемые таким образом:
3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:
4. Введем замену: 
5. Выразим через t выражение 
:
Отсюда 
Получим уравнение относительно t:
Ответ: 
5. Однородные уравнения.
Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.
Однородные уравнения имеют такую структуру:
В этом равенстве А, В и С — числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень ( в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.
Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на 
Или на 
Или на 
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
Пойдем первым путем. Получим уравнение:
Сократим дроби, получим:
Теперь мы вводим замену переменной:
И решаем квадратное уравнение относительно замены:
.
При решении уравнения я обычно придерживаюсь такой тактики: нужно уменьшить количество различных выражений, в состав которых входит неизвестное ( принцип «бритвы Оккама» — не нужно множить сущности без нужды), а для этого помогает разложить выражения с неизвестным на множители. Разложим выражение, стоящее в правой части уравнения на множители.
Перенесем все влево, получим:
Теперь мы видим, что перед нами однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 
, предварительно проверив, что х=1 не является корнем исходного уравнения.
Теперь самое время ввести замену переменной:
Получим квадратное уравнение:
Ответ: 
6 . 
Это уравнение имеет такую структуру:
Решается с помощью введения вот такой замены переменной:
В нашем уравнении 
,тогда 
. Введем замену:
Теперь возведем каждую скобку в четвертую степень, используя треугольник Паскаля:
Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:
Ответ: 
или 
7 . 
Это уравнение имеет такую структуру: 
Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.
Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.
Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно
Теперь прикинем, что нам удобнее иметь — квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:
Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:
[/pmath]
Введем замену: 
Получим квадратное уравнение:
Ответ: 
http://infourok.ru/kvadratnie-i-racionalnie-uravneniya-klass-1995732.html
http://ege-ok.ru/2012/04/20/ratsionalnyie-uravneniya-sem-tipov-ratsionalnyih-uravneniy-svodyashhihsya-k-kvadratnyim