Решение квадратных уравнений методом замены переменной

Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме «Решение уравнений методом замены переменной»

Разделы: Математика

Класс: 8.

Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А.Г. Мордковича.

Учебник: Алгебра 8, автор А.Г. Мордкович.

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.

Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Оргмомент.

2. Сообщение темы урока и целей урока.

— Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.

3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)

4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).

У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.

— А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)

Слайд 4 Решить уравнение:

х 2 = 16
2х 2 = 50
х 2 + 9 = 0
х 3 — 4х = 0

Слайд 5 Разложить на множители:

а 2 — 36 =
3в 2 — 12 =
х 2 — 10х + 25 =
х 3 — 49х =

Раскрыть скобки:

(х 2 + 3х ) 2 =
(7 — х 2 ) 2 =
— (3х — 5у ) 2 =

5. Изучение нового материала.

— Сейчас попробуйте решить это уравнение:

Слайд 6 (х 2 — 3 ) 2 + 5 (х 2 — 3 ) + 6 = 0 (Проблема)

— Как? Если, как мы обычно делали, раскрывать скобки, то получится уравнение четвертой степени (вспомните устные упражнения ), а их мы решать не умеем. Значит, надо искать другие методы. Посмотрите внимательнее на это уравнение. Ничего необычного не замечаете?

Чаще всего, дети догадываются, что в уравнении встречается повторяющееся выражение.

— Мы всегда старались все упростить. И теперь давайте попробуем это сделать: заменим выражение х 2 — 3 какой-нибудь буквой, например, t , Посмотрите, что получили?

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

— Но мы нашли только t , нам нужно найти х. Что делать дальше ?

— Вы узнали новый метод решения уравнений, который называется » замена переменной». Это и есть тема нашего урока. Запишите. Слайд 8

— Итак, давайте попробуем сформулировать алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

— Посмотрите решение еще одного примера.

— А сейчас в тетради решим подобные уравнения и поучимся оформлять их решение.

Пример 1 (3х — 4 ) 2 — 5(3х — 4 ) + 6 = 0

Сделаем замену переменной. Пусть 3х — 4 = t, получим

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

Вернемся к замене.

1) 3х — 4 = 3

2) 3х — 4 = 2
Ответ: ; 2.
Пример 2 2(х 2 + 3 ) 2 — 7 (х 2 + 3) 2 = — 3
Сделаем замену переменной. Пусть х 2 + 3 = t, получим
D = b 2 — 4ac = 49 — 24 = 25

Вернемся к замене:
1) х 2 + 3 = 3
х = 0
2) х 2 + 3 =
х 2 =
нет корней
6. Закрепление изученного материала.
— Сейчас решите из учебника № 26.22 б ; 26.23 а.в ; дополнительно 26.25.
7. Подведение итогов и задание на дом.
— Что нового вы узнали на уроке?
— Каков алгоритм решения уравнений методом замены переменной?
— Ваше домашнее задание на экране.
— На следующем уроке вы узнаете, что такое биквадратные уравнения и научитесь их решать. А сейчас проверим. как вы научились решать уравнения методом замены переменной. У каждого есть карточка с заданием. Если у вас останется время, дополнительное задание на экране. Желаю успеха!
8. Самостоятельная работа. (Приложение 2)
Вариант 1 Вариант 2
Решить уравнения:
1) (х — 5 ) 2 — 2 (х — 5 ) = 8
2) (х 2 — 8 ) 2 + 3 (х 2 — 8 ) 2 — 4 = 0
Решить уравнения:
1) (2х + 3 ) 2 — 4 (2х + 3 ) = 5
2) (х 2 + х ) 2 — 11 (х 2 + х ) = 12
Вариант 3 Вариант 4
Решить уравнения:
1) (х 2 — 2х ) 2 + (х 2 — 2х ) = 12
2) (х 2 + 2 ) 2 — 5 (х 2 + 2 ) — 6 = 0
Решить уравнения:
1) (х 2 — х ) 2 — 8 (х 2 — х ) + 12 = 0
2) (х 2 — 1 ) 2 + 2 (х 2 — 1 ) = 15
Дополнительно.
(х 2 + 4х )( х 2 + 4х — 17 ) + 60 = 0
(х 2 — 5х )( х 2 — 5х + 10 ) = — 24
Метод замены переменной
Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.
Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.
У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.
Заменим выражение $x+\frac<1>$ буквой $t$.
Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно $t$, после чего, сделав обратную замену, вычислим $x$.
Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:
Попробуем сделать замену здесь.
Заменим выражение $\sin x$ буквой $t$.
Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.
Примеры использования метода замены переменной
Заметим, что $x^4=(x^2 )^2$ (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.
Теперь используем метод замены.
Вводим новую переменную, заменяя $x^2$ на $t$.
Мы нашли чему равно $t$, но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.
Ответ: $±1$; $±$ $\frac<1><2>$ .
Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти $x$, а не $t$! Поэтому возврат к $x$ — строго обязателен!
Пример. Решить неравенство: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$
Приступим к решению.
Раскладываем левую часть неравенства на множители .
Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется уравнение вида:
$$ ax^4+bx^2+c = 0, a \neq 0 $$
Алгоритм решения биквадратного уравнения
Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 \ge 0$.
Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$
Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.
Если $D \gt 0$, $z_ <1,2>= \frac<-b \pm \sqrt> <2a>$. Проверить условие $z ≥ 0$, если положительных корней нет, решений нет, переход на шаг 4.
Если D = 0,$z_0 = -\frac<2a>$. Проверить условие $z \ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.
Если $D \lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.
Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = \pm \sqrt$.
Шаг 4. Работа завершена.
Шаг 1. $z = x^2 \ge 0, z^2+7z-30 = 0$
$z_1 = -10 \lt 0, z_2 = 3 \gt 0 $
Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_ <1,2>= \pm \sqrt<3>$
Метод разложения на множители
Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.
Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_ x^ + ⋯ + a_1 x+a_0$ если $P_n (x_0 ) = 0$.
Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.
Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_ (x)$, где $P_ (x)$ — многочлен степени n-1.
Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.
При разложении многочлена
множители вида (x-a) называют линейными множителями ;
множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D \lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями .
Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.
Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.
Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:
вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
метод неопределённых коэффициентов;
выделение полного квадрата и т.п.
Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.
Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$
$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$
Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \frac<1><2>$
Метод замены переменной
Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:
$Исходное \quad сложное \quad уравнение \iff <\left\< \begin Новая \quad переменная \quad (урав. \quad связи \quad со \quad старой \quad переменной \\ Исходное \quad урав. \quad в \quad «упрощ.» \quad виде \end \right.>$
Например, для биквадратных уравнений:
$$ ax^4+bx^2+c = 0 \iff <\left\< \begin z = x^2 \ge 0 \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> $$
Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:
$$ ax+b \sqrt+c = 0 \iff <\left\< \begin z = \sqrt \ge 0 \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> $$
И, в общем виде, для любой рациональной степени n:
$$ ax^<2n>+bx^n+c = 0 \iff <\left\< \begin z = x^n \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> , n \in \Bbb Q $$
В других случаях замена переменной не настолько очевидна.
Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.
Раскроем скобки:$ x^2-x = \frac<24>$. Сделаем замену:
$$ z = \frac<24> \Rightarrow z(z-2) = 24 \Rightarrow z^2-2z-24 = 0 \Rightarrow (z-6)(z+4) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -4 \\ z_2 = 6 \end \right.$$
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ \left[ \begin x^2-x = -4 \\ x^2-x = 6 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2-x+4 = 0 \\ x^2-x-6 = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin D \lt 0, x \in \varnothing \\ (x-3)(x+2) = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -2 \\ x_2 = 3 \end \right. $$
При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.
Выделение полного квадрата
Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:
$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$
Такое разложение не всегда возможно.
Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:
$$ = a \Biggl(x+\frac <2a>\Biggr)^2 — \frac <4a>= a \Biggl(x+ \frac <2a>\Biggr)^2- \frac<4a>, D = b^2-4ac $$
Нами выделен полный квадрат $(x+\frac<2a>)^2$.
Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).
А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D \ge 0$.
Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$
Выделим полный квадрат и разложим на множители:
$$ \left[ \begin x^2+2-\sqrt <5>= 0 \\ x^2+2+\sqrt <5>= 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2 = \sqrt <5>-2 \gt 0 \\ x^2 = -(2+\sqrt<5>) \lt 0 \end \right. \Rightarrow x_1,2 = \pm \sqrt<\sqrt<5>-2> $$
Примеры
Пример 1. Решите биквадратные уравнения:
Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 \iff <\left\< \begin z = x^2 \ge 0 \\ 2z^2+7z-4 = 0 \end \right.>$
Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$
$$ z = \frac<-7 \pm 9> <4>= \left[ \begin z_1 = -4 \lt 0 \\ z_2 = \frac<1> <2>\gt 0 \end \right. $$
Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:
Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 \iff <\left\< \begin z = (x+3)^2 \ge 0 \\ z^2-10z+24 = 0 \end \right.>$
Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 \Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = 4 \\ z_2 = 6 \end \right.$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin (x+3)^2 = 4 \\ (x+3)^2 = 6 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x+3 = \pm \sqrt <4>\\ x+3 = \pm \sqrt <6>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_ <1,2>= -3 \pm 2 \\ x_ <3,4>= -3 \pm \sqrt <6>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -5 \\ x_2 = -1 \\ x_ <3,4>= -3 \pm \sqrt <6>\end \right. $$
Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:
Делаем замену: $x+4 \sqrt-60 = 0 \iff <\left\< \begin z = \sqrt \ge 0 \\ z^2+4z-60 = 0 \end \right.>$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 \Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -10 \\ z_2 = 6 \end \right.$
Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:
Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 \iff <\left\< \begin z = (x-1)^3 \\ z^2-7z-8 = 0 \end \right.>$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 \Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -1 \\ z_2 = 8 \end \right.$
При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin (x-1)^3 = -1 \\ (x-1)^3 = 8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x-1 = -1 \\ x-1 = 2 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 0 \\ x_2 = 3 \end \right. $$
Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:
Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:
$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 \Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 \Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -6 \\ z_2 = 7 \end \right.$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin x^2+6x = -6 \\ x^2+6x = 7 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+6x+6 = 0 \\ x^2+6x-7=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin D = 12, x = \frac<-6 \pm 2 \sqrt<3>> <2>\\ (x+7)(x-1) = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_ <1,2>= -3 \pm \sqrt <3>\\ x_3 = -7 \\ x_4 = 1 \end \right. $$
Делаем замену: $ \frac<4> + \frac<5> = 2 \iff \left[ \begin z = x^2+3 \ge 3 \\ \frac<4> + \frac<5> = 2 \end \right.$
Решаем уравнение относительно z:
$$ \frac<4> + \frac<5> = 2 \Rightarrow \frac<4(z+1)+5z> = \frac<2> <1>\Rightarrow 4(z+1)+5z = 2z(z+1) $$
$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 \Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$
$$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$
$$ z = \frac<7 \pm 9> <4>= \left[ \begin z_1 = — \frac<1> <2>\lt 3 \\ z_2 = 4 \gt 3 \end \right. $$
Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:
$$ x^2+3 = 4 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_ <1,2>= \pm 1$$
Пример 4*. Решите уравнения:
Приведём это уравнение к биквадратному.
В линейных множителях (x+a) выберем все a =
Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)
Замена переменных $z = x+a_$:
Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:
$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 \Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 \Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$
Получили биквадратное уравнение.
Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 \iff <\left\< \begin t = z^2 \ge 0 \\ t^2-10t-936 = 0 \end \right.> $
Решаем квадратное уравнение:
$$ D = 100+4 \cdot 936 = 3844 = 62^2, t = \frac<10 \pm 62> <2>= \left[ \begin t_1 = -26 \lt 0 \\ t_2 = 36 \gt 0 \end \right. $$
Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:
$$ z = \pm \sqrt= \pm \sqrt <36>= \pm 6 $$
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ x = z-4 = \pm 6-4 = \left[ \begin x_1 = -10 \\ x_2 = 2 \end \right. $$
$$ z- \frac<1> =2,1 |\times z (z \neq 0) $$
$$ z^2-2,1z-1 = 0 \Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = \frac<2,1 \pm 2,9> <2>= \left[ \begin z_1 = -0,4 \\ z_2 = 2,5 \end \right. $$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin \frac = -0,4 \\ \frac = 2,5 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+1 = -0,4x \\x^2+1 = 2,5x \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+0,4x+1 = 0 \\ x^2-2,5x+1 = 0 \end \right. $$
В первом уравнении $D = 0,4^2-4 \lt 0$, решений нет.
Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $\Rightarrow \left[ \begin x_1 = \frac<1> <2>\\ x_2 = 2 \end \right.$

источники:
http://cos-cos.ru/math/78/
http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/reshenie-uravnenij-svodyashchihsya-k-kvadratnym/