Решение квадратных уравнений методом выделения квадрата

Тема урока: «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

• освоить способ выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена, заданного в стандартном виде; конструировать решения квадратного уравнения способом выделения квадрата двучлена;
• воспитывать познавательную активность, чувства ответственности и товарищества, культуры общения;
• развивать логическое мышление для сознательного восприятия учебного материала

Оборудование:

• план,
• проектор,
• компьютерная презентация,
• учебное пособие «Алгебра-8» под редакцией Теляковского С.А.,
• дидактические материалы по алгебре для 8 класса (В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк),
• таблицы устных упражнений,
• карточки-задания,
• исторические сведения,
• стенгазета,
• алгоритм решения квадрат­ного уравнения выделением квадрата двучлена, магнитофон.

I . Ориентировочно-мотивационный этап

Проверка домашнего задания через консультантов. Актуализация знаний.

Выполнение заданий творческого характера на доске.

1) (2 – 5х) 2 = 9 (Ответ: – 0,2; 1.)

2) х 2 – 4 | х | = 0,
| х | = а, а > 0,
а 2 – 4а = 0,
а(а – 4) = 0, а = 0 или а – 4 = 0,
а = 4,

| x | = 0, х = 0, | x | = 4, х = 4 или х = – 4. Ответ: – 4; 0; 4.

3) | 3x 2 + 5x – 4 | = 3x 2 + 4

3х 2 + 4 > 0 верно при любых значениях переменной х

а) 3х 2 + 5х – 4 = 3х 2 + 4, б) 3х 2 + 5х – 4 = – 3х 2 – 4,
5х = 8, х = 1,6 6х 2 + 5х = 0, х(6х + 5) = 0, х = 0, х = –
Устная работа. Теоретическая изюминка (презентация)

1) Какие уравнения вы знаете? (Линейные, квадратные)
2) Определение квадратного уравнения. Почему а ≠ 0?
3) Вспомните классификацию квадратных уравнений ( полные ,неполные , приведенные)
4) Какое уравнение называется неполным? Виды неполных квадратных уравнений.
5) Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?
6) Д/м, стр. 23, 1,2 задание
7) (а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 – квадрат суммы двух выражений . Замените * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:
а) ( * + 2в ) 2 = а 2 + 4ав + 4в 2
б) (15 + * ) 2 = 225у 2 + 1 2х 3 у + 0,16х 6
в) (3а – 2,5в) 2 = 9а 2 + 6,25в 2 – *

II. Операционально-исполнительный этап

Определение приведенного квадратного уравнения:

Квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 с первым коэффициентом а = 1 называется приведенным

1) Определите вид уравнения х 2 + 2х + 1= 0 и решите это уравнение

(х + 1) 2 = 0,
х + 1= 0, х = – 1.

– Каким способом вы решили?

2) Нельзя ли решить уравнение х 2 + 6х – 7 = 0 таким же способом? (Ответ учащихся: «Нужно выделить квадрат двучлена» )
– Сформулируйте учебную задачу нашего урока. (Ответ учащихся: «Учебная задача урока «Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена» )
– Итак, мы определили задачу нашего урока: научиться решать квадратные уравнения выделением квадрата двучлена.

3) Выделите квадрат двучлена: х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2х * 3 + 9 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16

4) Решите уравнение

х 2 + 6х – 7 = 0,
(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16
х + 3 = 4 или х + 3 = – 4
х = 1 или х = – 7
Ответ: – 7; 1.

Проговаривание способа решения уравнения.

Алгоритм решения квадратных уравнений выделением квадрата двучлена (презентация)

а) определяем первое выражение;
б) находим второе выражение: выражение с переменной (т.е. удвоенное произведение двух выражений ) делим на удвоенное первое выражение
в) прибавим и отнимем квадрат второго выражения;
г) упростим выражения, выделив квадрат двучлена;
д) решаем как неполное квадратное уравнение.

5) Решите уравнение х 2 – 5х + 10 = 0,

х 2 – 2х* 5/2 + (5/2) 2 – (5/2) 2 + 10 = 0,
(х – 5/2 ) 2 = – 15/4, нет корней.

6) Ребята, как вы думаете, можно ли решить выделением квадрата двучлена следующее уравнение 2х 2 – 9х + 10 = 0, 5х 2 + 3х – 8 = 0? (Можно, но сначала надо разделить каждый член уравнения на 2 (5), так как а = 2 (а = 5))

а) х 2 – (9/2)х + 5 = 0, б) х 2 + (3/5)х – (8/5) = 0

Решите данные уравнения в парах.

(Проверка по образцу).

б) х 2 + 2х * 3/10 + 9/100 – 9/100 – 8/5 = 0,
(х + 3/10) 2 = 169/100,
| x + 3/10 | = 13/10,
х + 3/10 = 13/10 или х + 3/10 = –13/10,
х = 1 или х = – 1,6
Ответ: – 1,6; 1.

Проговаривание решения квадратного уравнения в парах.

Самостоятельная работа

а) х 2 – 4х + 4 = 0 , б) х 2 + 12х + 20 = 0
(х = 2) (х = – 2; х = – 10)

а) х 2 + 14х + 49 = 0, б) х 2 – 8х – 9 = 0
(х = – 7) (х = – 1; х = 9)

а) х 2 – х + = 0, б) 5y 2 – 6y + l = 0,
(х = ) (х = 1; х = )

а) у 2 – у + 1 = 0, б) 5х 2 – 8х + 3 = 0
(х = 2) (х = 1; х = 0,6 )

(Во время самостоятельной работы звучит классическая музыка) Взаимопроверка.
Учащиеся выставляют оценки карандашом.

Физминутка для глаз (компьютерная презентация)

7) При каком значении а уравнение х 2 + 12х + 36 = а имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?
(х + 6) 2 = а при а > 0 , 2 корня ;
при а = 0, 1 корень;
при а 2 – 4х + 5 = m?
х 2 – 2х * 2 + 4 – 4 + 5 = m,
(х – 2) 2 + 1 = m,
(х – 2) 2 = m – 1,
при m > 1, 2 корня;
при m = 1, 1 корень.

9) Решите уравнение: у 2 – 4| y | – 96 = 0.
Пусть | y | = b, b > 0,
b 2 – 4b – 96 = 0,
b 2 – 2b* 2 + 4 – 4 – 96 = 0,
(b – 2) 2 = 100,
| b – 2 | = 10,
b – 2 = 10 или b – 2 = – 10,
b = 12 или b = – 8.
b = – 8 не удовлетворяет условию b > 0,
| у | = 12,
y = 12 или у = – 12.

Домашняя работа

№526 – обязательный уровень;
№528, С-24, №7 – повышенный уровень;

Творческая работа

а) Заполни «окошки» х 2 – 7х + 8 = (х – ∆) 2 + 8 – ∆ 2 2 и придумать самим такие задания.
б) Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах 2 + вх + с = 0.

III. Рефлексивно-оценочный этап

– Что изучали на уроке?
– Как решали квадратные уравнения?
– Что вы знаете об истории возникновения квадратных уравнений?

Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 году в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика 12 века Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Уже в то время он знал о двузначности корней квадратных уравнений (х/8) 2 + 12 = х.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанная в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. И лишь в 17 веке , благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых , способ решения квадратных уравнений принимает современный вид , о котором мы с вами будем говорить на следующем уроке.

Решение квадратных уравнений методом выделения квадрата

Описание метода выделения полного квадрата

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Описание метода выделения полного квадрата

Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c – произвольные числа, причём a ≠ 0 .

Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 — 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 — 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 = ( x — 2 ) 2 , поэтому

x 2 — 4 x + 5 = ( x — 2 ) 2 — 4 + 5 = ( x — 2 ) 2 + 1 .

Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .

Заметим, что 9 x 2 = ( 3 x ) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда

Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 — 12 x + 5 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:

2 x 2 — 2 · 2 x · 3 + 3 2 — 3 2 + 5 = 2 x — 3 2 — 4 = ( 2 x — 3 ) 2 — 2 2 .

Теперь применяем формулу a 2 — b 2 = ( a — b ) ( a + b ) , получаем:

( 2 x — 3 — 2 ) ( 2 x — 3 + 2 ) = ( 2 x — 5 ) ( 2 x — 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен — 9 x 2 + 12 x + 5 .

— 9 x 2 + 12 x + 5 = — 9 x 2 — 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , — 12 x = — 2 · 3 x · 2 .

Прибавляем к выражению 9 x 2 — 12 x слагаемое 2 2 , получаем:

— 3 x 2 — 2 · 3 x · 2 + 2 2 — 2 2 + 5 = — 3 x — 2 2 — 4 + 5 = — 3 x — 2 2 + 4 + 5 = = — 3 x — 2 2 + 9 = 3 2 — 3 x — 2 2 .

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

— 9 x 2 + 12 x + 5 = 3 — 3 x — 2 3 + ( 3 x — 2 ) = ( 5 — 3 x ) ( 3 x + 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 — 14 x — 5 .

Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — x + 3 . Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена — 16 x 2 + 8 x + 6 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: — 16 x 2 + 8 x + 6 = — 4 x 2 — 2 · 4 x · 1 + 1 — 1 + 6 = — 4 x — 1 2 — 1 + 6 = = — 4 x — 1 2 + 7 .

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `/` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

x 2 + 2 x — 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 — 1 — 15 = x + 1 2 — 16 = x + 1 2 — 4 2 = = ( x + 1 + 4 ) ( x + 1 — 4 ) = ( x + 5 ) ( x — 3 ) .

Данную дробь привели к виду `<(x+5)(x-3)>/(x-3)^2` после сокращения на ( x — 3 ) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x 4 — 13 x 2 + 36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

Разложите на множители многочлен 4 x 2 + 4 x y — 3 y 2 .

Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:

( 2 x ) 2 + 2 · 2 x · y + y 2 — y 2 — 3 y 2 = ( 2 x + y ) 2 — 2 y 2 = = ( 2 x + y + 2 y ) ( 2 x + y — 2 y ) = ( 2 x + 3 y ) ( 2 x — y ) .

Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `<8x^2+10x-3>/<2x^2-x-6>`.

Презентация по алгебре на тему «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Приложение.docx

Тема : «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена»

Тип урока : Изучение нового материала.

Личностные – создание педагогических условий для формирования у обучающихся положительной мотивацию к учению, умения преодолевать посильные трудности, чувства коллективизма, взаимовыручки и уважения друг к другу, умения вести диалог, умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, проявлять ситуативный познавательный интерес к новому учебному материалу

Метапредметные – формирование умения ставить цели и задачи, планировать и контролировать деятельность, умения классифицировать объекты, создавать, применять и преобразовывать модели, повышать алгоритмическую культуру обучающихся, развивать логическое мышление, познавательную активность и навыки научной речи, освоение способов деятельности, навыков самоорганизации

1.Закрепить знания о квадратных уравнениях;

2.Закрепить умение решать неполные квадратные уравнения;

3.Сформировать умение решать полные квадратные уравнения путем выделения квадрата двучлена;

Методы обучения : наглядный, словесный, практический, частично-поисковый, репродуктивный.

1. Структура урока усвоения новых знаний:

1) Организационный этап.

2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

3) Актуализация знаний.

4) Первичное усвоение новых знаний.

5) Первичная проверка понимания

6) Первичное закрепление.

7) Рефлексия (подведение итогов занятия

8) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Проверка теоретических знаний (работа в парах)

Проверка дз с/р карточка №1 (см приложение)

Представьте в виде многочлена

Допишите недостающий член трехчлена, так, чтобы его можно было представить в виде квадрата двучлена.

Первичное усвоение новых знаний

Решение квадратных уравнений выделением полного квадрата (под руководством учителя)

Вывод: нет решений

х-5/3=-7/3 или х-5/3=7/3

Первичное закрепление знаний

Решите уравнение выделением квадрата двучлена (самостоятельно с проверкой у доски)

Первичная проверка понимания

С/р Карточка №2 (см приложение)

Определение квадратного уравнения

Коэффициенты квадратного уравнения

Какое уравнение называется приведенным

Какое квадратное уравнение называется неполным

Перечислите способы решения квадратных уравнений

Карточка №3 (см приложение)

Решите неполное квадратное уравнение

4х 2 -11=х 2 -11+9х

Решите неполное квадратное уравнение

Решите неполное квадратное уравнение

Решите неполное квадратное уравнение

Полный квадрат двучлена.

Решите уравнение методом выделения полного квадрата.

Выделение квадрата двучлена.

9х 2 – 12х + 4 = 0

25х 2 + 170х + 289 = 0

4х 2 + 8х – 21 = 0

16х 2 — 40х — 11 = 0

5х 2 – 13х + 6 = 0

Карточка №1 ( С ответами).

Решите неполное квадратное уравнение

4х 2 -11=х 2 -11+9х

Решите неполное квадратное уравнение

Решите неполное квадратное уравнение

— ;

Решите неполное квадратное уравнение

0; —

0;

Карточка №2 ( С ответами).

Полный квадрат двучлена.

— -6; -6

— +2; +2

Карточка №3 (С ответами)

Решите уравнение методом выделения полного квадрата.

Выделение квадрата двучлена.

9х 2 – 12х + 4 = 0

25х 2 + 170х + 289 = 0

—

( х – 3,5) 2 =

( х + ) 2 =

4х 2 + 8х – 21 = 0

16х 2 — 40х — 11 = 0

— ;

( х + 4 ) 2 =

— ; —

5х 2 – 13х + 6 = 0

Выбранный для просмотра документ Решение кв уравнений выделением квадрата двучлена.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

8 класс Учитель математики ГБОУ Школа №1253 Селищева Тамара Владимировна г. Москва 2016 год

Цели урока Личностные –создание педагогических условий для формирования у обучающихся положительной мотивацию к учению, умения преодолевать посильные трудности, чувства коллективизма, взаимовыручки и уважения друг к другу, умения вести диалог, умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, проявлять ситуативный познавательный интерес к новому учебному материалу Метапредметные – формирование умения ставить цели и задачи, планировать и контролировать деятельность, умения классифицировать объекты, создавать, применять и преобразовывать модели, повышать алгоритмическую культуру обучающихся, развивать логическое мышление, познавательную активность и навыки научной речи, освоение способов деятельности, навыков самоорганизации Предметные- 1.Закрепить знания о квадратных уравнениях; 2.Закрепить умение решать неполные квадратные уравнения; 3.Сформировать умение решать полные квадратные уравнения путем выделения квадрата двучлена;

Устные упражнения. (Работа в парах) 1) Дайте определение квадратного уравнения 2) Коэффициенты квадратного уравнения 3) Какое уравнение называется приведенным? 4) Виды неполных квадратных уравнений 5) Как решается неполное квадратное уравнение вида ах2+вх=0? 6) Как решается неполное квадратное уравнение вида ах2=0? 7) Как решается неполное квадратное уравнение вида ах2+с=0? 8) Всегда ли уравнение ах2+с=0 имеет корни?

С/р Карточки по вариантам (см приложение №1)

Повторение Представьте в виде многочлена 1)(х+1)2= 3)(2х-3)2= 2)(0,5х-2)2= 4)(5х+6)2=

Допишите недостающий член трехчлена, так, чтобы его можно было представить в виде квадрата двучлена. 1) х2+8х+… 4) х2-… +25 7) …-24х+16 2) х2-18х+… 5) 9х2+… +1 8)…. +12х+1 3) 4х2-4х+… 6) 25х2-… +3 9) …+36х+81

Решение квадратных уравнений выделением полного квадрата х²-8х+16=0 (х-4)²=0 х=4 2) х²+6х+8=0 (х²+2·3х+9)-9+8=0 (х+3)²-1=0 (х+3)²=1 х+3=-1 или х+3=1 х=-4 или х=-2

3) х²-6х+11=0 (х²-2·3х+9)-9+11=0 (х-3)²+2=0 (х-3)²=-2 Вывод: нет решений 4) 3х²-10х+8=0 х²-10/3·х+8/3=0 (х²-2·5/3·х+(5/3)²)-(5/3)²+8/3=0 (х-5/3)²-49/9=0 х-5/3=-7/3 или х-5/3=7/3 х=-2/3 или х=4

Решите уравнение выделением квадрата двучлена х²-8х+15=0 х²-5х-6=0 х²-4х+3=0 х²+3х-10=0 х²+х-6=0 2х²-9х+10=0 5х²+3х-8=0

Подведение итогов Определение квадратного уравнения Коэффициенты квадратного уравнения Какое уравнение называется приведенным Какое квадратное уравнение называется неполным Перечислите способы решения квадратных уравнений

Домашнее задание Карточка №3 9х2 – 12х + 4 = 0х2 + 3х – 28 = 0 25х2 + 170х + 289 = 0 4х2+ 8х – 21 = 0 х2 – 8х – 48 = 0 16х2- 40х — 11 = 0 х2 + 10х -56 = 0 3х2 + 24х -16= 0 х2 – 7х + 10 = 0 5х2 – 13х + 6 = 0