Решение квадратных уравнений методом замены переменной 8 класс

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называется уравнение вида:

$$ ax^4+bx^2+c = 0, a \neq 0 $$

Алгоритм решения биквадратного уравнения

Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 \ge 0$.

Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$

Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.

Если $D \gt 0$, $z_ <1,2>= \frac<-b \pm \sqrt> <2a>$. Проверить условие $z ≥ 0$, если положительных корней нет, решений нет, переход на шаг 4.

Если D = 0,$z_0 = -\frac<2a>$. Проверить условие $z \ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.

Если $D \lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.

Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = \pm \sqrt$.

Шаг 4. Работа завершена.

Шаг 1. $z = x^2 \ge 0, z^2+7z-30 = 0$

$z_1 = -10 \lt 0, z_2 = 3 \gt 0 $

Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_ <1,2>= \pm \sqrt<3>$

Метод разложения на множители

Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.

Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_ x^ + ⋯ + a_1 x+a_0$ если $P_n (x_0 ) = 0$.

Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.

Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_ (x)$, где $P_ (x)$ — многочлен степени n-1.

Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.

При разложении многочлена

• множители вида (x-a) называют линейными множителями ;
• множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D \lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями .

Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.

Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.

Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:

• вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
• группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
• формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
• метод неопределённых коэффициентов;
• выделение полного квадрата и т.п.

Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.

Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$

$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$

Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \frac<1><2>$

Метод замены переменной

Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:

$Исходное \quad сложное \quad уравнение \iff <\left\< \begin Новая \quad переменная \quad (урав. \quad связи \quad со \quad старой \quad переменной \\ Исходное \quad урав. \quad в \quad «упрощ.» \quad виде \end \right.>$

Например, для биквадратных уравнений:

$$ ax^4+bx^2+c = 0 \iff <\left\< \begin z = x^2 \ge 0 \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> $$

Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:

$$ ax+b \sqrt+c = 0 \iff <\left\< \begin z = \sqrt \ge 0 \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> $$

И, в общем виде, для любой рациональной степени n:

$$ ax^<2n>+bx^n+c = 0 \iff <\left\< \begin z = x^n \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> , n \in \Bbb Q $$

В других случаях замена переменной не настолько очевидна.

Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.

Раскроем скобки:$ x^2-x = \frac<24>$. Сделаем замену:

$$ z = \frac<24> \Rightarrow z(z-2) = 24 \Rightarrow z^2-2z-24 = 0 \Rightarrow (z-6)(z+4) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -4 \\ z_2 = 6 \end \right.$$

Возвращаемся к исходной переменной x:

$$ \left[ \begin x^2-x = -4 \\ x^2-x = 6 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2-x+4 = 0 \\ x^2-x-6 = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin D \lt 0, x \in \varnothing \\ (x-3)(x+2) = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -2 \\ x_2 = 3 \end \right. $$

При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.

Выделение полного квадрата

Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:

$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$

Такое разложение не всегда возможно.

Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:

$$ = a \Biggl(x+\frac <2a>\Biggr)^2 — \frac <4a>= a \Biggl(x+ \frac <2a>\Biggr)^2- \frac<4a>, D = b^2-4ac $$

Нами выделен полный квадрат $(x+\frac<2a>)^2$.

Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).

А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D \ge 0$.

Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$

Выделим полный квадрат и разложим на множители:

$$ \left[ \begin x^2+2-\sqrt <5>= 0 \\ x^2+2+\sqrt <5>= 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2 = \sqrt <5>-2 \gt 0 \\ x^2 = -(2+\sqrt<5>) \lt 0 \end \right. \Rightarrow x_1,2 = \pm \sqrt<\sqrt<5>-2> $$

Примеры

Пример 1. Решите биквадратные уравнения:

Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 \iff <\left\< \begin z = x^2 \ge 0 \\ 2z^2+7z-4 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$

$$ z = \frac<-7 \pm 9> <4>= \left[ \begin z_1 = -4 \lt 0 \\ z_2 = \frac<1> <2>\gt 0 \end \right. $$

Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:

Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 \iff <\left\< \begin z = (x+3)^2 \ge 0 \\ z^2-10z+24 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 \Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = 4 \\ z_2 = 6 \end \right.$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin (x+3)^2 = 4 \\ (x+3)^2 = 6 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x+3 = \pm \sqrt <4>\\ x+3 = \pm \sqrt <6>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_ <1,2>= -3 \pm 2 \\ x_ <3,4>= -3 \pm \sqrt <6>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -5 \\ x_2 = -1 \\ x_ <3,4>= -3 \pm \sqrt <6>\end \right. $$

Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:

Делаем замену: $x+4 \sqrt-60 = 0 \iff <\left\< \begin z = \sqrt \ge 0 \\ z^2+4z-60 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 \Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -10 \\ z_2 = 6 \end \right.$

Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:

Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 \iff <\left\< \begin z = (x-1)^3 \\ z^2-7z-8 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 \Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -1 \\ z_2 = 8 \end \right.$

При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin (x-1)^3 = -1 \\ (x-1)^3 = 8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x-1 = -1 \\ x-1 = 2 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 0 \\ x_2 = 3 \end \right. $$

Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:

Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:

$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 \Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 \Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -6 \\ z_2 = 7 \end \right.$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin x^2+6x = -6 \\ x^2+6x = 7 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+6x+6 = 0 \\ x^2+6x-7=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin D = 12, x = \frac<-6 \pm 2 \sqrt<3>> <2>\\ (x+7)(x-1) = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_ <1,2>= -3 \pm \sqrt <3>\\ x_3 = -7 \\ x_4 = 1 \end \right. $$

Делаем замену: $ \frac<4> + \frac<5> = 2 \iff \left[ \begin z = x^2+3 \ge 3 \\ \frac<4> + \frac<5> = 2 \end \right.$

Решаем уравнение относительно z:

$$ \frac<4> + \frac<5> = 2 \Rightarrow \frac<4(z+1)+5z> = \frac<2> <1>\Rightarrow 4(z+1)+5z = 2z(z+1) $$

$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 \Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$

$$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$

$$ z = \frac<7 \pm 9> <4>= \left[ \begin z_1 = — \frac<1> <2>\lt 3 \\ z_2 = 4 \gt 3 \end \right. $$

Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:

$$ x^2+3 = 4 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_ <1,2>= \pm 1$$

Пример 4*. Решите уравнения:

Приведём это уравнение к биквадратному.

В линейных множителях (x+a) выберем все a =

Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)

Замена переменных $z = x+a_$:

Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:

$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 \Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 \Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$

Получили биквадратное уравнение.

Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 \iff <\left\< \begin t = z^2 \ge 0 \\ t^2-10t-936 = 0 \end \right.> $

Решаем квадратное уравнение:

$$ D = 100+4 \cdot 936 = 3844 = 62^2, t = \frac<10 \pm 62> <2>= \left[ \begin t_1 = -26 \lt 0 \\ t_2 = 36 \gt 0 \end \right. $$

Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:

$$ z = \pm \sqrt= \pm \sqrt <36>= \pm 6 $$

Возвращаемся к исходной переменной x:

$$ x = z-4 = \pm 6-4 = \left[ \begin x_1 = -10 \\ x_2 = 2 \end \right. $$

$$ z- \frac<1> =2,1 |\times z (z \neq 0) $$

$$ z^2-2,1z-1 = 0 \Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = \frac<2,1 \pm 2,9> <2>= \left[ \begin z_1 = -0,4 \\ z_2 = 2,5 \end \right. $$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin \frac = -0,4 \\ \frac = 2,5 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+1 = -0,4x \\x^2+1 = 2,5x \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+0,4x+1 = 0 \\ x^2-2,5x+1 = 0 \end \right. $$

В первом уравнении $D = 0,4^2-4 \lt 0$, решений нет.

Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $\Rightarrow \left[ \begin x_1 = \frac<1> <2>\\ x_2 = 2 \end \right.$

Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме «Решение уравнений методом замены переменной»

Разделы: Математика

Класс: 8.

Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А.Г. Мордковича.

Учебник: Алгебра 8, автор А.Г. Мордкович.

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.

Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Оргмомент.

2. Сообщение темы урока и целей урока.

— Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.

3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)

4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).

У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.

— А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)

Слайд 4 Решить уравнение:

х 2 = 16 2х 2 = 50

х 2 + 9 = 0 х 3 — 4х = 0

Слайд 5 Разложить на множители:

1. а 2 — 36 =
2. 3в 2 — 12 =
3. х 2 — 10х + 25 =
4. х 3 — 49х =

Раскрыть скобки:

1. (х 2 + 3х ) 2 =
2. (7 — х 2 ) 2 =
3. — (3х — 5у ) 2 =

5. Изучение нового материала.

— Сейчас попробуйте решить это уравнение:

Слайд 6 (х 2 — 3 ) 2 + 5 (х 2 — 3 ) + 6 = 0 (Проблема)

— Как? Если, как мы обычно делали, раскрывать скобки, то получится уравнение четвертой степени (вспомните устные упражнения ), а их мы решать не умеем. Значит, надо искать другие методы. Посмотрите внимательнее на это уравнение. Ничего необычного не замечаете?

Чаще всего, дети догадываются, что в уравнении встречается повторяющееся выражение.

— Мы всегда старались все упростить. И теперь давайте попробуем это сделать: заменим выражение х 2 — 3 какой-нибудь буквой, например, t , Посмотрите, что получили?

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

— Но мы нашли только t , нам нужно найти х. Что делать дальше ?

— Вы узнали новый метод решения уравнений, который называется » замена переменной». Это и есть тема нашего урока. Запишите. Слайд 8

— Итак, давайте попробуем сформулировать алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

— Посмотрите решение еще одного примера.

— А сейчас в тетради решим подобные уравнения и поучимся оформлять их решение.

Пример 1 (3х — 4 ) 2 — 5(3х — 4 ) + 6 = 0

Сделаем замену переменной. Пусть 3х — 4 = t, получим

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

Вернемся к замене.

1) 3х — 4 = 3

2) 3х — 4 = 2 Ответ: ; 2. Пример 2 2(х 2 + 3 ) 2 — 7 (х 2 + 3) 2 = — 3 Сделаем замену переменной. Пусть х 2 + 3 = t, получим D = b 2 — 4ac = 49 — 24 = 25 Вернемся к замене: 1) х 2 + 3 = 3 х = 0 2) х 2 + 3 = х 2 = нет корней 6. Закрепление изученного материала. — Сейчас решите из учебника № 26.22 б ; 26.23 а.в ; дополнительно 26.25. 7. Подведение итогов и задание на дом. — Что нового вы узнали на уроке? — Каков алгоритм решения уравнений методом замены переменной? — Ваше домашнее задание на экране. — На следующем уроке вы узнаете, что такое биквадратные уравнения и научитесь их решать. А сейчас проверим. как вы научились решать уравнения методом замены переменной. У каждого есть карточка с заданием. Если у вас останется время, дополнительное задание на экране. Желаю успеха! 8. Самостоятельная работа. (Приложение 2) Вариант 1 Вариант 2 Решить уравнения: 1) (х — 5 ) 2 — 2 (х — 5 ) = 8 2) (х 2 — 8 ) 2 + 3 (х 2 — 8 ) 2 — 4 = 0 Решить уравнения: 1) (2х + 3 ) 2 — 4 (2х + 3 ) = 5 2) (х 2 + х ) 2 — 11 (х 2 + х ) = 12 Вариант 3 Вариант 4 Решить уравнения: 1) (х 2 — 2х ) 2 + (х 2 — 2х ) = 12 2) (х 2 + 2 ) 2 — 5 (х 2 + 2 ) — 6 = 0 Решить уравнения: 1) (х 2 — х ) 2 — 8 (х 2 — х ) + 12 = 0 2) (х 2 — 1 ) 2 + 2 (х 2 — 1 ) = 15 Дополнительно. (х 2 + 4х )( х 2 + 4х — 17 ) + 60 = 0 (х 2 — 5х )( х 2 — 5х + 10 ) = — 24 Урок 1. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс. Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Уравнения, приводящиеся к квадратным путем замены переменной. Квадратные уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением. Урок 2. Биквадратные уравнения. Замена переменной в уравнениях. Алгебра 8 класс. Биквадратные уравнения. Уравнения 4-й степени. Замена переменной в уравнениях. Решение уравнений, приводящихся к квадратным, путем замены переменной. Какое уравнение является биквадратным. Определение биквадратного уравнения. Как решать биквадратное уравнение. Как найти корни биквадратного уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением. Урок 3. Замена переменной. Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Алгебра 8 класс. Решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены. Алгебра 8 класс. Замена переменной в уравнениях. Примеры с решением. Урок 4. Замена переменной в уравнениях, приводящихся к квадратным. Решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены. Алгебра 8 класс. Замена переменной в уравнениях. Примеры с решением. Пример 1: Решите уравнение методом замены переменной: Если необходимо решить уравнение вида (x+A)(x+B)(x+C)(x+D) = m где А, В, С, D и m — некоторые константы, то группируем попарно скобки таким образом, чтобы была равна сумма констант, входящих в эти скобки. Например, если А+D = В+C, то записываем: (x+A)(x+D)(x+B)(x+C) = m Попарно раскрываем скобки: (x2+Ax+Dх + AD)(x2+Bx+Cх +DC) = m (x2+(A+D)х + AD)(x2+(B+C)х + DC) = m Делаем замену x2+(A+D)х = t Получаем уравнение (t + AD)(t + DC) = m После раскрытия скобок получим обычное квадратное уравнение. Урок 5. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Решение рационального уравнения заменой. Обратные числа. Какие числа называются взаимно обратными? Взаимно-обратные дроби. Как правильно сделать замену взаимно-обратных дробей. Примеры с решением. Задания с объяснением. Урок 6. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной. Алгебра 8 класс. Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в дробно-рациональном уравнении? Как правильно возвести в квадрат при замене переменной. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением. Урок 7. Решение уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную? Решение дробно-рациональных уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную? Задания с *. Алгебра 8 класс. Как сделать замену в рациональном уравнении? Уравнения 4-й степени. Понизить степень уравнения, сделав замену. Как определить что заменять и какую замену делать. Решение рационального уравнения заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением. Урок 8. Замена переменной. Решение уравнений. Однородные уравнения. Однородные уравнения второй степени. Определение однородного уравнения. Методы решения однородных уравнений. Как понять, что уравнение однородное. Решение однородных уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом замены переменной. Решить уравнение. Решить заменой. Примеры с решением. Задания с объяснением. Алгебра 8 класс. источники: http://urok.1sept.ru/articles/601133 http://math.xfresh.info/index.php/8-klass/algebra-8-klass/50-zamena Вам также может понравиться Проверка уравнений 3 класс сложение и вычитание Тест «Решение уравнений на сложение и вычитание» для учеников 3 класса Онлайн-тест поможет Уравнения высших степеней с решениями Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс Разделы: Математика Химическое равновесие уравнение хим равновесия Химическое равновесие. Принцип Ле Шателье Материалы портала onx.distant.ru Понятие химического равновесия Написать уравнение геометрического места точек равноудаленных от Уравнение геометрического места точек плоскости,равноудаленных от двух прямых y=-4x+12 и y=-4x+20 имеет